Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang yang merupakan salah satu bagian dari aplikasi vektor, dimana sebelumnya kita telah membahas aplikasi vektor yang lainnya yaitu "aplikasi vektor : jarak titik ke garis" dan "aplikasi vektor : luas bangun datar". Dengan mempelajari Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, akan menambah wawasan kepada kita semua bahwa untuk mencari atau menentukan volume bangun ruang selain dengan menggunakan rumus volume yang sudah kita pelajari di tingkat SMP, ternyata volume bangun datar juga bisa kita hitung dengan menggunakan konsep vektor. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi "pengertian vektor dan penulisannya", "panjang vektor", "perkalian dot dua vektor", "perkalian silang dua vektor", dan "proyeksi orthogonal vektor pada vektor". Salah satu bangun ruang yang akan kita bahas adalah Paralel Epipedum , prisma, dan limas dalam Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini.

Rumus Aplikasi vektor : Volume Bangun Ruang

$ \spadesuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan bangun ruang di atas. Paralel Epipedum adalah benda ruang bersisi 6 yang sisi-sisi sejajarnya kongruen dan masing-masing sisinya berupa jajargenjang. Paralel Epipedum terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume Paralel Epipedum yaitu :
    Volume $ = |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan gambar limas segitiga di atas yang terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume limas segitiga dengan konsep vektor yaitu :
    Volume $ = \frac{1}{6} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Volume Limas segiempat dengan alas berbentuk persegi, persegi panjang, belah ketupat, atau jajargenjang, dimana limas terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$ yaitu :
    Volume $ = \frac{1}{3} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \heartsuit \, $ Volume prisma segi empat
       Rumus Volume prisma segi empat (alasnya persegi atau persegi atau belahketupat) sama dengan rumus volume Paralel Epipedum di atas.

Catatan :
*). Bentuk $ \vec{a} \times \vec{b} \, $ adalah perkalian silang yang menghasilkan vektor.
*). Bentuk $ \vec{a} . \vec{b} \, $ adalah perkalian dot yang menghasilkan skalar.
*). bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| \, $ artinya nilainya selalu positif.
*). Bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| \, $ artinya kita bisa menghitung volumenya dengan memilih salah satu rumus karena hasilnya akan sama, misalkan cukup menggunakan rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $ saja dengan mengerjakan operasi yang didalam kurung terlebih dahulu.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang

1). Tentukan volume Paralel Epipedum yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} = (3, -1 , 2) $ , $ \vec{v} = (1, 0 , -2) $ , dan $ \vec{w} = (2, 1, 3) $ !
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $.
*). Menentukan hasil $ \vec{v} \times \vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{v} \times \vec{w} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (0.3.\vec{i} + (-2).2.\vec{j} + 1.1.\vec{k}) - (-2.1.\vec{i} + 1.3.\vec{j} + 0.2.\vec{k}) \\ & = - 4\vec{j} + \vec{k} + 2\vec{i} - 3\vec{j} \\ & = 2\vec{i} - 7\vec{j} + \vec{k} \\ & = ( 2 , -7 , 1) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) $
$ \begin{align} \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) & = (3, -1 , 2) . ( 2 , -7 , 1) \\ & = 3.2 + (-1).(-7) + 2.1 \\ & = 6 + 7 + 2 = 15 \end{align} $
*). Menentukan volume Paralel Epipedum
Volume $ = | \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) | = | 15 | = 15 $
Jadi, volume Paralel Epipedum tersebut adalah 15 satuan volume.

Gambar balok ABCD.EFGH berikut adalah untuk contoh soal nomor 2,3,4, dan 5.

Untuk memudahkan, mari kita daftar titik-titik sudut masing-masing yaitu :
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; D(0,0,0) ; E(5, 0, 4) ;
F(5, 6, 4) ; G(0, 6, 4) ; dan H(0, 0, 4) .

2). Tentukan volume Balok ABCD.EFGH di atas.
Penyelesaian :
Cara I : Rumus volume balok $ = p . l . t $
Pada gambar , $ p = 6, l = 5, t = 4 $.
Volume $ = p.l.t = 6.5.4 = 120 \, $ satuan volume.

