Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Konsep sudut berkaitan dengan dimensi tiga terakhir yang akan kita bahas pada artikel ini adalah Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Sudut antara dua bidang penghitungannya lebih kompleks dibandingan dengan "Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga" dan "Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga". Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tidak bisa langsung kita hitung besar sudutnya melainkan harus kita sederhanakan sedemikian sehingga akan diwakili oleh dua garis, sudut dua garis ini baru bisa kita hitung besarnya. Karena penghitungan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga pada akhirnya melibatkan sudut antara dua garis, maka sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi sebelumnya yaitu "Sudut Antara Dua garis pada Dimensi Tiga" dengan baik. Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tentunya juga melibatkan konsep trigonometri seperti "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penerapan trigonometri pada segitiga : aturan cosinus".

Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga

       Misalkan terdapat bidang V dan bidang W seperti pada gambar ilustrasi di atas. Jika kedua bidang belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudut dari kedua bidang tersebut.

Langkah-langkah menentukan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika bidang V dan bidang W belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Lukis garis $ l $ yang merupakan perpotongan antara bidang V dan bidang W.
3). Lukis garis $ g $ pada bidang V dan garis $ h $ pada bidang W, dimana kedua garis ini tegak lurus dengan garis $ l $.
4). Sudutnya : $ \angle (V, W) = \angle (g,h) $.

Catatan :
*). Langkah berikutnya adalah mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada materi sebelumnya yaitu "sudut antara dua garis pada dimensi tiga".
*). garis $ g $ dan $ h $ harus berpotongan (harus bertemu agar terbentuk sudutnya).

Contoh soal Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ADHE!
Penyelesaian :

*). Bidang ABCD dan bidang ADHE berpotongan pada garis AD.
*). Pilih garis AB pada bidang ABCD dan garis AE pada bidang ADHE dimana AB dan AE tegak lurus AD. Sehingga sudutnya :
$ \angle (ABCD, ADHE) = \angle (AB, AE) = \angle BAE $
*). AB dan AE tegak lurus sehingga besarnya $ 90^\circ $.
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan ADHE adalah $ 90^\circ $.

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ABGH!
Penyelesaian :

*). Bidang ABCD dan bidang ABGH berpotongan pada garis AB.
*). Pilih garis BC pada bidang ABCD dan garis BG pada bidang ABGH dimana BC dan BG tegak lurus AB. Sehingga sudutnya :
$ \angle (ABCD, ABGH) = \angle (BC, BG) = \angle GBC $
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu G ke C sehingga terbentuk segitiga GBC. Karena segitiga GBC siku-siku sama kaki, maka besar sudut $ GBC = 45^\circ $.
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan ABGH adalah $ 45^\circ $.

3). Pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ adalah sudut antara bidang BDE dan bidang BDG, maka tentukan nilai $ \tan \theta $!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P terletak ditengah rusuk BD.
*). Bidang BDE dan bidang BDG berpotongan pada garis BD.
*). Pilih garis GP pada bidang BDG dan garis EP pada bidang BDE dimana EP dan GP tegak lurus BD. Sehingga sudutnya :
$ \angle (BDE, BDG) = \angle (EP, GP) = \angle EPG = \theta $
*). Panjang sisi segitiga EPG :
pada segitiga EAP,
$ EP = \sqrt{EA^2 + AP^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
$ EG = 2\sqrt{2} $ dan $ GP = EP = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga EPG dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{EP^2 + GP^2 - EG^2}{2.EP.GP} \\ & = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{6}.\sqrt{6} } \\ & = \frac{6 + 6 - 8}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Kita peroleh : $ \cos \theta = \frac{1}{3} = \frac{sa}{mi} $
pada segitiga siku-siku :
$ depan = \sqrt{mi^2 - sa^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
Sehingga nilai $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2} $.
Jadi, nilai $ \tan \theta = 2\sqrt{2} $.

4). Pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ adalah sudut antara bidang BEG dan bidang ABGH, maka tentukan nilai $ \cos \theta $!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P dan Q terletak berturut-turut ditengah BG dan AH.
*). Bidang BEG dan bidang ABGH berpotongan pada garis BG.
*). Pilih garis EP pada bidang BEG dan garis PQ pada bidang ABGH dimana EP dan PQ tegak lurus BG. Sehingga sudutnya :
$ \angle (BEG,ABGH) = \angle (EP, PQ) = \angle EPQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga EPQ siku-siku di Q :
$ PQ = 2 $ dan $ EQ = \frac{1}{2}ED = \sqrt{2} $
$ EP = \sqrt{PQ^2 + EQ^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga EPQ :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} = \frac{PQ}{EP} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

5). Titik T terletak ditengah AB pada kubus ABCD.EFGH. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang TED dan bidang ADHE!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik M terletak ditengah DE.
*). Bidang TED dan bidang ADHE berpotongan pada garis DE.
*). Pilih garis TM pada bidang TED dan garis AM pada bidang ADHE dimana TM dan AM tegak lurus DE. Sehingga sudutnya :
$ \angle (TED,ADHE) = \angle (TM, AM) = \angle TMA = \theta $
*). Panjang sisi segitiga ATM siku-siku di A :
$ AT = 1 $ dan $ AM = \frac{1}{2}AH = \sqrt{2} $
$ TM = \sqrt{AT^2 + AM^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga ATM :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} = \frac{AM}{TM} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{2}{3}\sqrt{6} $.

6). Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Tentukan nilai tangen sudut antara bidang TAD dan bidang ABCD!
Penyelesaian :

*). Titik P dan Q berturut-turut terletak ditengah AD dan AC.
*). Bidang TAD dan bidang ABCD berpotongan pada garis AD.
*). Pilih garis TP pada bidang TAD dan garis PQ pada bidang ABCD dimana TP dan PQ tegak lurus AD. Sehingga sudutnya :
$ \angle (TAD,ABCD) = \angle (TP, PQ) = \angle TPQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga TPQ siku-siku di Q :
$ AQ = \sqrt{2} $ dan $ PQ = \frac{1}{2}AB = 1 $
$ TQ = \sqrt{AT^2 - AQ^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{7} $
*). Menentukan nilai $ \tan \theta $ pada segitiga TPQ :
$ \begin{align} \tan \theta & = \frac{de}{sa} = \frac{TQ}{PQ} = \frac{\sqrt{7}}{1} = \sqrt{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \sqrt{7} $.

7). Pada limas segiempat beraturan P.ABCD dengan panjang rusuk alas 4 cm dan rusuk tegak 5 cm. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang PAD dan bidang PBC!
Penyelesaian :

*). Karena bidang PAD dan PBC berpotongan pada satu titik saja (bukan pada sebuah garis), maka kita buat bidang yang melalui titik P dan tegak lurus bidang PAD dan PBC yaitu bidang PMN. Bidang PMN memotong bidang PAD dan PBC masing-masing pada garis PM dan PN, Sehingga sudutnya :
$ \angle (PAD,PBC) = \angle (PM, PN) = \angle MPN = \theta $
*). Panjang sisi segitiga PMN :
Pada segitiga PBN
$ PN = \sqrt{PB^2 - BN^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21} $
$ MN = 4 $ dan $ PM = PN = \sqrt{21} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga PMN dengan aturan kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{PM^2 + PN^2 - MN^2}{2.PM.PN} \\ & = \frac{( \sqrt{21})^2 + ( \sqrt{21})^2 - 4^2}{2. \sqrt{21}. \sqrt{21}} \\ & = \frac{21 + 21 - 16}{42} = \frac{26}{42} = \frac{13}{21} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{13}{21} $.

8). Pada limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang TAD dan bidang TAB!
Penyelesaian :

*). Bidang TAD dan bidang TAB berpotongan pada garis AT.
*). Kita pilih titik P pada garis AT sehingga garis BP pada bidang TAB dan garis DP pada bidang TAD tegak lurus dengan garis AT. Sehingga sudutnya :
$ \angle (TAD, TAB) = \angle (PB,PD) = \angle BPD = \theta $
*). Perhatikan segitiga TAB :
$ TQ = \sqrt{AT^2 - AQ^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
dengan konsep luas pada segitiga TAB :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AT.PB & = \frac{1}{2}.AB.TQ \\ AT.PB & = AB.TQ \\ 3.PB & = 2.2\sqrt{2} \\ PB & = \frac{4\sqrt{2}}{3} \end{align} $
*). Panjang sisi segitiga BPD :
Pada segitiga PBN
$ BP = PD = \frac{4\sqrt{2}}{3} $ dan $ BD = 2\sqrt{2} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga BPD dengan aturan kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{BP^2 + PD^2 - BD^2}{2.BP.PD} \\ & = \frac{( \frac{4\sqrt{2}}{3})^2 + ( \frac{4\sqrt{2}}{3})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2. \frac{4.\sqrt{2}}{3}. \frac{4\sqrt{2}}{3}} \\ & = \frac{\frac{32}{9} + \frac{32}{9} - 8}{\frac{64}{9}} \times \frac{9}{9} \\ & = \frac{32+32 - 72}{64} = \frac{-8}{64} = -\frac{1}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = -\frac{1}{8} $.

9). Tentukan nilai sinus sudut antara bidang BDHF dan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P dan Q terletak berturut-turut ditengah FH dan BD.
*). Bidang AFH dan bidang BDHF berpotongan pada garis FH.
*). Pilih garis AP pada bidang AFH dan garis PQ pada bidang BDHF dimana AP dan PQ tegak lurus FH. Sehingga sudutnya :
$ \angle (AFH,BDHF) = \angle (AP, PQ) = \angle APQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga APQ siku-siku di Q :
$ PQ = AE = 2 $ dan $ AQ = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $
$ AP = \sqrt{PQ^2 + AQ^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ pada segitiga APQ :
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = \frac{AQ}{AP} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} $.

10). Pada kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut antara bidang ACGE dan bidang CFH!
Penyelesaian :

*). Titik P terletak ditengah garis FH.
*). Bidang ACGE dan bidang CFH berpotongan pada garis CP.
*). Pilih garis FP pada bidang CFH dan garis PQ pada perluasan bidang ACGE dimana FP dan PQ tegak lurus CP. Sehingga sudutnya :
$ \angle (CFH, ACGE) = \angle (FP, PQ) = \angle FPQ = \theta $
*). Segitiga CPG sebangun dengan segitiga CPQ :
$ \begin{align} \frac{CP}{CQ} & = \frac{CG}{CP} \\ CP^2 & = CQ. CG \\ (\sqrt{6})^2 & = CQ.2 \\ 6 & = 2CQ \\ CQ & = 3 \end{align} $
Sehingga $ GQ = CQ - CG = 3 - 2 = 1 $
$ PQ = \sqrt{CQ^2 - CP^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{3} $
Pada segitiga FGQ :
$ FQ = \sqrt{FG^2 + GQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga FPQ dengan aturan kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{FP^2 + PQ^2 - FQ^2}{2.FP.PQ} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - ( \sqrt{5})^2}{2 .\sqrt{2}.\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 + 3 - 5}{2\sqrt{6}} = \frac{0}{2\sqrt{6}} \\ \cos \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Jadi, sudut antara ACGE dan CFH adalah $ 90^\circ $.

       Demikian pembahasan materi Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "melukis bidang irisan".