Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
SPLK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px + q \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p \in R $
*). Konstantanya $ q,c \in R $
SPLK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px + q \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p \in R $
*). Konstantanya $ q,c \in R $
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
Langkah-langkah menyelesaikan SPLK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
Jenis-jenis penyelesaian SPLK
SPLK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
$ ax^2 + (b-p)x + (c-q) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-p)^2 - 4a(c-q) $
Jika dilihat dari nilai $D$, SPLK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPLK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.
ii). Jika $D = 0$, maka SPLK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, garis menyinggung kurva di satu titik.
iii). Jika $D < 0$, maka SPLK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, garis tidak memotong kurva.
$ ax^2 + (b-p)x + (c-q) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-p)^2 - 4a(c-q) $
Jika dilihat dari nilai $D$, SPLK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPLK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.
Contoh
1). Himpunan penyelesaian SPLK
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -4x + 1 \\ y = x^2 - 3x - 1 \end{array} \right. $
adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\} \, $ , tentukan nilai $ x_1 + x_2 ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = -4x + 1 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x - 1 \\ -4x + 1 & = x^2 - 3x - 1 \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
artinya $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 1 $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = -1 $
2). Tentukan Himpunan penyelesaian (HP) dari SPLK:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x-y-6 = 0 \\ 2x^2-3x+y+3 = 0 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} y = 4x - 6 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, 2x^2-3x+y+3 & = 0 \\ 2x^2-3x+(4x-6)+3 & = 0 \\ 2x^2 + x - 3 & = 0 \\ (2x+3)(x-1) & = 0 \\ x_1 = -\frac{3}{2} \vee x_2 & = 1 \end{align} $
$\clubsuit $ Substitusikan nilai $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ ke persamaan garis ($ y= 4x -6$) untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ :
$ x_1 = -\frac{3}{2} \rightarrow y_1 = 4x - 6 = 4 \left(-\frac{3}{2} \right) - 6 = -6 -6 = -12 $
$ x_2 = 1 \rightarrow y_2 = 4x - 6 = 4 (1) - 6 = 4 -6 = -2 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ \left(-\frac{3}{2}, -12 \right), \, (1, -2) \right\} $
3). Salah satu nilai $x$ yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x^2-4xy+y^2 = 4 \\ 3x + y = 8 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Faktorkan pers(i) :
$ \begin{align} 4x^2-4xy+y^2 & = 4 \\ (2x -y)(2x-y) & = 4 \\ (2x-y)^2 & = 4 \\ 2x - y & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 2x - y & = \pm 2 \\ 2x - y = 2 \vee 2x - y & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis ($3x + y = 8$)
$\begin{array}{cc} 2x - y = 2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ $ \begin{array}{cc} 2x - y = -2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 6 & \\ x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = 2 \, $ atau $ x = \frac{6}{5} $
4). Jika $(a,b)$ memenuhi SP berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 5x^2+3y^2 = 24 \\ \sqrt{5}x - \sqrt{3} y = 3 \end{array} \right. $
maka nilai $ ab =... ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(ii)
$ \begin{align} \sqrt{5}x - \sqrt{3} y & = 3 \\ (\sqrt{5}x - \sqrt{3} y)^2 & = 3^2 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2.\sqrt{5}.\sqrt{3} xy & = 9 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 \end{align} $
$\clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) yang baru
$ \begin{array}{cc} 5x^2+3y^2 = 24 & \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 & - \\ \hline 2\sqrt{15} xy = 15 & \\ xy = \frac{15}{2\sqrt{15}} & \\ xy = \frac{1}{2} \sqrt{15} & \end{array} $
Jadi, nilai $ ab = \frac{1}{2} \sqrt{15} $
5). Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y = p \\ x^2 + 3x + y = -5 \end{array} \right. $
mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai $ x + y ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
$\begin{array}{cc} x - y = p & \\ x^2 + 3x + y = -5 & + \\ \hline x^2 + 4x = p - 5 & \\ x^2+ 4x + (5-p) = 0 & \end{array} $
$\spadesuit $ SPLK mempunyai satu penyelesaian, syaratnya $D = 0$:
$ D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac = 0 \rightarrow 4^2 - 4.1.(5-p) = 0 \rightarrow p = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $p = 1$ ke persamaan kuadrat:
$ \begin{align} x^2+ 4x + (5-p) & = 0 \\ x^2+ 4x + (5-1) & = 0 \\ x^2+ 4x + 4 & = 0 \\ (x + 2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Substitusi $ x = -2 $ ke pers(ii)
$ x^2 + 3x + y = -5 \rightarrow (-2)^2 + 3.(-2) + y = -5 \rightarrow y = -3 $
Jadi, nilai $ x + y = -2 + (-3) = -5 $
