Untuk menyusun persamaan kuadrat, hal mendasar yang harus kita kuasai adalah operasi akar-akar persamaan kuadrat yaitu untuk operasi penjumlahan $(x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}) \, $ dan operasi perkalian $(x_1 . x_2 = \frac{c}{a}) $. Selain operasi dasar, juga harus sekalian kita ingat tentang rumus bantu yang ada, karena biasanya untuk menyusun persamaan kuadrat baru akan melibatkan bentuk akar-akar yang lebih kompleks lagi (pangkatnya lebih dari satu).
Adapun cara menyusun persamaan kuadrat / PKB
(i). Rumus khusus : diketahui akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $
PK nya : $ (x-x_1)(x-x_2)=0 $
(ii). Rumus umum :
PK nya : $ x^2 - (HJ)x + (HK) =0 $
dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.
PK nya : $ (x-x_1)(x-x_2)=0 $
(ii). Rumus umum :
PK nya : $ x^2 - (HJ)x + (HK) =0 $
dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.
Contoh 1.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 2 ?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya $ x_1 = -3 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} (x-x_1)(x-x_2) & = 0 \\ (x-(-3))(x-2) & = 0 \\ (x+3)(x-2) & = 0 \\ x^2 +x - 6 & = 0 \end{align}$
Cara II :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya -3 dan 2
HJ = -3 + 2 = -1 dan HK = (-3).2 = -6
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(-1)x + (-6) & = 0 \\ x^2 +x -6 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 +x -6 = 0. \heartsuit $
Cara I :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya $ x_1 = -3 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} (x-x_1)(x-x_2) & = 0 \\ (x-(-3))(x-2) & = 0 \\ (x+3)(x-2) & = 0 \\ x^2 +x - 6 & = 0 \end{align}$
Cara II :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya -3 dan 2
HJ = -3 + 2 = -1 dan HK = (-3).2 = -6
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(-1)x + (-6) & = 0 \\ x^2 +x -6 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 +x -6 = 0. \heartsuit $
Contoh 2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 4 + \sqrt{15} \, $ dan $ 4 - \sqrt{15} $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
PK dengan akar-akar $ 4 + \sqrt{15} \, $ dan $ 4 - \sqrt{15} $
$ HJ = (4 + \sqrt{15} +(4 - \sqrt{15}) = 8 $
$ HK = (4 + \sqrt{15} .(4 - \sqrt{15}) = 16-15=1 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(8)x + (1) & = 0 \\ x^2 -8x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 -8x +1 = 0 . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
PK dengan akar-akar $ 4 + \sqrt{15} \, $ dan $ 4 - \sqrt{15} $
$ HJ = (4 + \sqrt{15} +(4 - \sqrt{15}) = 8 $
$ HK = (4 + \sqrt{15} .(4 - \sqrt{15}) = 16-15=1 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(8)x + (1) & = 0 \\ x^2 -8x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 -8x +1 = 0 . \heartsuit $
Contoh 3.
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 3x + 3 = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} \, $
adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - 3x + 3 = 0 \rightarrow a = 1, b = -3, c = 3 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3 $
$\clubsuit \,$ PK dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} $
$ HJ = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} = \frac{3}{3} = 1 $
$ HK = \frac{1}{x_1} . \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1.x_2} = \frac{1}{3} $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(1)x + (\frac{1}{3}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^2 -3x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, PK nya adalah $ 3x^2 -3x +1 = 0 . \heartsuit $
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - 3x + 3 = 0 \rightarrow a = 1, b = -3, c = 3 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3 $
$\clubsuit \,$ PK dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} $
$ HJ = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} = \frac{3}{3} = 1 $
$ HK = \frac{1}{x_1} . \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1.x_2} = \frac{1}{3} $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(1)x + (\frac{1}{3}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^2 -3x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, PK nya adalah $ 3x^2 -3x +1 = 0 . \heartsuit $
Contoh 4.
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-2x+k = 0 \, $ adalah $ m \, $ dan $ n \, $ . Tentukan Persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya $ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} \, $
dan $ m.n \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
$\spadesuit \, $ PK $ x^2-2x+k = 0 \rightarrow a = 1, b = -2, c = k $
Akar-akarnya $ m \, $ dan $ n $
$ m + n = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ m.n = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k $
$ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} = \left( \frac{m+n}{m.n} \right)^{m+n} = \left( \frac{2}{k} \right)^{2} = \frac{4}{k^2} $
$\spadesuit \, $ PKB dengan akar-akar $ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} \, $ dan $ (m.n) $
$ HJ = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} + (m.n) = \frac{4}{k^2} + k = \frac{4+k^3}{k^2} $
$ HK = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} . (m.n) = \frac{4}{k^2} . k = \frac{4}{k} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(\frac{4+k^3}{k^2})x + (\frac{4}{k}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali } \, k^2 \, ) \\ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 = 0 . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
$\spadesuit \, $ PK $ x^2-2x+k = 0 \rightarrow a = 1, b = -2, c = k $
Akar-akarnya $ m \, $ dan $ n $
$ m + n = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ m.n = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k $
$ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} = \left( \frac{m+n}{m.n} \right)^{m+n} = \left( \frac{2}{k} \right)^{2} = \frac{4}{k^2} $
$\spadesuit \, $ PKB dengan akar-akar $ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} \, $ dan $ (m.n) $
$ HJ = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} + (m.n) = \frac{4}{k^2} + k = \frac{4+k^3}{k^2} $
$ HK = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} . (m.n) = \frac{4}{k^2} . k = \frac{4}{k} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(\frac{4+k^3}{k^2})x + (\frac{4}{k}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali } \, k^2 \, ) \\ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 = 0 . \heartsuit $
Dalam menyusun persamaan kuadrat baru, sobat bisa menggunakan rumus cepat , hal ini sangat berguna ketika kita menghadapi Ujian Nasional atau SBMPTN yang notabene membutuhkan kecepatan dalam menyelesaikan soal-soalnya. Hanya saja, rumus-rumus cepat ini berlaku untuk beberapa tipe soal saja. Ini artinya tidak semua soal yang berkaitan dengan PKB bisa menggunakan rumus cepat, jadi saran kami menggunakan rumus umum di atas lebih baik karena akan bisa menyelesaikan semua tipe soal. Untuk kumpulan rumus cepat, langsung lihat dan klik link berikut : Kumpulan Rumus Cepat Persamaan Kuadrat.
Berbicara rumus "cepat cara menyusun persamaan kuadrat (baru)", sebenarnya cukup menguntungkan bagi kita karena biasanya soal-soal yang keluar akan setipe dari tahun ketahunya terutama untuk soal Ujian Nasional. Hanya saja butuh volume yang lebih diotak kita untuk menghafal rumus cepat tersebut dan jangan sampai ada yang terlupakan sedikitpun rumusnya. Jadi, kami mengembalikan pada teman-teman, lebih suka yang mana, apakah rumus cepat atau konsep dasar saja yang toh juga tetap bisa kita gunakan untuk menyelesaikan semua tipe soal.
