Barisan Geometri
Pengertian barisan Geometri
Barisan Geometri merupakan suatu barisan yang memiliki perbandingan yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai perbandingan
yang sama itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan huruf $ \, r \, $ .
Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $
Cara menghitung rasio ($r$) adalah
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}}$
Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = ar^{n-1} $
dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ r $ = rasionya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$
untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-$n \, $ ini bisa dibaca "arni"
Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan geometrinya,
$ u_n = ar^{n-1} $
$ u_1 = ar^{1-1} = ar^0 = a $
$ u_2 = ar^{2-1} = ar^1 = ar $
$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 $
$ u_4 = ar^{4-1} = ar^3 $
dan seterusnya .....
sehingga barisan geometrinya : $ a, \, ar, \, ar^2, \, ar^3, \, .... $
Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $
Cara menghitung rasio ($r$) adalah
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}}$
Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = ar^{n-1} $
dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ r $ = rasionya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$
untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-$n \, $ ini bisa dibaca "arni"
Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan geometrinya,
$ u_n = ar^{n-1} $
$ u_1 = ar^{1-1} = ar^0 = a $
$ u_2 = ar^{2-1} = ar^1 = ar $
$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 $
$ u_4 = ar^{4-1} = ar^3 $
dan seterusnya .....
sehingga barisan geometrinya : $ a, \, ar, \, ar^2, \, ar^3, \, .... $
Contoh :
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri?
a). 1, 2, 4, 8, ..... b). $\frac{1}{3} $, 1, 3, 9, 27, ....
c). 1, 2, 6, 8, 16, .... d). 3, 4, 8, 2, 12, .... e). 16, 8, 4, 2, 1, ....
Penyelesaian :
Disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.
a). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 4 }_{\times 2} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} , .... $
Karena perbandingannya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan geometri dengan rasionya 2. Cara mencari rasionya :
$ r = \frac{2}{1} = 2 \, $ atau $ r = \frac{4}{2} = 2 \, $ atau $ r = \frac{8}{4}= 2 \, $ dan seterusnya.
b). $ \underbrace{\frac{1}{3}, \, 1}_{\times 3} \underbrace{, \, 3 }_{\times 3} \underbrace{, \, 9 }_{\times 3} \underbrace{, \, 27 }_{\times 3} , .... $
Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya 3.
c). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 6 }_{\times 3} \underbrace{, \, 8 }_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 16 }_{\times 2} , .... $
Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan Geometri.
d). $ \underbrace{3, \, 4}_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{4}} \underbrace{, \, 12 }_{\times 6} , .... $
Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan geometri.
e). $ \underbrace{16, \, 8}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 4 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 1 }_{\times \frac{1}{2}} , .... $
Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya $ \frac{1}{2}$. Cara mencari rasionya :
$ r =\frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \, $ atau $ r =\frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \, $ dan seterusnya.
2). Tentukan suku ke-21 dari barisan geometri 1, 2, 4, 8, 16, ....?
Penyelesaian :
*). dari barisannya diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2}{1} = 2 $
*). Menentukan suku ke-21 dengan $ u_n = a r^{n-1} $
$ u_{21} = a r^{21-1} = 1 . 2^{20}= 2^{20} $
Jadi, suku ke-21 nya adalah $ 2^{20} $ ($u_{21} = 2^{20} $).
3). Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!
Penyelesaian : diketahui $ u_3 = 9 \, $ dan $ u_5 = 81 $
Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan rasionya ($r$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.
*). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = ar^{n-1} $
$ u_5 = ar^{5-1} = ar^4 \rightarrow a r^4 = 81 \, $ .... pers(i)
$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 \rightarrow a r^2 = 9 \, $ .... pers(ii)
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan membagi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} a r^4 = 81 & \\ a r^2 = 9 & : \\ \hline r^2 = 9 & \\ r = \pm 3 & \end{array} $
Karena nilai rasionya positif, maka $ r =3 \, $ yang memenuhi.
Pers(ii) : $ a r^2 = 9 \rightarrow a 3^2 = 9 \rightarrow a = frac{9}{9} = 1 $
*). Menentukan suku ke-2
$ u_{2} = ar^{2-1} = 1.3^1 = 3 $
Jadi, suku ke-2 nya adalah 3.
4). Jika suku-suku $ 4p, \, 3p-4, \, $ dan $ \, 2p - 4 \, $ adalah tiga suku pertama berurutan barisan geometri, maka tentukan suku ke-9 ?
