Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Setelah membahas materi "sudut antara dua garis pada dimensi tiga", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga. Langkah-langkah Penghitungan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini sedikit lebih sulit dibandingkan menghitung besarnya sudut antara dua garis karena melibatkan "konsep proyeksi garis pada bidang" agar dijamin sudut yang kita peroleh adalah sudut terkecil. Silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu konsep proyeksi pada artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang". Setelah mengetahui proyeksi, Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dapat kita sederhanakan menjadi sudut antara dua garis, sehingga kita harus menguasai juga materi sebelumnya yang berkaitan dengan "sudut antara dua garis pada dimensi tiga". Jika garis dan bidang sejajar, maka besarnya sudut yang terbentuk adalah $0^\circ$. Namun pada soal-soal, kita akan jarang menjumpai kasus garis dan bidangnya sejajar.

Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

       Perhatikan gambar ilustrasi di atas. Misalkan terdapat garis $g$ dan bidang V. Jika garis dan bidang belum berpotongan (belum bertemu), maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudutnya.

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika garis $g$ dan bidang V belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Lukis garis $h$ yang merupakan hasil proyeksi garis $g$ pada bidang V.
3). Sudutnya : $\angle (g, V) = \angle (g, h)$

Cara lain untuk menentukan garis $h$ :
a). Buat bidang W melalui garis $g$ dan tegak lurus bidang V.
b). Garis $h$ adalah perpotongan bidang V dan bidang W.

Catatan :
*). Langkah berikutnya adalah mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada materi sebelumnya yaitu "sudut antara dua garis pada dimensi tiga".

Contoh soal Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut garis BG an bidang alas (bidang ABCD)?
Penyelesaian :

*). Hasil proyeksi BG pada bidang alas (bidang ABCD) adalah BC. Sehingga sudutnya : $\angle (BG, ABCD) = \angle (BG, BC)$
*). Hubungkan ujung kedua garis yaitu C ke G sehingga terbentuk segitiga BCG siku-siku sama kaki sehingga besar sudutnya $\angle CBG = 45^\circ$.
Jadi, sudut BG dan ABCD adalah $45^\circ$.

Catatan : Cara lain memproyeksikan
*). Buat bidang melalui BG dan tegak lurus ABCD yaitu bidang BCGF.
*). Bidang ABCD dan BCGF berpotongan pada garis BC, sehingga hasil proyeksi BG pada ABCD adalah BC.

2). Jika $\theta$ adalah sudut yang dibentuk antara garis AC dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH, maka tentukan nilai $\sin \theta$ !
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui AC dan tegak lurus bidang BDG yaitu bidang ACGE dimana kedua bidang berpotongan pada garis GP. Sehingga :
$\angle (AC, BDG) = \angle (AC, GP) = \angle GPC = \theta$.
*). Segitiga GPC siku-siku di C :
$CP = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ dan $CG = 2$
$GP = \sqrt{CP^2 + CG^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6}$.
*). Menentukan nilai $\sin \theta$ pada segitiga GPC :
$\sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{CG}{GP} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2}{6}\sqrt{6} = \frac{1}{3}\sqrt{6}$
Jadi, nilai $\sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6}$.

3). Diketahui kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut antara garis AH dan bidang BDHF!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui AH dan tegak lurus bidang BDHF yaitu bidang ACH dimana kedua bidang berpotongan pada garis HP. Sehingga :
$\angle (AH, BDHF) = \angle (AH, HP) = \angle AHP$.
*). Karena segitiga ACH sama kaki dan titik P terletak ditengah AC, maka segitiga AHP siku-siku di P.
*). Segitiga AHP siku-siku di P :
$AP = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ dan $AH = 2\sqrt{2}$
*). Menentukan besar sudut AHP :
$\begin{align} \sin \angle AHP & = \frac{de}{mi} = \frac{AP}{AH} \\ \sin \angle AHP & = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ \sin \angle AHP & = \frac{1}{2 } \\ \angle AHP & = 30^\circ \end{align}$
Jadi, besar sudut antara AH dan BDHF adalah $30^\circ$.