Cara II : Aplikasi vektor .
*). Alas balok adalah ABCD yang terbentuk oleh vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AD} $
$ \vec{AB} = (0, 6, 0 ) $ dan $ \vec{AD} = (-5, 0 , 0 ) $
*). Balok ABCD. EFGH terbentuk juga oleh vektor $ \vec{AE} $
$ \vec{AE} = (0, 0, 4) $
*). Volume balok $ = | \vec{AE} . (\vec{AB} \times \vec{AD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AB} \times \vec{AD} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 0) - (0 + 0 -30\vec{k}) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = ( 0 , 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) $
$ \begin{align} \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) & = (0, 0, 4) . ( 0 , 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
Sehingga volume balok ABCD.EFGH adalah 120 satuan volume.
(hasilnya sama dengan cara I ).

3). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga F.ACH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut

*). Limas segitiga F.ACH terbentuk dari :
alas segitiga ACH dengan $ \vec{AC} = (-5, 6, 0) $ dan $ \vec{AH} = (-5, 0, 4) $
vektor ketiga $ \vec{AF} = (0, 6, 4) $
*). Volume Limas F.ACH $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 +0) - (0 -20\vec{j} - 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30 \vec{k} \\ & = (24, 20 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) $
$ \begin{align} \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) & = (0, 6, 4) . (24, 20 , 30 ) \\ & = 0 + 120 + 120 = 240 \end{align} $
*). Volume limas F.ACH :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | = \frac{1}{6} |240 | = 40 $
Sehingga volume limas F.ACH adalah 40 satuan volume.

4). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga E.BCD!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut

*). Limas segitiga E.BCD terbentuk dari :
alas segitiga BCD dengan $ \vec{BC} = (-5, 0, 0) $ dan $ \vec{BD} = (-5, -6, 0) $
vektor ketiga $ \vec{BE} = (0, -6, 4) $
*). Volume Limas E.BCD $ = \frac{1}{6} | \vec{BE} . (\vec{BC} \times \vec{BD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{BC} \times \vec{BD} $ :
$ \begin{align} \vec{BC} \times \vec{BD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 0 & 0 \\ -5 & -6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 +30\vec{k}) - (0 + 0 + 0) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = (0, 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) $
$ \begin{align} \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) & = (0, -6, 4) . (0, 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
*). Volume limas E.BCD :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) | = \frac{1}{6} |120 | = 20 $
Sehingga volume limas E.BCD adalah 20 satuan volume.

5). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segiempat A.PQRS dengan titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak ditengah-tengah garis CD, CG, GH, dan DH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Koordinat titik A(5, 0, 0) ; P(0, 3, 0) ; Q(0, 6, 2) : S(0, 0, 2)
*). Limas segiempat A.PQRS terbentuk dari :
alas PQRS dengan $ \vec{PQ} = (0, 3, 2) $ dan $ \vec{PS} = (0, -3 , 2) $
vektor ketiga $ \vec{PA} = (5, -3, 0 ) $
*). Volume Limas A.PQRS $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{PQ} \times \vec{PS} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} \times \vec{PS} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (6\vec{i} + 0 +0) - (-6\vec{i} + 0 + 0) \\ & = 12\vec{i} \\ & = (12, 0, 0 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $\vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) $
$ \begin{align} \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) & = (5, -3, 0 ) . (12, 0, 0 ) \\ & = 60 + 0 + 0 = 60 \end{align} $
*). Volume limas A.PQRS :
Volume $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} )| = \frac{1}{3} |60 | = 20 $
Sehingga volume limas A.PQRS adalah 20 satuan volume.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang :

$ \heartsuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

*). Alas Paralel Epipedum adalah jajargenjang yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi Paralel Epipedum adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume Paralel Epipedum (berbentuk prisma) :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume Paralel Epipedum $ = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

*). Alas Limas adalah segitiga yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segitiga :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segitiga $ = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

*). Alas Limas adalah segiempat yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segiempat :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segiempat $ = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor tingkat SMA" yaitu "Aplikasi vektor : Jarak dua garis bersilangan".