Penyelesaian :
Diketahui : $ u_1 = 4p, \, u_2 = 3p-4, \, $ dan $ u_3 = 2p -4 $
*). Tiga suku berurutan barisan geometri, maka rasionya sama :
$ \begin{align} \frac{u2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1 . u_3 \\ (3p-4)^2 & = (4p).(2p-4) \\ 9p^2 -24p + 16 & = 8p^2 -16 p \\ p^2 - 8p + 16 & = 0 \\ (p-4)^2 & = 0 \\ p - 4 & = 0 \\ p & = 4 \end{align} $
diperoleh nilai $ p = 4 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan nilai $ p = 4 $
$ a = u_1 = 4p = 4.4 = 16 = 2^4 $
$ u_2 = 3p - 4 = 3.4 - 4 = 12 - 4 = 8 $
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $
*). Menentukan suku ke-9
$ \begin{align} u_n & = ar^{n-1} \\ u_9 & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{9-1} \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{8} \\ & = 2^4. \left( \frac{1^8}{2^8} \right) \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2^8} \right) \\ & = \frac{1}{2^4} \\ & = \frac{1}{16} \end{align} $
Jadi, nilai suku ke-9 nya adalah $ \frac{1}{16} $ .
Suku Tengah barisan Geometri
Menentukan suku tengah ($u_t$)
Barisan geometri mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $
yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga.
Rumus suku tengah : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} $
Keterangan :
$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.
Rumus suku tengah : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} $
Keterangan :
$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.
Contoh :
Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan geometri berikut !
a). 1, 2, 4, 8, 16 b). $\frac{1}{9}, \, \frac{1}{3}, \, $ 1, 3, 9, 27, 81
Penyelesaian :
a). Suku tengahnya adalah 4, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{1\times 16} = \sqrt{16} = 4 $
b). Suku tengahnya adalah 3, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{\frac{1}{9} \times 81} = \sqrt{9} = 3 $
Sisipan pada barisan Geometri
Menentukan barisan baru setelah disisipkan $ k \, $ suku atau bilangan
Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, .... $
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan geometri. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya rasio baru setelah disisipkan.
Rumus rasio barunya : $ r^* = \sqrt[k+1]{r} = (r)^\frac{1}{k+1} $
Keterangan :
$ r \, $ = rasio awal dari barisan sebelum disisipkan
$ r^* \, $ = rasio baru setelah barsian disisipkan (rasio barisan baru)
$ k \, $ = banyak suku yang disisipkan.
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan geometri. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya rasio baru setelah disisipkan.
Rumus rasio barunya : $ r^* = \sqrt[k+1]{r} = (r)^\frac{1}{k+1} $
Keterangan :
$ r \, $ = rasio awal dari barisan sebelum disisipkan
$ r^* \, $ = rasio baru setelah barsian disisipkan (rasio barisan baru)
$ k \, $ = banyak suku yang disisipkan.
Contoh :
Diketahui barisan 1, 8, 64, 512, .... . Setiap antara dua suku disisipkan 2 bilangan. Tentukan barisan baru yang terbentuk?
Penyelesaian :
Untuk menyisipkan 2 bilangan, kita tidak boleh menyisipkan sebarang bilangan, karena barisan baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan geometri. Agar dijamin tetap terbentuk barisan geometri, maka kita harus menggunakan rumus untuk mencari rasio barunya.
*). Dari barisan 1, 8, 64, 512, .... diperoleh rasio awal $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{1} = 8 $
*). akan disisipkan 2 bilangan, artinya $ k = 2 $
Sehingga raasio barunya : $ r^* = (r)^\frac{1}{k+1} = (8)^\frac{1}{2+1} = (2^3)^\frac{1}{3} = 2^1 = 2 $
Barisan barunya dengan rasio baru 2 adalah :
$ 1, \underbrace{ 2, 4}_{\text{sisipan}} , 8 , \underbrace{ 16, 32}_{\text{sisipan}} , 64 , \underbrace{ 126, 256}_{\text{sisipan}} , 512, .... $
dimana barisan yang baru ini juga berbentuk barisan geometri.
Deret Geometri
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri
Deret geometri merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan geometri. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan
untuk beberapa suku berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.
Misalkan :
$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)
$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)
$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama)
$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.
Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri.
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \, $ untuk $ -1 < r < 1 $
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} \, $ untuk $ r < -1 \, $ atau $ \, r > 1 $
Catatan :
Sebenarnya kedua rumus $ s_n \, $ di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup diingat salah satu saja.
Pembuktian : $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \times \frac{-1}{-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} $
Misalkan :
$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)
$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)
$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama)
$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.
Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri.
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \, $ untuk $ -1 < r < 1 $
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} \, $ untuk $ r < -1 \, $ atau $ \, r > 1 $
Catatan :
Sebenarnya kedua rumus $ s_n \, $ di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup diingat salah satu saja.
Pembuktian : $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \times \frac{-1}{-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} $
Contoh :
1). Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan 1, 2, 4, 8, ....?
Penyelesaian :
*). Dari barisan diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{2}{1} = 2 $
Jumlah 5 suku pertamanya :
$ \begin{align} s_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \\ s_5 & = \frac{1.(2^5 - 1)}{2-1} \\ & = \frac{(32 - 1)}{1} \\ & = 31 \end{align} $
Jadi, jumlah 5 suku pertamanya adalah 31.
Bisanya untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, soal-soalnya langsung melibatkan barisan dan deret aritmetka dan geometri. Agar lebih menguasai materinya, sebaiknya kita lebih banyak latihan lagi mengerjakan soal-soal yang ada.
