Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar
Perhatikan ilustrasi gambar jajar genjang dan segitiga yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
$ \spadesuit \, $ Luas jajar genjang
Rumus luas jajar genjangnya yaitu :
Luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga
Rumus luas segitiga yaitu :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| $
Catatan :
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = \, $ besar/panjang vektor $ \vec{u} \times \vec{v} $
$ \spadesuit \, $ Luas jajar genjang
Rumus luas jajar genjangnya yaitu :
Luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga
Rumus luas segitiga yaitu :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| $
Catatan :
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = \, $ besar/panjang vektor $ \vec{u} \times \vec{v} $
Pembuktian Rumus luas bangun datar :
*). Rumus panjang perkalian silang dua vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin \theta $.
*). Perhatikan sudut $ \theta $ pada jajar genjang,
$ \sin \theta = \frac{t}{|\vec{v}|} \rightarrow t = |\vec{v}| \sin \theta $
*). Luas jajargenjang
Perhatikan jajargenjang di atas, luas jajar genjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = \text{alas } \times \text{ tinggi} \\ & = |\vec{u}| \, t \\ & = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta \\ & = |\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $ .
*). Luas segitiga
Segitiga adalah bangun datar yang bentuknya separuh dari jajargenjang seperti pada gambar di atas, sehingga luas segitiga :
$ \begin{align} \text{luas segitiga } & = \frac{1}{2}\text{ luas jajargenjang} \\ & = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| $.
Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar
1). Tentukan luas jajar genjang dan luas segitiga yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} = (-1,2,3) $ dan $ \vec{v} = (2, -1,2) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (2.2.\vec{i} + 3.2.\vec{j} + (-1).(-1).\vec{k}) - (-1.3.\vec{i} + (-1).2.\vec{j} + 2.2.\vec{k}) \\ & = (4\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}) - (-3\vec{i} -2\vec{j} + 4\vec{k}) \\ & = 7\vec{i} + 8\vec{j} -3\vec{k} \\ & = ( 7 , 8 , -3) \end{align} $
*). Menentukan luas jajargenjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = |\vec{u} \times \vec{v}| \\ & = \sqrt{7^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ & = \sqrt{49 + 64 + 9} = \sqrt{112} \\ & = \sqrt{16.7} = 4\sqrt{7} \end{align} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ 4\sqrt{7} $ satuan luas.
*). Menentukan luas segitiganya :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} . 4\sqrt{7} = 2\sqrt{7} $
Jadi, luas segitiga yang terbentuk adalah $ 2\sqrt{7} $ satuan luas.
2). Diketahui vektor $ \vec{a} = ( 1, -2 , 0) $ dan $ \vec{b} = ( -3, 1, p) $ . Jika luas jajargenjang yang dibentuk oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 3\sqrt{5} $ satuan luas, maka tentukan semua nilai $ p $ yang mungkin!
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silang $ \vec{a} \times \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ -3 & 1 & p \end{matrix} \right| \\ & = (-2p\vec{i} + 0 + \vec{k} ) - ( 0 + p\vec{j} + 6\vec{k}) \\ & = -2p\vec{i} - p\vec{j} - 5\vec{k} \\ & = (-2p , -p , -5) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align} \text{Luas } & = |\vec{a} \times \vec{b}| \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{(-2p)^2 + (-p)^2 + (-5)^2} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{4p^2 + p^2 + 25} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{5p^2 + 25} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 45 & = 5p^2 + 25 \\ 5p^2 & = 20 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -2 $ atau $ p = 2 $
3). Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk seperti gambar berikut,
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan perhitungan, sebaiknya kita identifikasi terlebih dahulu koordinat titiktitik sudut yang diperlukan.
*). Dari gambar yang tersedia kita dapat menyatakan bahwa koordinat titik
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; H(0, 0, 4) ; F(5, 6, 4) ; dan G(0, 6, 4).
*). Menentukan vektor $ \vec{AC} $ dan $ \vec{AH} $ :
$ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-5, 6, 0 ) $
$ \vec{AH} = \vec{h} - \vec{a} = (-5, 0, 4 ) $
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 + 0) - (0 -20\vec{j} - 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30\vec{k} \\ & = ( 24 , 20 , 30) \end{align} $
*). Menentukan luas bidang ACH (segitiga) :
$ \begin{align} \text{Luas ACH} & = \frac{1}{2}|\vec{AC} \times \vec{AH}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{24^2 + 20^2 + 30^2} \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{1984} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 496} \\ & = \frac{1}{2} . 2\sqrt{ 496} = \sqrt{ 496} \end{align} $
Jadi, luas bidang ACH adalah $ \sqrt{ 496} $ satuan luas.
