Misalkan kita akan memproyeksikan vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ seperti tampak pada ilustrasi gambar 1 di atas. Proyeksi Ortogonal Vektor $ \vec{a} $ pada Vektor $ \vec{b} $ menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana ujung vektor $ \vec{c} $ dibatasi oleh sebuah garis tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ yang ditarik dari ujung vektor $ \vec{a} $ ke vektor $ \vec{b} $. Ada tiga hal yang bisa kita tentukan yaitu :
(I). Skalarnya yaitu besar dan arah $ \vec{c} $ terhadap vektor $ \vec{b} $,
Jika positif, maka $ \vec{c} $ searah dengan vektor $ \vec{b} $ dan
Jika negatif, maka $ \vec{c} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $
Jika besarnya nol, maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $
(III). Panjang vektor $ \vec{c} $ (panjang vektor hasil proyeksinya yang nilainya selalu positif).
Untuk memudahkan mempelajari materi Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor ini, sebaiknya kita harus menguasai materi "perkalian dot dua vektor" dan "panjang vektor", karena kedua materi ini yang berkaitan langsung pada penghitungan-penghitungan berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor.
Rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
Perhatikan ilustrasi gambar 1 Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor di atas. Berikut rumus-rumus yang
berkaitan dengan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor, yaitu :
$ \clubsuit \, $ Proyeksi Skalar Ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $
$ \spadesuit \, $ Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
$ \heartsuit \, $ Panjang Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $
$ \clubsuit \, $ Proyeksi Skalar Ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $
$ \spadesuit \, $ Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
$ \heartsuit \, $ Panjang Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $
Catatan :
*). Bentuk $ \vec{a}.\vec{b} $ artinya perkalian dot dan $ |\vec{b}| $ adalah panjang vektor $ \vec{b} $.
*). Trik mengingat rumusnya adalah tergantung kata "pada" dimana vektor kedua setelah kata "pada" selalu sebagai pembagi, misalkan :
-). Proyeksi Ortogonal vektor $ \vec{b} $ pada vektor $ \vec{a} $, rumusnya :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \end{align} $,
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \end{align} $,
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \end{align} $ .
*). Sesuai sifat perkalian dot yaitu $ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} $
*). Proyeksi Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ dapat ditulis $ \begin{align} \text{Proy}_\vec{b} \vec{a} \end{align} $.
*). Kata "Ortogonal" boleh kita tulis atau juga boleh tidak karena proyeksi pasti tegak lurus.
*). Untuk menentukan panjang proyeksi vektor, kita boleh mencari dulu hasil proyeksi vektornya kemudian menentukan panjangnya.
*). Untuk pembuktian rumus-rumus di atas, akan kita sajikan di bagian akhir setelah contoh-contoh soalnya.
Contoh soal Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :
1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -1, 3) $ dan vektor $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $ . Tentukan :
a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
Penyelesaian :
a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{(2, -1, 3).(-1, 2, -2)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} } \\ & = \frac{2.(-1) + -1. 2 + 3. (-2) }{\sqrt{9} } \\ & = \frac{-2 - 2 - 6 }{3} \\ & = \frac{-10}{3} \end{align} $
b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ & = \frac{(-1, 2, -2).(2, -1, 3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} } \\ & = \frac{-1.2 + 2.(-1) + -2.3}{\sqrt{4 + 1 + 9} } \\ & = \frac{-2 - 2 - 6 }{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-10}{\sqrt{14}} \end{align} $
c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-10}{3^2} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{-10}{9} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{10}{9} , -\frac{20}{9} , \frac{20}{9} \right) \end{align} $
d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-10}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-5}{7} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( -\frac{10}{7} , \frac{5}{7} , -\frac{15}{7} \right) \end{align} $
e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{3} \right| \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $
f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{\sqrt{14}} \right| \\ & = \frac{10}{\sqrt{14}} \end{align} $
2). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{p} = (2, 4) $ pada $ \vec{q} = (6 , 2) $ dan panjang proyeksi vektor itu!
Penyelesaian :
*). Misalkan hasil proyeksinya adalah vektor $ \vec{u} $ seperti gambar berikut,
$ \begin{align} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|^2} \right) \vec{q} \\ & = \left( \frac{2.6 + 4.2}{(\sqrt{6^2 + 2^2})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{12 + 8}{(\sqrt{40})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{20}{40} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{1}{2} \right) (6 , 2) \\ & = (3 , 1) \end{align} $
Sehingga vektor proyeksinya adalah $ (3, 1) $.
*). Menentukan panjang vektor proyeksinya :
Panjang proyeksi $ = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $.
Sehingga panjang vektor proyeksinya adalah $ \sqrt{10} $.
Catatan :
Untuk menentukan panjang proyeksi pada contoh soal nomor 2 ini, kita tidak perlu mencari hasil vektor proyeksinya terlebih dahulu, melainnya bisa langsung menggunakan rumus panjang proyeksi vektornya yaitu :
Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|} \right| = \frac{20}{\sqrt{40}} = \frac{20}{40} \sqrt{40} = \frac{1}{2}. 2\sqrt{10} = \sqrt{10} $.
3). Diketahui titik-titik $ A(-3,1,2) $ , $ B(2,2,1) $ dan $ C(-1,0,3)$. Tentukan proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $ :
$ \vec{AB} = B - A = (2 - (-3) , 2 - 1, 1 - 2) = (5, 1, -1) $
$ \vec{BC} = C - B = (-1 - 2 , 0-2, 3 - 1) = (-3, -2, 2) $.
*). Hasil proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $ misalkan $ \vec{r} $ :
$ \begin{align} \vec{r} & = \left( \frac{\vec{AB}.\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2} \right) \vec{BC} \\ & = \left( \frac{5.(-3) + 1.(-2) + -1.2}{(\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 2^2})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-15 - 2 - 2}{(\sqrt{9 + 4 + 4})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{(\sqrt{17})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{17} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksinya adalah $ \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) $.
4). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = (-1,1,-4) $ dan $ \vec{v} = ( 2, -1,3) $ . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ (2\vec{u} + 3\vec{v}) $ pada $ -2\vec{v} $!
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan dan penyingkatan dalam penulisan, kita misalkan :
$ \vec{a} = (2\vec{u} + 3\vec{v}) = (-2,2,-8) + ( 6, -3,9) = (4, -1 , 1) $
$ \vec{b} = -2 \vec{v} = ( -4, 2,-6) $
Yang kita cari sama saja proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $.
*). Menentukan proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{4.(-4) + (-1). 2 + 1. (-6)}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-6)^2} } \\ & = \frac{-16 - 2 - 6}{\sqrt{16 + 4 + 36 } } \\ & = \frac{-24}{\sqrt{56} } \\ & = \frac{-24}{56} \sqrt{56} \\ & = -\frac{3}{7} \sqrt{56} \end{align} $
sehingga proyeksi skalarnya adalah $ -\frac{3}{7} \sqrt{56} $.
*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
Kita gunakan hasil di atas :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-24}{(\sqrt{56})^2} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{-24}{56} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( -\frac{3}{7} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) \end{align} $
Sehingga hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) $.
5). Diketahui vektor $ \vec{p} = 2\vec{i}+\vec{j} +2\vec{k} $ dan $ \vec{q} = 3\vec{i} + b\vec{j} + \vec{k} $. Jika $ |\vec{r}| $ adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ dan $ |\vec{r}| = 4 $, maka tentukan nilai $ b $!
Penyelesaian :
*). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, 1, 2) $ dan $ \vec{q} = (3, b, 1) $ .
