Pengertian akar - akar PK
Blog Koma - Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki variabel/peubah $ x \, $ (nilai $ x \, $ bisa diganti atau disubstitusikan dengan sembarang nilai),
nilai $ x \, $ yang menyebabkan nilai dari PK $ ax^2 + bx + c \, $ sama dengan nol disebut sebagai akar-akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan $ x \, $ merupakan
suatu bilangan real. Setiap persamaan kuadrat biasanya memiliki akar paling banyak dua (karena pangkat dua), ini artinya persamaan kuadrat juga bisa saja tidak memiliki akar (maksudnya akar-akarnya tidak real). 
Contoh 1.
PK : $ x^2 -3x-10=0 \, $ memiliki akar-akar $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $, karena kedua nilai $ x \, $ tersebut menyebabkan nilai dari $ x^2 -3x-10 \, $
sama dengan nol. Cekla kebenarannya!
Penyelesaian :
Untuk mengetahui kebenarannya, langsung saja kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke PK nya :
$\begin{align} x=-2 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (-2)^2 -3.(-2)-10 \\ & = 4 + 6 - 10 \\ & = 0 \\ x=5 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (5)^2 -3.5-10 \\ & = 25 -15- 10 \\ & = 0 \end{align}$
Setelah kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ , ternyata hasilnya benar sama dengan nol, artinya kedua nilai $ x \, $ tersebut adalah benar akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Untuk mengetahui kebenarannya, langsung saja kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke PK nya :
$\begin{align} x=-2 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (-2)^2 -3.(-2)-10 \\ & = 4 + 6 - 10 \\ & = 0 \\ x=5 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (5)^2 -3.5-10 \\ & = 25 -15- 10 \\ & = 0 \end{align}$
Setelah kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ , ternyata hasilnya benar sama dengan nol, artinya kedua nilai $ x \, $ tersebut adalah benar akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Contoh 2.
Bagaimana sobat, sudah mengertikan apa itu yang dimaksud dengan akar-akar atau penyelesaian dari suatu persamaan? Mudah-mudahan sudah ya sobat.
Selanjutnya kita akan membahas tentang cara menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat.
Apakah $ x = 1 \, $ merupakan akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 \, $ ?
Penyelesaian :
Langsung kita substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PK nya
$\begin{align} x=1 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (1)^2 -3.1-10 \\ & = 1-3 - 10 \\ & = -12 \\ \end{align}$
Setelah disubstitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PKnya, ternyata hasilnya tidak nol, itu artinya $ x = 1 \, $ bukan akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Langsung kita substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PK nya
$\begin{align} x=1 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (1)^2 -3.1-10 \\ & = 1-3 - 10 \\ & = -12 \\ \end{align}$
Setelah disubstitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PKnya, ternyata hasilnya tidak nol, itu artinya $ x = 1 \, $ bukan akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Menentukan akar - akar PK
Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, kita tidak mungkin akan mensubstitusikan satu-satu nilai $ x \, $
sehingga diperoleh sama dengan nol. Ada tiga cara menentukan akar-akar suatu PK yaitu :
1). Pemfaktoran
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3). Rumus ABC
1). Pemfaktoran
Dalam pemfaktoran digunakan sifat perkalian berikut :
Jika $ ab=0 \, $ , maka $ a = 0 \, $ atau $ b = 0 $
Untuk teknik pemfaktoran PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dibagi menjadi dua berdasarkan nilai $ a \, $ yaitu nilai $ a = 1 \, $ dan $ a \neq 1 $
(i). Kasus pertama : nilai $ a = 1 $
PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ (x+p)(x+q) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi :
$ p + q = b \, $ dan $ p.q = c $
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ x^2-2x-8=0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2-2x-8=0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = -8 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -2 \\ p.q = -8 \end{array} \right\} \, p=2 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = -4 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} x^2-2x-8 & = 0 \\ (x+p)(x+q) & = 0 \\ (x+2)(x+(-4)) & = 0 \\ (x+2)(x-4) & = 0 \\ (x+2)=0 \rightarrow x & = -2 \\ (x-4) = 0 \rightarrow x & = 4 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -2 \, $ atau $ x = 4 \heartsuit $
$\clubsuit \,$ PK $ x^2-2x-8=0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = -8 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -2 \\ p.q = -8 \end{array} \right\} \, p=2 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = -4 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} x^2-2x-8 & = 0 \\ (x+p)(x+q) & = 0 \\ (x+2)(x+(-4)) & = 0 \\ (x+2)(x-4) & = 0 \\ (x+2)=0 \rightarrow x & = -2 \\ (x-4) = 0 \rightarrow x & = 4 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -2 \, $ atau $ x = 4 \heartsuit $
(ii). Kasus kedua : nilai $ a \neq 1 $
*). PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi :
$ p + q = b \, $ dan $ p.q = ac $ atau cara yang kedua (caranya hampir mirip) :
**). PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ (ax+p)(x+q) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + aq = b \, $ dan $ p.q = c $
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 - x -10 =0 \, $ ?