Luas Bangun Datar Diketahui koordinat titik sudutnya
Untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya adalah dengan menggunakan rumus yang
mirip dengan determinan matriks. Rumus ini berlaku untuk semua bangun datar segi-$n$ yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya.
*). Rumus luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2})] $
*). Rumus luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) , C(c_1,c_2) $ , dan $ D(d_1,d_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1d_2+d_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+d_1c_2+a_1d_2})] $
Catatan :
*). Begitu seterusnya untuk bangun datar segilima, segienam, dan lainnya berlaku mirip dengan rumus di atas.
*). Urutan titiknya harus berurutan sehingga membentuk bangun yang dihitung luasnya.
*). Dari rumus di atas, satu titik paling kiri kita ulang lagi letakkan di akhir paling kanan.
*). Rumus luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2})] $
*). Rumus luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) , C(c_1,c_2) $ , dan $ D(d_1,d_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1d_2+d_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+d_1c_2+a_1d_2})] $
Catatan :
*). Begitu seterusnya untuk bangun datar segilima, segienam, dan lainnya berlaku mirip dengan rumus di atas.
*). Urutan titiknya harus berurutan sehingga membentuk bangun yang dihitung luasnya.
*). Dari rumus di atas, satu titik paling kiri kita ulang lagi letakkan di akhir paling kanan.
Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar
4). Hitunglah luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $!
Penyelesaian :
*). Koordinatnya : $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -2 & 2 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & -5 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-2.3+2.-5+4.1)-(2.1+4.3+-2.-5)] \\ & = \frac{1}{2} [(-6-10+4)-(2+12+10)] \\ & = \frac{1}{2} [(-12)-(24)] \\ & = \frac{1}{2} [-36] = -18 = 18 \end{align} $
(luas selalu bernilai positif).
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 18 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.
Untuk contoh lainnya tentang luas bangun datar yang diketahui koordinat titik sudutnya, silahkan baca pada artikel "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya"
Pembuktian Rumus luas bangun datar yang diketahui koordinatnya :
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga dengan koordinat $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $
*). Untuk menentukan luas segitiganya , kita bentuk dua vektor yaitu $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ yang berpotongan di titik A.
$ \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 ) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 - a_1, c_2 - a_2) $
*). Karena rumus perkalian silang hanya berlaku di R$^3$, maka kita tambahkan $ 0 $ pada vektor maing-masing yang searah dengan sumbu $ Z $ seperti berikut ini :
$ \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 , 0) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 - a_1, c_2 - a_2, 0 ) $
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AC} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 - a_1 & b_2 - a_2 & 0 \\ c_1 -a_1 & c_2 - a_2 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + (b_1-a_1)(c_2-a_2)\vec{k} ) - ( 0 + 0 + (c_1-a_1)(b_2-a_2)\vec{k}) \\ & =[(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]\vec{k} \\ & = (0,0,(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)) \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiganya :
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta & = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + 0^2 + [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]^2 } \\ & = \frac{1}{2} [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [(b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 + a_1a_2)-(c_1b_2 - c_1a_2 - a_1b_2 + a_1a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 + a_1a_2 - c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2 - a_1a_2] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 - c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2] \\ & = \frac{1}{2} [ a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 - b_1a_2 - c_1b_2 - a_1c_2 ] \\ & = \frac{1}{2} [ (a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 ) - (b_1a_2 + c_1b_2 + a_1c_2 )] \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $ .
$ \spadesuit \, $ Luas segiempat dan lainnya
Untuk membuktikan rumus luas segiempat dan segi lainnya, kita cukup menghitung dengan membagi-bagi bangunnya menjadi segitiga-segitiga, kemuadian luasnya kita jumlahkan, dengan sedikit pengaturan maka akan terbukti luas yang kita inginnkan. Silahkan teman-teman coba ya. Semoga berhasil.
Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Volume bangun ruang".
