Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot
Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^2 $ atau di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot yaitu :
1). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $ (sifat komutatif)
2). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
5). $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
6). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a}. \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $
1). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $ (sifat komutatif)
2). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
5). $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
6). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a}. \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $
$ \clubsuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot :
Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol. (teman-teman juga bisa menggunakan vektor-vektor di R$^2$).
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3) \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ & = b_1a_1 + b_2a_2 + b_3a_3 \\ & = (b_1,b_2,b_3) . (a_1, a_2, a_3) \\ & = \vec{b}. \vec{a} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} $
*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = (a_1, a_2, a_3). [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3). (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = a_1(b_1+c_1) + a_2(b_2+c_2) + a_3(b_3+c_3) \\ & = a_1b_1+a_1c_1 + a_2b_2+a_2c_2 + a_3b_3+b_3c_3 \\ & = (a_1b_1+a_2b_2 + a_3b_3) +( a_1c_1 +a_2c_2 +b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} $
*). Pembuktian Sifat (3) :
$ \begin{align} (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)].(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3).(c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1)c_1+ (a_2+b_2)c_2+ (a_3+b_3)c_3 \\ & = a_1c_1+b_1 c_1+ a_2c_2+b_2c_2+ a_3c_3+b_3c_3 \\ & = (a_1c_1+ a_2c_2 + a_3c_3) + (b_1 c_1+b_2c_2+b_3c_3) \\ & = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \end{align} $
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} $
*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a}.\vec{b}) & = k [(a_1, a_2, a_3) . (b_1,b_2,b_3)] \\ & = k [a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ] \\ & = k a_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ (k\vec{a}).\vec{b} & = [k(a_1, a_2, a_3)].(b_1,b_2,b_3) \\ & = (ka_1, ka_2, ka_3) .(b_1,b_2,b_3) \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \\ \vec{a}.(k\vec{b}) & = (a_1, a_2, a_3).[k(b_1,b_2,b_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3).(kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = a_1kb_1 + a_2kb_2 + a_3kb_3 \\ & = ka_1b_1 + ka_2b_2 + ka_3b_3 \end{align} $
Dari ketiga hasil di atas, terbukti bahwa
$ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
*). Pembuktian sifat (5) : $ \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}|^2 $
Untuk pembuktian sifat (5) ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot".
*). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = 0 \\ |\vec{a}|| \vec{b}| \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Terbukti sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 90^\circ $ atau kita sebut $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ atau dapat kita tulis $ \vec{a} \bot \vec{b} $.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang
Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ di R$^3$ dan $ k $ skalar tak nol.
Sifat-sifat Operasi Perkalian silang yaitu :
1). $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \, $ (sifat anti komutatif)
2). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
5). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
1). $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \, $ (sifat anti komutatif)
2). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
3). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $ (sifat distributif)
4). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
5). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat-sifat Operasi Perkalian Silang :
Misalkan vektor-vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ dan $ \vec{c} = (c_1,c_2,c_3) $ di di R$^3$ serta $ k $ skalar tak nol.
*). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ - \vec{b} \times \vec{a} & = - \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix} \right| \\ & = -(a_3b_2 - a_2b_3 , a_1b_3 - a_3b_1 , a_2b_1 - a_1b_2 ) \\ & = (-a_3b_2 + a_2b_3 , -a_1b_3 + a_3b_1 , -a_2b_1 + a_1b_2 ) \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $
*). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} & \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1, a_2, a_3) \times (b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & b_3 +c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2(b_3+c_3) - a_3(b_2+c_2) , a_3(b_1+c_1) - a_1(b_3+c_3) , a_1(b_2+c_2) - a_2(b_1+c_1) ) \\ & \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) + (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 , a_3b_1 + a_3c_1 - a_1b_3 - a_1c_3 , a_1b_2 + a_1c_2 - a_2b_1 - a_2c_1 ) \\ & = (a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 +c_2) , a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 +c_3) , a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 +c_1) ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $
*). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} & (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} \\ & = [(a_1, a_2, a_3) + (b_1,b_2,b_3)] \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3) \times (c_1,c_2,c_3) \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 + b_1 & a_2 + b_2 & a_3 + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = ((a_2+b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3+b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1+b_1)c_2 - (a_2+b_2)c_1 ) \\ & \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 ) + (b_2c_3 - b_3c_2 , b_3c_1 - b_1c_3 , b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 - a_3c_2 + b_2c_3 - b_3c_2 , a_3c_1 - a_1c_3 + b_3c_1 - b_1c_3 , a_1c_2 - a_2c_1 + b_1c_2 - b_2c_1 ) \\ & = (a_2c_3 + b_2c_3 - a_3c_2 - b_3c_2 , a_3c_1 + b_3c_1 - a_1c_3 - b_1c_3 , a_1c_2 + b_1c_2 - a_2c_1- b_2c_1 ) \\ & = ((a_2 + b_2)c_3 - (a_3+b_3)c_2 , (a_3 + b_3)c_1 - (a_1+b_1)c_3 , (a_1 + b_1)c_2 - (a_2 + b_2)c_1 ) \end{align} $
Kedua bentuk di atas memiliki hasil yang sama.
Terbukti $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} $.
*). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} k(\vec{a} \times \vec{b}) & = k \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = k (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ (k\vec{a}) \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \\ \vec{a} \times (k\vec{b}) & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ kb_1 & kb_2 & kb_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2kb_3 - a_3kb_2 , a_3kb_1 - a_1kb_3 , a_1kb_2 - a_2kb_1 ) \\ & = (ka_2b_3 - ka_3b_2 , ka_3b_1 - ka_1b_3 , ka_1b_2 - ka_2b_1 ) \end{align} $
Ketiga hasil di atas nilainya sama.
Terbukti $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
*). Pembuktian sifat (5) :
Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = 0 \\ | \vec{a} \times \vec{b} | & = 0 \\ | \vec{a} | |\vec{b} | \sin \theta & = 0 \\ \sin \theta & = 0 \\ \theta & = 0^\circ \end{align} $
Karena sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 0^\circ $, maka kedua vektor ini sejajar. Jadi terbukti sifat (5).
Contoh soal Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang :
1). Dari bentuk berikut ini, manakah yang SALAH
A). $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) = (\vec{a}.\vec{b}).\vec{c} $
B). $ \vec{a}. \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \, $
C). $ \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} \, $
D). $ (\vec{a} +\vec{b}).\vec{c} = \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \, $
E). $ k(\vec{a}.\vec{b}) = (k\vec{a}).\vec{b} = \vec{a}.(k\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). dari sifat-sifat perkalian dot di atas, maka yang salah adalah option (A). Kenapa option A salah? berikut penjelasannya.
-). Perhatikan bentuk $ \vec{b}.\vec{c} $, hasilnya adalah skalar (bukan vektor).
-). bentuk $ \vec{a}.(\vec{b}.\vec{c}) $ = vektor dot skalar, tidak terdefinis karena perkalian dot berlaku hanya antara vektor dan vektor.
Karena tidak terdefinisi, maka otomatis option (A) salah.
2). Manakah dari pernyataan berikut yang SALAH !
A). $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \, $
B). $ (\vec{a} +\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \, $
C). $ k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) $
D). Jika $ \vec{a} \neq 0 $ , $ \vec{b} \neq 0 $ dan $ \vec{a} \times \vec{b} = 0 $ , maka $ \vec{a} $ sejajar $ \vec{b} $
E). $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a} \, $
Penyelesaian :
*). Option atau pernyataan yang salah adalah option (E) karena pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif melainkan berlaku sifat anti komutatif yaitu $ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} $ .
Demikian pembahasan materi Sifat Operasi Perkalian Dot dan Perkalian Silang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" lainnya yaitu "proyeksi ortogonal vektor pada vektor".