4). Diketahui limas segitiga beraturan P.QRS dengan panjag rusuk alas $a$ cm dan panjang rusuk tegak $a\sqrt{3}$ cm. Jika sudut antara garis PS dan bidang QRS adalah $\alpha$, maka tentukan nilai $\cos \alpha$!
Penyelesaian :

*). Buat bidang melalui PS dan tegak lurus bidang QRS yaitu bidang PSM dimana kedua bidang berpotongan pada garis SM. Sehingga :
$\angle (PS, QRS) = \angle (PS, SM) = \angle PSM = \alpha$.
*). Menentukan panjang sisi segitiga PSM :
$PS = a\sqrt{3}$
Pada segitiga SMQ :
$SM = \sqrt{SQ^2 - QM^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{3}$
Pada segitiga PMQ :
$PM = \sqrt{PQ^2 - QM^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{11}$
*). Menentukan nilai $\cos \alpha$ dengan aturan cosinus :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{PS^2 + SM^2 - PM^2}{2.PS.SM} \\ & = \frac{(a\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2}a\sqrt{11})^2}{2.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}a\sqrt{3}} \\ & = \frac{3a^2 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{11}{4}a^2}{3a^2} \\ & = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Cara II untuk contoh soal nomor 4 :
*). Jika kita proyeksikan PS dimana titik P akan jatuh pada titik N. Titik N adalah titik berat segitiga QRS dengan perbandingan $SN : NM = 2 : 1$. Sehingga panjang SN yaitu :
$SN = \frac{2}{3}SM = \frac{2}{3}. \frac{1}{2}a\sqrt{3} = \frac{1}{3}a\sqrt{3}$
*). segitiga SPN siku-siku di N sehingga nilai :
$\cos \alpha = \frac{sa}{mi} = \frac{SN}{PS} = \frac{\frac{1}{3}a\sqrt{3} }{a\sqrt{3} } = \frac{1}{3}$
Jadi, nilai $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

5). Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik T terletak ditengah GH. Jika $\theta$ adalah sudut antara garis DT dan bidang BDHF, maka tentukan $\cos \theta$ !
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui DT dan tegak lurus bidang BDHF yaitu bidang DQT dimana kedua bidang berpotongan pada garis DP. Sehingga :
$\angle (DT, BDHF) = \angle (DT, DP) = \angle PDT = \theta$.
*). Karena segitiga DQT sama kaki dan titik P terletak ditengah QT, maka segitiga PDT siku-siku di P.
*). Menentukan sisi segitiga PDT :
$PT = \frac{1}{2}QT = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
pada segitiga DHT :
$DT =\sqrt{DH^2 + HT^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$DP = \sqrt{DT^2 - PT^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}$
*). Menentukan nilai $\cos \theta$ pada segitiga PDT:
$\cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{DP}{DT} = \frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{3}{10}\sqrt{10}$
Jadi, nilai $\cos \theta = \frac{3}{10}\sqrt{10}$.

6). Titik P terletak pada perpanjangan rusuk CG sehingga $CG = GP$ pada kubus ABCD.EFGH. Jika $\beta$ adalah sudut antara garis PC dan bidang BDP, maka tentukan nilai $\tan \beta$!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui PC dan tegak lurus bidang BDP yaitu bidang ACPS dimana kedua bidang berpotongan pada garis PQ. Sehingga :
$\angle (PC, BDP) = \angle (PC, PQ) = \angle CPQ = \beta$.
*). Menentukan sisi segitiga CPQ :
$QC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ dan $PC = 4$
*). Menentukan nilai $\tan \beta$ pada segitiga CPQ:
$\tan \beta = \frac{de}{sa} = \frac{QC}{PC} = \frac{ \sqrt{2}}{4}$
Jadi, nilai $\tan \beta = \frac{ \sqrt{2}}{4}$.

7). Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika $\theta$ adalah sudut antara garis CF dan bidang ACH, maka tentukan $\cos \theta$ !
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Bangun F.ACH adalah limas segitiga beraturan dengan alas ACH.
*). Buat bidang melalui CF dan tegak lurus bidang ACH yaitu bidang CPF dimana kedua bidang berpotongan pada garis CP. Sehingga :
$\angle (CF, ACH) = \angle (CF, CP) = \angle PCF = \theta$.
*). Menentukan panjang sisi segitiga PCF.
$CF = 2\sqrt{2}$
Pada segitiga PEF :
$PF = \sqrt{EF^2 + EP^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}$
$PC = PF = \sqrt{6}$
*). Menentukan nilai $\cos \theta$ pada segitiga PCF :
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{PC^2 + CF^2 - PF^2}{2.PC.CF} \\ & = \frac{( \sqrt{6})^2 + (2\sqrt{2} )^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{6}.2\sqrt{2} } \\ & = \frac{8}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai $\cos \theta = \frac{1}{3} \sqrt{3}$.

       Demikian pembahasan materi Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga".