Adapun sifat akar-akar persamaan kuadrat yaitu :
(i). Akar-akar positif ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0$ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(ii). Akar-akar positif berlainan ($ x_1 > 0 \, , \, x_2 > 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(iii). Akar-akar negatif ($ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 < 0$ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(iv). Akar-akar negatif berlainan ($ x_1 < 0 \, , \, x_2 < 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(v). Akar-akar berlainan tanda ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 < 0 \, $ atau
$ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $)
Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (2). $ D > 0 $
(vi). Akar-akar berlawanan tanda ( $ x_1 = - x_2 \, $ atau $ x_2 = -x_1 $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 = 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(vii). Akar-akar berkebalikan ( $ x_1 = \frac{1}{x_2} \, $ atau $ x_2 = \frac{1}{x_1} $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(ii). Akar-akar positif berlainan ($ x_1 > 0 \, , \, x_2 > 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(iii). Akar-akar negatif ($ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 < 0$ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(iv). Akar-akar negatif berlainan ($ x_1 < 0 \, , \, x_2 < 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(v). Akar-akar berlainan tanda ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 < 0 \, $ atau
$ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $)
Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (2). $ D > 0 $
(vi). Akar-akar berlawanan tanda ( $ x_1 = - x_2 \, $ atau $ x_2 = -x_1 $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 = 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(vii). Akar-akar berkebalikan ( $ x_1 = \frac{1}{x_2} \, $ atau $ x_2 = \frac{1}{x_1} $ )
Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $
Contoh 1.
Persamaan kuadrat $ x^2 - 2x + m -1 = 0 \, $ mempunyai dua akar positif berlainan, tentukan interval nilai $ m \, $ yang memenuhi ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - 2x + m -1 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = m-1 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar positif berlainan
(1). $ x_1 + x_2 > 0 \rightarrow \frac{-b}{a} > 0 \rightarrow \frac{-(-2)}{1} > 0 \rightarrow 2 > 0 \, $ (benar)
(2). $ x_1 . x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} > 0 \rightarrow \frac{m-1}{1} > 0 \rightarrow m > 1 \, $ (HP1)
(3). $ D > 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & > 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(m-1) & > 0 \\ 4 - 4( m-1) & > 0 \\ 4 - 4m + 4 & > 0 \\ -4m & >-8 \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ m & < 2 \, \, \, \, \text{(HP2)} \end{align}$
Nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah irisan dari semua syarat :
Sehingga solusinya : HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ 1 < m < 2 \} $
Jadi, interval nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 1 < m < 2 \} . \heartsuit $
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - 2x + m -1 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = m-1 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar positif berlainan
(1). $ x_1 + x_2 > 0 \rightarrow \frac{-b}{a} > 0 \rightarrow \frac{-(-2)}{1} > 0 \rightarrow 2 > 0 \, $ (benar)
(2). $ x_1 . x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} > 0 \rightarrow \frac{m-1}{1} > 0 \rightarrow m > 1 \, $ (HP1)
(3). $ D > 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & > 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(m-1) & > 0 \\ 4 - 4( m-1) & > 0 \\ 4 - 4m + 4 & > 0 \\ -4m & >-8 \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ m & < 2 \, \, \, \, \text{(HP2)} \end{align}$
Nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah irisan dari semua syarat :
Sehingga solusinya : HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ 1 < m < 2 \} $
Jadi, interval nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 1 < m < 2 \} . \heartsuit $
Contoh 2.
Jika Persamaan kuadrat $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 \, $ mempunyai akar-akar berkebalikan, tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ \rightarrow a = 2p-1, \, b = -5, \, c = 3p-2 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar-akar berkebalikan : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $
*). Syarat pertama : $ x_1 . x_2 = 1 $
$\begin{align} x_1 . x_2 & = 1 \\ \frac{c}{a} & = 1 \\ c & = a \\ 3p-2 & = 2p-1 \\ p & = 1 \end{align}$
Sehingga PK nya menjadi :
$ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ (2.1-1)x^2 -5x+3.1-7 = 0 $
$ x^2 - 5x + 1 = 0 $
*). Cek syarat kedua : $ D > 0 $
$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4.1.1 = 25 - 4 = 21 > 0 \, $ (benar)
Karena nilai $ p = 1 \, $ memenuhi kedua syarat, maka solusinya adalah $ p = 1 $
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = 1 . \heartsuit $
Catatan : Jika setelah nilai $ p = 1 \, $ disubstitusikan ke PK dan nilai $ D \, $ nya tidak lebih dari nol, maka $ p =1 \, $ bukanlah sebagai solusi, artinya tidak ada solusi yang memenuhi.
$\spadesuit \, $ PK $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ \rightarrow a = 2p-1, \, b = -5, \, c = 3p-2 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar-akar berkebalikan : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $
*). Syarat pertama : $ x_1 . x_2 = 1 $
$\begin{align} x_1 . x_2 & = 1 \\ \frac{c}{a} & = 1 \\ c & = a \\ 3p-2 & = 2p-1 \\ p & = 1 \end{align}$
Sehingga PK nya menjadi :
$ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ (2.1-1)x^2 -5x+3.1-7 = 0 $
$ x^2 - 5x + 1 = 0 $
*). Cek syarat kedua : $ D > 0 $
$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4.1.1 = 25 - 4 = 21 > 0 \, $ (benar)
Karena nilai $ p = 1 \, $ memenuhi kedua syarat, maka solusinya adalah $ p = 1 $
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = 1 . \heartsuit $
Catatan : Jika setelah nilai $ p = 1 \, $ disubstitusikan ke PK dan nilai $ D \, $ nya tidak lebih dari nol, maka $ p =1 \, $ bukanlah sebagai solusi, artinya tidak ada solusi yang memenuhi.
Contoh 3.
Demikian untuk penjelasan tentang sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Sifat-sifat akar ini paling sering keluar
pada ujian seleksi masuk perguruan tinggi dan pada soal-soal Ujian Nasional. Dari semua sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang ada, sifat berkelabikan akar yang paling mudah kita ingat dan mudah untuk mengerjakan soalnya.
Persamaan kuadrat $ 2x^2 - (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 \, $ mempunyai dua akar berlawanan. Jika akar-akar PK tersebut adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ , maka
nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ adalah .... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ 2x^2 - (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 $
$ a = 2, \, b = - (p^3+2p^2-3p-4), \, c = 7 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar berlawanan : $ x_1 + x_2 = 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ , dengan operasi akar-akar
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ & = (0)^2 - 2.\frac{c}{a} \\ & = 0 - 2.\frac{7}{2} \\ & = 0 - 7 \\ x_1^2 + x_2^2 & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 7 . \heartsuit $
Catatan : Pada penyelesaian ini kita tidak perlu menentukan nilai $ p \, $ nya dulu.
$\clubsuit \,$ PK $ 2x^2 - (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 $
$ a = 2, \, b = - (p^3+2p^2-3p-4), \, c = 7 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar berlawanan : $ x_1 + x_2 = 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ , dengan operasi akar-akar
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ & = (0)^2 - 2.\frac{c}{a} \\ & = 0 - 2.\frac{7}{2} \\ & = 0 - 7 \\ x_1^2 + x_2^2 & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 7 . \heartsuit $
Catatan : Pada penyelesaian ini kita tidak perlu menentukan nilai $ p \, $ nya dulu.
Dari syarat-syarat untuk masing-masing sifat akar, penting bagi kita untuk mengingat bahwa semua syarat harus terpenuhi. Agar bisa terpenuhi, maka kita harus mengiriskan semua syarat yang ada. Usahakan mengerjakan syarat yang mudah dulu yaitu untuk penjumlahannya dan operasi perkaliannya, setelah itu baru kita cari syarat nilai diskriminannya yang notabene lebih ribet dan sulit.
