Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya. Dalam "logika matematika" pembahasan sebelumnya, kita telah memahami tentang apa itu "pernyataan dan kalimat terbuka" dan "Nilai kebenaran dan ingkaran pernyataan" yang tentu berkaitan langsung dengan materi Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya pada artikel ini. Dalam penulisan pernyataan, terkadang kita menjumpai kata-kata "semua", "setiap", "seluruh", "ada", "beberapa", "sebagian", dan "terdapat", semua kata-kata ini bertujuan untuk menyatakan ukuran kuantitas (jumlah). Kata-kata yang menunjukkan ukuran kuantitas inilah yang disebut sebagai kuantor/quantifier. Kuantor dibedakan menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial. Setelah mengenal kuantor, kita akan membahas ingkaran pernyataan berkuantor yang tentunya juga tidak kalah menarik untuk kita pelajari. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya sangat penting sebagai pendukung submateri logika matematika berikutnya.

Pernyataan Berkuator

       Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal dinotasikan $ \forall $ dan kuantor eksistensial dinotasikan $ \exists $ .

Kuantor Universal ($\forall$)

       Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan "semua, setiap, seluruh". Kuantor universal dilambangkan dengan $ \forall $ (dibaca untuk semua atau untuk setiap atau untuk seluruh).

$ \clubsuit \, $ misalkan terdapat pernyataan $ p $ :
$ \forall p $ dibaca semua $ p $ atau setiap $ p $ atau seluruh $ p $

$ \spadesuit \, $ misalkan terdapat kalimat terbuka $ p(x) $ :
$ \forall x , p(x) $ dibaca "untuk semua $ x $ berlaku sifat $ p(x) $
$ (\forall x \in S) , p(x) $ dibaca "untuk semua $ x $ anggota $ S $ berlaku sifat $ p(x) $

$ \heartsuit \, $ Pernyataan $ (\forall x \in S) , p(x) $ bisa bernilai benar atau salah. Hal ini tergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka $ p(x) $ .

Contoh Soal Kuantor Universal :

1). Berikut adalah contoh-contoh kuator universal :
a). $ \forall x \in R , x^2 \geq 0 $
Dibaca : "untuk setiap $ x $ anggota bilangan Real berlaku $ x^2 \geq 0 $

b). Semua ikan bernafas dengan insang.
disimbolkan : $ \forall p $ dengan
$ \forall $ : semua
$ p $ : ikan bernafas dengan insang.

2). Nyatakan kalimat terbuka berikut dengan menggunakan kuantor universal!
$ p(x) : x^2 - 3x + 1 = 5 $, dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat B.
Penyelesaian :
-). Bentuk kuantor universalnya yaitu :
$ (\forall x \in B) , x^2 - 3x + 1 = 5 $.
-). Dibaca :
"untuk setiap x anggota bilangan bulat, berlaku $ x^2 - 3x + 1 = 5 $"
atau bisa juga kita baca :
"untuk semua bilangan bulat $ x $ , berlaku $ x^2 - 3x + 1 = 5 $"

Kuantor Eksistensial ($\exists$)

       Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan "ada, beberapa, sebagian, terdapat". Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan $ \exists $ (dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian).

$ \clubsuit \, $ misalkan terdapat pernyataan $ p $ :
$ \exists p $ dibaca ada $ p $ atau terdapat $ p $ atau beberapa $ p $

$ \spadesuit \, $ misalkan terdapat kalimat terbuka $ p(x) $ :
$ \exists x , p(x) $ dibaca "ada $ x $ sedemikian sehingga berlaku sifat $ p(x) $
$ (\exists x \in S) , p(x) $ dibaca "terdapat $ x $ anggota $ S $ sedemikian sehingga berlaku sifat $ p(x) $

$ \heartsuit \, $ Pernyataan $ (\exists x \in S) , p(x) $ bisa bernilai benar atau salah. Hal ini tergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka $ p(x) $ .

Contoh Soal Kuantor Universal :

3). Berikut adalah contoh penggunaan kuantor eksistensial :
a). $ \exists x \in R , x^2 + 2x - 10 \leq 0 $
-). Dibaca : "ada $ x $ anggota bilangan real sedemikian sehingga $ x^2 + 2x - 10 \leq 0 $.
atau bisa juga dibaca :
"ada $ x $ anggota bilangan real dimana berlaku $ x^2 + 2x - 10 \leq 0 $.

b). Ada mamalia yang memakan daging.
-). Simbolnya : $ \exists p $
dengan
$ \exists $ : "ada"
$ p $ : "mamalia yang memakan daging".

4). Diketahui kalimat terbuka $ x^2 = 9 $. Tentukan pernyataan berkuantor eksistensial serta nilai kebenarannya, jika himpunan semestanya adalah semua bilanagn real R.
Penyelesaian :
-). Kuantor eksistensialnya : $ \exists x \in R , x^2 = 9 $ .
-). Dibaca : "terdapat $ x $ anggota bilangan real dimana berlaku $ x^2 = 9 $.
-). Nilai kebenaran dari pernyataan $ \exists x \in R , x^2 = 9 $ adalah Benar karena memang terdapat nilai $ x $ real yang memenuhi $ x^2 = 9 $ yaitu $ x = -3 $ atau $ x = 3 $.

Ingkaran Pernyataan Berkuantor

       Ingkaran dari pernyataan kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal. Dapat kita tulis $ \sim \forall = \exists $ dan $ \sim \exists = \forall $ .

$ \spadesuit \, $ Bentuk ingkaran dari pernyataan berkuantor :
a). $ \sim (\forall x , p(x) ) \equiv \sim \forall x , \sim p(x) \equiv \exists x , \sim p(x) $
b). $ \sim (\exists x , p(x) ) \equiv \sim \exists x , \sim p(x) \equiv \forall x , \sim p(x) $

Catatan :
-). Bentuk $ \sim (\forall x , p(x) ) \equiv \exists x , \sim p(x) $
-). yang dibaca bisa bagian depan yaitu $ \sim (\forall x , p(x) ) $ atau bagian belakanya yaitu $ \exists x , \sim p(x) $ .

Contoh Soal ingkaran pernyataan berkuantor :

5). Berikut contoh ingakran berkuantor :
a). Pernyataan : semua sapi bernafas dengan paru-paru.
-). Simbolnya : $ \forall p $
-). Ingakrannya : $ \sim (\forall p ) \equiv \exists (\sim p) $
-). ingkarannya dibaca :
"tidak semua sapi bernafas dengan paru-paru". atau
"bukan semua sapi bernafas dengan paru-paru". atau
"ada sapi bernafas tidak dengan paru-paru". atau
"terdapat sapi bernafas tidak dengan paru-paru".

b). Pernyataan : Beberapa siswa SMA rajin belajar
-). Simbolnya : $ \exists p $
-). Ingakrannya : $ \sim (\exists p ) \equiv \forall (\sim p) $
-). ingkarannya dibaca :
"tidak ada siswa SMA rajin belajar". atau
"semua siswa SMA tidak rajin belajar". atau
"setiap siswa SMA tidak rajin belajar". atau
"seluruh siswa SMA tidak rajin belajar".

       Demikian pembahasan materi Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan logika matematika yaitu "pernyataan majemuk".