Penyelesaian : cara I :
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -1 \\ p.q = 2.(-10) = -20 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 4 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) & = 0 \\ 2(x+\frac{-5}{2})(x+\frac{4}{2}) & = 0 \\ 2(x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5})=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -1 \\ p.q = 2.(-10) = -20 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 4 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) & = 0 \\ 2(x+\frac{-5}{2})(x+\frac{4}{2}) & = 0 \\ 2(x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5})=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
Penyelesaian : cara II:
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+aq = -1 \rightarrow p+2q=-1 \\ p.q = -10 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 2 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ (ax+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ (ax+p)(x+q) & = 0 \\ (2x-5)(x+2) & = 0 \\ (2x-5)=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+aq = -1 \rightarrow p+2q=-1 \\ p.q = -10 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 2 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ (ax+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ (ax+p)(x+q) & = 0 \\ (2x-5)(x+2) & = 0 \\ (2x-5)=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna artinya mengubah bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu $ (x+p)^2 = q \, $ dengan $ q \geq 0 $ .
Cara ini dipakai bila persamaan kuadrat sulit difaktorkan. Sifat yang digunakan :
$x^2+px=(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \, $ dan $ x^2-px=(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 $
catatan : Nilai $ a \, $ harus dibuat sama dengan 1 terlebih dulu dengan cara dibagi.
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 3x^2-6x+1=0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ 3x^2-6x+1=0 \rightarrow a = 3 , \, b = -6, \, c = 1 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 3x^2-6x+1 & =0 \, \, \, \, \text{(pindahkan c = 1 ke ruas kanan)} \\ 3x^2-6x & = -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3 agar a = 1 )} \\ x^2-2x & = \frac{-1}{3} \\ & \left[ \text{gunakan } x^2-px =(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \right] \\ (x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - (1)^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - 1 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 & = \frac{-1}{3} + 1 \\ (x-1)^2 & = \frac{2}{3} \\ (x-1) & = \pm \sqrt{\frac{2}{3} } \\ x & = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3} } = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = 1 + \frac{1}{3}\sqrt{6} \, $ atau $ x = 1 - \frac{1}{3}\sqrt{6} \heartsuit $
$\clubsuit \,$ PK $ 3x^2-6x+1=0 \rightarrow a = 3 , \, b = -6, \, c = 1 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 3x^2-6x+1 & =0 \, \, \, \, \text{(pindahkan c = 1 ke ruas kanan)} \\ 3x^2-6x & = -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3 agar a = 1 )} \\ x^2-2x & = \frac{-1}{3} \\ & \left[ \text{gunakan } x^2-px =(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \right] \\ (x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - (1)^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - 1 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 & = \frac{-1}{3} + 1 \\ (x-1)^2 & = \frac{2}{3} \\ (x-1) & = \pm \sqrt{\frac{2}{3} } \\ x & = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3} } = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = 1 + \frac{1}{3}\sqrt{6} \, $ atau $ x = 1 - \frac{1}{3}\sqrt{6} \heartsuit $
3). Rumus ABC
Penyelesaian PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat diselesaikan dengan rumus ABC :
Rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
Rumus ABC ini dapat digunakan untuk semua jenis pertidaksamaan yang akar-akarnya real. Catatan : nilai $ D = b^2-4ac \, $ disebut nilai Diskriminan ($D$) dari PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ yang digunakan untuk menentukan jenis-jenis akarnya.
Untuk pembuktian rumus ABC ini, dapat menggunakan cara kedua yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Jika sobat tertarik untuk melihat pembuktiannya, silahkan klik link ini : Cara pembuktian Rumus ABC dengan kuadrat sempurna.
Contoh
Akar-akar persamaan kuadrat sangat penting dalam materi persamaan kuadrat karena setelah kita mengenal bentuk umum persamaan kuadrat maka kita akan melanjutkan dengan menentukan akar-akarnya. Biasanya akar-akar yang dipelajari adalah sebatas akar-akar bilangan real untuk tingkat SMP dan SMA, semetara akar-akar tidak real (imajiner) hanya sebatas syaratnya saja (tidak sampai menentukan akar-akar imajinernya).
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 - 5x -1 =0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - 5x -1 =0 \rightarrow a = 2, \, b = -5, \, c = -1 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4.2.(-1)}}{2.2} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} \\ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, \text{ atau } \, & \, \, x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, $ atau $ x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - 5x -1 =0 \rightarrow a = 2, \, b = -5, \, c = -1 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4.2.(-1)}}{2.2} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} \\ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, \text{ atau } \, & \, \, x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, $ atau $ x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \heartsuit $
Tapi kita tidak cukup hanya tahu tentang cara menetukan akar-akarnya, karena terkadang soal-soal tertentu sudah diketahui operasi akar-akarnya dan sudah diketahui jenis-jenis akarnya. Artinya tidak cukup bagi kita hanya sebatas bisa mencari akar-akarnya saja, tapi harus lebih dari itu.
