Pada soal-soal yang terkait dengan luas dan volume benda putar juga membutuhkan cara Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat, karena kebanyakan pasti grafik yang ditampilkan adalah grafik fungsi kuadrat sehingga kita harus menetukan bentuk fungsi kuadratnya. Setelah itu baru kita bisa mengintegralkan untuk menentukan luas atau volume daerah yang diminta.
Rumus Dasar dalam Menyusun Fungsi Kuadrat
(i). Diketahui titik puncaknya $(x_p , y_p) $
Rumus : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(ii). Parabola memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ [ $(x_1,0) \, $ dan $(x_2,0)$]
Rumus : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(iii). Parabola melalui tiga titik sembarang selain titik-titik yang telas disebutkan di atas
Cara : Untuk menentukan fungsi kuadratnya, substitusikan ketiga titik yang diketahui ke bentuk umum
FK $ y = ax^2+bx+c \, $ , lalu eliminasi untuk menentukan nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c $
Contoh 1.
Dari ketiga tipe rumus atau cara "Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat" ini, tipe ketiga yang agak lebih
rumit karena kita harus melakukan eliminasi dan substitusi untuk menentukan nilai $ a, \, b, \, $ dan $ \, c \, $ yang melibatkan tiga variabel. Butuh
ketetukan dan ketelitian dalam pengerjaannya, karena salah satu saja maka yang lainnya juga ikut salah.
Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1,2) \, $ dan melalui titik $(0,1)$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (-1,2) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 2 \\ y & = a(x+1)^2 + 2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,1)
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ 1 & = a(0+1)^2 + 2 \\ 1 & = a + 2 \\ a & = -1 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x^2+2x+1) + 2 \\ y & = -x^2 -2x -1 + 2 \\ y & = -x^2 -2x + 1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 -2x + 1 . \heartsuit $
Contoh 2. $\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (-1,2) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 2 \\ y & = a(x+1)^2 + 2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,1)
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ 1 & = a(0+1)^2 + 2 \\ 1 & = a + 2 \\ a & = -1 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x^2+2x+1) + 2 \\ y & = -x^2 -2x -1 + 2 \\ y & = -x^2 -2x + 1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 -2x + 1 . \heartsuit $
Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (1,0) dan (4,0), artinya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ , serta melalui titik (0,2).
$\spadesuit \, $ Menyusun FK : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
$\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-1)(x-4) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,2)
$\begin{align} (x,y)=(0,2) \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ 2 & = a(0-1)(0-4) \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ a $
$\begin{align} a=\frac{1}{2} \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x^2 - 5x + 4) \\ y & = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 . \heartsuit $
Contoh 3. $\spadesuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (1,0) dan (4,0), artinya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ , serta melalui titik (0,2).
$\spadesuit \, $ Menyusun FK : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
$\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-1)(x-4) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,2)
$\begin{align} (x,y)=(0,2) \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ 2 & = a(0-1)(0-4) \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ a $
$\begin{align} a=\frac{1}{2} \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x^2 - 5x + 4) \\ y & = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 . \heartsuit $
Tentukan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik (1,0) dan melalui titik (0,-1) ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Kurva menyinggung sumbu X di titik (1,0), artinya titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (1,0) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-1)^2 + 0 \\ y & = a(x-1)^2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,-1)
$\begin{align} (x,y)=(0,-1) \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ -1 & = a(0+1)^2 \\ -1 & = a \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x^2-2x+1) \\ y & = -x^2 +2x -1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 +2x -1 . \heartsuit $
Contoh 4. $\clubsuit \,$ Kurva menyinggung sumbu X di titik (1,0), artinya titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (1,0) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-1)^2 + 0 \\ y & = a(x-1)^2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,-1)
$\begin{align} (x,y)=(0,-1) \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ -1 & = a(0+1)^2 \\ -1 & = a \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x^2-2x+1) \\ y & = -x^2 +2x -1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 +2x -1 . \heartsuit $
Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Parabola melalui titik (0,1), (3,1), dan (-1,0). Karena titik yang diketahui bukan titik puncak atau bukan titik potong sumbu X, maka kita gunakan cara ketiga yaitu substitusi semua titik tersebut ke bentuk umum FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik ke FK : $ y = ax^2 + bx + c $
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow 1 & = a.0^2 + b.0 + c \\ c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(3,1) \rightarrow 1 & = a.3^2 + b.3 + c \\ 9a+3b+c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(-1,0) \rightarrow 0 & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a-b+c & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi dan substitusi ketiga persamaan di atas untuk menentukan nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c \, $ .
Diperoleh nilainya : $ a = -\frac{1}{4}, \, b = \frac{3}{4}, \, $ dan $ c = 1 $
$\spadesuit \, $ Fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \rightarrow y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Parabola melalui titik (0,1), (3,1), dan (-1,0). Karena titik yang diketahui bukan titik puncak atau bukan titik potong sumbu X, maka kita gunakan cara ketiga yaitu substitusi semua titik tersebut ke bentuk umum FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik ke FK : $ y = ax^2 + bx + c $
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow 1 & = a.0^2 + b.0 + c \\ c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(3,1) \rightarrow 1 & = a.3^2 + b.3 + c \\ 9a+3b+c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(-1,0) \rightarrow 0 & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a-b+c & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi dan substitusi ketiga persamaan di atas untuk menentukan nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c \, $ .
Diperoleh nilainya : $ a = -\frac{1}{4}, \, b = \frac{3}{4}, \, $ dan $ c = 1 $
$\spadesuit \, $ Fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \rightarrow y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 . \heartsuit $
Menyusun fungsi kuadrat biasanya selalu keluar dalam Ujian Nasional atau ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri baik ujian bersama maupun ujian mandirinya. Selamat belajar, semoga bermanfaat, dan terima kasih.
