Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan linear
Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.
$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $
$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $
$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
Contoh :
1). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan berikut!
a). $ 2x - 1 < 0 \, $ b). $ -x + 3 \leq 0 \, $ c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan :
a). $ 2x - 1 < 0 \, $
$ \begin{align} 2x - 1 & < 0 \\ 2x & < 1 \, \, \, \, \text{(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x < \frac{1}{2} \} $
b). $ -x + 3 \leq 0 $
$ \begin{align} -x + 3 & \leq 0 \\ -x & \leq -3 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq 3 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq 3 \} $
c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
$ \begin{align} 3x + 2 & \leq 4x + 3 \\ 3x - 4x & \leq 3 - 2 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq -1 \} $
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari $ x - 1 < 2x + 3 < 2 - x $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Pertidaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). $ x - 1 < 2x + 3 $
$ \begin{align} x - 1 & < 2x + 3 \\ x - 2x & < 3 + 1 \\ -x & < 4 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & > -4 \end{align} $
HP1 = $\{ x > -4 \} $
ii). $ 2x + 3 < 2 - x $
$ \begin{align} 2x + 3 & < 2 - x \\ 2x + x & < 2 - 3 \\ 3x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < -\frac{1}{3} \end{align} $
HP2 = $\{ x < -\frac{1}{3} \} $
$ \spadesuit $ Himpunan penyelesaian adalah nilai $ x $ yang memenuhi HP1 dan HP2 (irisan kedua himpunan karena harus memenuhi kedua pertidaksamaan)
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x > -4 \} \cap \{ x < -\frac{1}{3} \} = \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
untuk irisan dua himpunan, baca materi "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah $ \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
3). Jika diketahui $ x - 2 \leq 0 \, $ dan $ x - 1 > 0 , \, $ maka $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
*). $ x - 2 \leq 0 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP1)
*). $ x - 1 > 0 \rightarrow x > 1 \, $ ....(HP2)
$\clubsuit $ Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisan kedua HP
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x \leq 2 \} \cap \{ x > 1 \} = \{ 1 < x \leq 2 \} $
$\clubsuit $ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
$ \begin{align} 1 < & x \leq 2 \\ 1^2 < & x^2 \leq 2^2 \\ 1 < & x^2 \leq 4 \, \, \, \, \text{(kurangkan 4)} \\ 1-4 < & x^2 - 4 \leq 4 - 4 \\ -3 < & x^2 - 4 \leq 0 \end{align} $
$\clubsuit $ Diperoleh interval nilai berikut ,
$ \{ 1 < x \leq 2 \} \, $ nilai terbesar $ x \, $ adalah 2 dan terkecilnya 1
$ \{ -3 < x^2 - 4 \leq 0 \} \, $ nilai terbesar $ x^2 - 4 \, $ adalah 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ :
Nilai terbesarnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{0}{1} = 0 $
Nilai terkecilnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{-3}{1} = -3 $
Jadi, interval nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah $ -3 < \frac{x^2-4}{x} \leq 0 $
4). Nilai terkecil $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - \frac{3x}{4} \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, $ adalah .... ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$ \begin{align} 2x - \frac{3x}{4} & \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kalikan 4)} \\ 8x - 3x & \leq 6x + 1 \\ 5x & \leq 6x + 1 \\ 5x - 6x & \leq 1 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusinya $ x \geq -1 \, $ artinya nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
Jadi, nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
5). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ -3 < x - 2 < 0 \, $ dan $ 2 < x + 2 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan masing-masing
*). pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} -3 < x & - 2 < 0 \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -3 + 2 < x & - 2 + 2 < 0 + 2 \\ -1 < & x < 2 \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
*). pertidaksamaan kedua :
$ \begin{align} 2 < x & + 2 < 7 \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ 2 - 2 < x & + 2 - 2 < 7 - 2 \\ 0 < & x < 5 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisannya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ -1 < x < 2 \} \cap \{ 0 < x < 5 \} = \{ 0 < x < 2 \} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x < 2 \} $
6). Pertidaksamaan $ 2a - \frac{x+1}{2} < ax + 1 \, $ dipenuhi oleh $ x > 1 \, $ . Tentukan nilai $ a $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Solusinya $ x > 1 , \, $ artinya akar dari pertidaksamaan pertidaksamaan adalah $ x = 1 $ .
$\spadesuit $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 2a - \frac{x+1}{2} & < ax + 1 \\ 2a - \frac{1+1}{2} & = a.1 + 1 \\ 2a - \frac{2}{2} & = a + 1 \\ 2a - 1 & = a + 1 \\ 2a - a & = 1 + 1 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 $
Demikian pembahasan tentang pertidaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca materi pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, dan pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
