Penyelesaian Sistem Persamaan dalam Soal Cerita
Langkah-langkah menyelesaikan Soal Cerita :
$\clubsuit \, $ Buat model matematikanya dengan cara memisalkan
$\clubsuit \, $ Selesaikan sistem persamaan yang terbentuk.
$\clubsuit \, $ Buat model matematikanya dengan cara memisalkan
$\clubsuit \, $ Selesaikan sistem persamaan yang terbentuk.
Contoh
1). Di sebuah toko Budi membayar Rp 11.000 untuk pembelian 2 buah buku dan 3 buah pensil. Di toko yang sama Iwan membayar Rp 6.000 untuk pembelian sebuah buku dan 2 buah pensil. Jika Wati membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil, ia harus membayar?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Kita buat model matematikanya
Misalkan $ x = \, $ harga buku per buah, $ y = \, $ harga pensil per buah,
*). 2 buku dan 3 pensil seharga 11.000
$ 2x + 3y = 11000 $
*). 1 buku dan 2 pensil seharga 6.000
$ x + 2y = 6000 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 11000 \\ x + 2y = 6000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 11000 & \text{kali 1} & 2x + 3y = 11000 & \\ x + 2y = 6000 & \text{kali 2} & 2x + 4y = 12000 & + \\ \hline & & -y = -1000 & \\ & & y = 1000 & \end{array} $
Pers(ii) : $ x + 2y = 6000 \rightarrow x + 2 \times 1000 = 6000 \rightarrow x = 4000 $
$\spadesuit $ Harga 3 buku dan 2 pensil
$ 3x + 2y = 3 \times 4000 + 2 \times 1000 = 12000 + 2000 = 14000 $
Jadi, harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp 12.000
2). Usia A sekarang sama dengan tiga kali usia B, sedangkan lima tahun yang lalu, dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebih tua dari 7 kali usia B. Tentukan jumlah umur mereka!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan : Usia A sekarang $ x \, $ tahun dan usia B sekarang $ y \, $ tahun.
*). Sekarang, usia A tiga kali usia B
$ x = 3y $
*). Lima tahun yang lalu, usia A = $ x - 5 $ dan usia B = $ y - 5 $
Dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebihnya dari 7 kali usia B
$ 2(x-5) = 7(y-5) + 15 \rightarrow 2x - 10 = 7y - 35 + 15 \rightarrow 2x - 7y = -10 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} x = 3y \\ 2x - 7y = -10 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} 2x - 7y & = -10 \\ 2(3y) - 7y & = -10 \\ 6y - 7y & = -10 \\ -y & = -10 \\ y & = 10 \end{align} $
Pers(i) : $ x = 3y = 3.10 = 30 $
artinya, usia A sekarang 10 tahun dan usia B sekarang 30 tahun.
Sehingga nilai $ x + y = 10 + 30 = 40 $
Jadi, jumlah umur mereka sekarang adalah 40 tahun.
3). Besarnya gaji dari empat orang pegawai A, B, C, dan D sebagai berikut. Gaji B sebesar 2 kali gaji A, gaji C lebih 100.000 dari gaji A, gaji D kurang 300.000 dari gaji B. Jika rata-rata gaji C dan D adalah 800.000, tentukan besarnya gaji B?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Model matematikanya
Sistem persamaannya :
$ \left\{ \begin{array}{c} B = 2A \\ C = A + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \frac{C+D}{2} = 800.000 \end{array} \right. \, \, \, \, \, $ atau $\, \, \, \, \, \left\{ \begin{array}{c} \rightarrow A = \frac{1}{2}B \\ \rightarrow C = \frac{1}{2}B + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \rightarrow C + D = 1.600.000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Substitusi pers(ii) dan pers(iii) ke pers(iv)
$ \begin{align} C + D & = 1.600.000 \\ (\frac{1}{2}B + 100.000) + (B - 300.000) & = 1.600.000 \\ \frac{3}{2}B & = 1.800.000 \\ B & = \frac{2}{3} \times 1.800.000 \\ B & = 1.200.000 \end{align} $
Jadi, besarnya gaji B adalah Rp 1.200.000
4). Dua buah bilangan positif memiliki selisih 5 dan hasil kali 1. Tentukan jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan bilangannya $ a \, $ dan $ b \, $ dengan $ a > b $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} a-b = 5 \\ ab = 1 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(i)
$ \begin{align} a-b & = 5 \\ (a-b)^2 & = 5^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab & = 25 \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2ab \, \, \, \, \text{(substitusi } ab = 1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2.(1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2 \\ a^2 + b^2 & = 27 \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut adalah 27.
Nah, itu beberapa soal dan pembahasannya yang berkaitan dengan sistem persamaan dalam soal cerita. Semoga bermanfaat.