*). Menentukan nilai $ b $ dengan proyeksi ortogonal $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ |\vec{r}| & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ 4 & = \left| \frac{ 2.3 + 1.b + 2.1 }{ \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2 } } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ \sqrt{9} } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ 3 } \right| \\ | b + 8 | & = 12 \\ b & = 4 \vee b = -20 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ yang mungkin adalah $ b = -20 $ atau $ b = 4 $.
6). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{a} = (2,0,1) $ pada vektor $ \vec{b} $ yang sejajar dan sama panjang tetapi berlawanan arah dengan vektor $ \vec{c} = (0, 2, -2 ) $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} = - \vec{c} = -(0, 2, -2) = (0, -2, 2) $.
*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{2.0 + 0. (-2) + 1.2}{(\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{(\sqrt{8 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{8 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{1}{4 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) $.
7). Diketahui $ \vec{a} = (4, 2, -3) $ dan $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $. Vektor $ \vec{c} $ merupakan proyeksi ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $. Jika $ \vec{u} = ( -1, 1, z) $ memiliki panjang yang sama dengan vektor $ \vec{c} $ , maka tentukan nilai $ z $!
Penyelesaian :
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + z^2 } = \sqrt{z^2 + 2} $
*). Menentukan panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ (panjang vektor $ \vec{c}$) :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ |\vec{c}| & = \left| \frac{4.(-1) + 2.2 + (-3). (-2) }{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 } } \right| \\ & = \left| \frac{-4 + 4 + 6}{\sqrt{9} } \right| \\ & = \left| \frac{6}{3} \right| \\ & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ z $ dengan $ |\vec{u}| = |\vec{c}| $ :
$ \begin{align} |\vec{u}| & = |\vec{c}| \\ \sqrt{z^2 + 2} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{z^2 + 2})^2 & = 2^2 \\ z^2 + 2 & = 4 \\ z^2 & = 2 \\ z & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ z = -\sqrt{2} $ atau $ z = \sqrt{2} $ .
8). Diketahui $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) $, $ x $ bilangan bulat positif. Vektor $ \vec{q} $ merupakan proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ dan $ \theta $ sudut yang dibentuk oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $. Jika $ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} $ , maka tentukan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{q} $ adalah hasil proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $, artinya $ \vec{q} $ terletak pada vektor $ \vec{b} $ sehingga sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $ sama saja dengan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ .
*). Kita memiliki rumus $ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ (-4, 2).( 3, x ) & = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} . \sqrt{3^2 + x^2} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \sqrt{20} . \sqrt{x^2 + 9} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \frac{\sqrt{20} }{\sqrt{2}} . \sqrt{x^2 + 9} \\ -12 + 2x & = \sqrt{10} . \sqrt{x^2 + 9} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4x^2 - 48x + 144 & = 10(x^2 + 9) \\ 4x^2 - 48x + 144 & = 10x^2 + 90 \\ 6x^2 + 48x -54 & = 0 \\ x^2 + 8x -9 & = 0 \\ (x + 9)(x-1) & = 0 \\ x = -9 \vee x = 1 \end{align} $
Karena $ x $ positifi, maka $ x = 1 $ yang memenuhi.
Sehingga vektor $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) = ( 3, 1) $.
*). Menetukan vektor $ \vec{q} $ yaitu proyeksi vektor $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ \vec{q} & = \left( \frac{-4.3 + 2.1}{(\sqrt{3^2 + 1^2})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{10})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{10} \right) ( 3, 1) \\ & = \left( -1\right) ( 3, 1) \\ & = (-3,-1) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah $ \vec{q} = (-3,-1) $.
9). Diketahui vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ membentuk sudut $ \theta $. Jika panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan tiga kali panjang $ \vec{v} $ , maka tentukan perbandingan panjang $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $!
Penyelesaian :
*). Diketahui panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} = 3|\vec{v}| $
*). Menentukan perbandingannya dengan panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dan rumus perkalian dot :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| \frac{|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta }{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| |\vec{u}| \cos \theta \right| \\ 3|\vec{v}| & = |\vec{u}| \cos \theta \\ \frac{3}{ \cos \theta } & = \frac{ |\vec{u}| }{|\vec{v}|} \end{align} $
Jadi, perbandingan panjang $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $ adalah $ |\vec{u}| : |\vec{v}| = 3 : \cos \theta $.
10). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ membentuk sudut $ \theta $. Jika panjang proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ sama dengan $ 2 \sin \theta $ dan panjang vektor $ \vec{b} $ adalah 1, maka tentukan $ \tan 2\theta $!
(Soal UM-UGM)
Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ dan $ \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan ^2 \theta } $
*). Diketahui panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} = 2 \sin \theta $.
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ dan perkalian dot :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| \frac{|\vec{b}||\vec{a}| \cos \theta}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| |\vec{b}| \cos \theta \right| \\ 2 \sin \theta & = 1. \cos \theta \\ 2 \sin \theta & = \cos \theta \\ \frac{ \sin \theta }{\cos \theta } & = \frac{1}{2} \\ \tan \theta & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menetukan nilai $ \tan 2\theta $ :
$\begin{align} \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan ^2 \theta } = \frac{2. \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $.
Jadi, nilai $ \tan 2\theta = \frac{4}{3} $.
$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :
Perhatikan gambar ilustrasi I di bawah ini.
sehingga $ \cos \theta = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} $
*). Pembuktian rumus proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ dan panjangnya :
-). Perkalian dot $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \cos \theta \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{b}|| \vec{c}| \\ |\vec{c}| & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} \end{align} $
-). Karena $ \vec{a} . \vec{b} $ nilainya bisa positif atau negatif, sementara bentuk $ |\vec{c}| $ menyatakn panjang vektor $ \vec{c} $ yang nilainya selalu popsitif, maka bentuk $ \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} $ menghasilkan besar (panjangnya) dan arah (positif atau negatif). Besarnya saja kita sebut sebagai panjang proyeksinya (panjang vektor $ \vec{c}$) yang selalu positif, sementara besar dan arah kita sebut sebagai proyeksi skalar dengan rumusnya yaitu :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $
*). Pembuktian rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
-). Pada pembuktian di atas, kita telah memperoleh proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ yaitu besar dan arah $ \vec{c} $. Karena skalar $ \vec{c} $ sudah kita peroleh dan $ \vec{c} $ berimpit dengan vektor $ \vec{b} $ maka vektor $ \vec{c} $ adalah hasil dari perkalian skalarnya dengan vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $.
$ \begin{align} \vec{c} & = (\text{skalar }) \vec{e}_\vec{b} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Sehingga rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
*). Pembuktian cara II rumus proyeksi vektor :
-).pada ilustrasi gambar, misalkan garis putus-putus warna merah kita anggap sebagai sebuah vektor $ \vec{d} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $, sehingga $ \vec{d} . \vec{b} = 0 $. Berdasarkan penjumlahan vektor secara geometri yaitu aturan segitiga kita peroleh $ \vec{a} = \vec{c} + \vec{d} $.
-). Vektor $ \vec{c} $ sejajar vektor $ \vec{b} $ sehingga $ \vec{c} = n \vec{b} $ dan sudutnya $ 0^\circ $.
$ \vec{b}. \vec{c} = |\vec{b}||n\vec{b}| \cos 0^\circ = n|\vec{b}|^2 $
-). Menentukan nilai $ n $ dengan perkalian dot dan sifat perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = (\vec{c} + \vec{d}) . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + \vec{d} . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + 0 \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = n|\vec{b}|^2 \\ n & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \end{align} $
sehingga vektor $ \vec{c} $ yaitu :
$ \begin{align} \vec{c} & = n \vec{b} = \left( \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Jadi, rumus Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $ .
Demikian pembahasan materi Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "komponen tegak lurus vektor pada vektor".
