Perkalian Dot Dua Vektor

         Blog Koma - Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor yaitu "penjumlahan dan pengurangan pada vektor" dan "perkalian vektor dengan skalar", maka pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan operasi vektor berikutnya yaitu Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product). Seperti pada "pengertian vektor dan penulisannya", vektor dapat kita sajikan dalam bentuk aljabar dan bentuk geometri dimana dua vektor akan membentuk besar sudut tertentu. Nah, sudut antar dua vektor tersebut bisa kita hitung salah satunya dengan menerapkan konsep Perkalian Dot Dua Vektor. Baik di ujian nasional ataupun seleksi masuk PTN (SBMPTN atau lainnya), materi Perkalian Dot Dua Vektor sering dikeluarkan soal-soalnya, sehingga penting bagi kita untuk mempelajarinya dengan baik. Pada uraian Perkalian Dot Dua Vektor ini, kita akan membahas definisinya yang dilengkapi dengan pembuktiannya, dan tidak lupa akan kita sajikan berbagai variasi soal-soal Perkalian Dot Dua Vektor untuk bisa lebih memahaminya dengan lebih baik. Selain itu teman-teman harus menguasai materi "panjang vektor". Perhatikan ilustrasi gambar dua vektor berikut ini.

Definisi Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor

$\spadesuit \,$ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Geometri
       Misalkan terdapat vektor $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3 )$ dan vektor $\vec{b} = (b_1, b_2,b_3 )$ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $\theta$, maka berlaku rumus perkalian dot yaitu :
$\, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$.

$\spadesuit \,$ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
       Selain berlaku rumus perkalian dot seperti di atas, juga berlaku perkalian yang langsung melibatkan unsur-unsur vektornya, yaitu :
$\, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3$

Catatan :
*). Rumus perkalian dot (perkalian titik) ini juga berlaku untuk vektor dimensi dua. Misalkan vektor $\vec{a} = (a_1, a_2 )$ dan vektor $\vec{b} = (b_1, b_2)$ , maka berlaku :
$\, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \,$ dan $\vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2$
*). Secara geometri, arah kedua vektor adalah menjauh dari sudut yang terbentuk.
*). Perkalian dot dua vektor menghasilkan skalar.

Contoh Soal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor :

1). Diketahui vektor $\vec{a} = (-1,2,3)$ , $\vec{b} = (2,0,-2)$ , dan $\vec{c}= (1, -3, 4 )$. Tentukan hasil perkalian dot vektor-vektor berikut :
a). $\vec{a}. \vec{b}$ dan $\vec{b}. \vec{c}$
b). $\vec{a}( \vec{b}- \vec{c})$
c). $\vec{b}( \vec{a}- \vec{c})$
d). $( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c})$
Penyelesaian :
a). Menentukan $\vec{a}. \vec{b}$ dan $\vec{b}. \vec{c}$
$\begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (-1,2,3) . (2,0,-2) \\ & = -1.2 + 2.0 + 3.(-2) \\ & = -2 + 0 - 6 \\ & = -8 \\ \vec{b}. \vec{c} & = (2,0,-2) . (1, -3, 4 ) \\ & =2.1 + 0. (-3) + -2.4 \\ & = 2 + 0 - 8 \\ & = - 6 \end{align}$

b). Menentukan $\vec{a}( \vec{b}- \vec{c})$
$\begin{align} \vec{b}- \vec{c} & = (2,0,-2) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( 2 - 1 , 0 - (-3) , -2 - 4 ) \\ & = (1 , 3, -6 ) \\ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) & = (-1,2,3) . (1 , 3, -6 ) \\ & = -1.1 + 2. 3 + 3. (-6) \\ & = -1 + 6 - 18 \\ & = -13 \end{align}$

c). Menentukan $\vec{b}( \vec{a}- \vec{c})$
$\begin{align} \vec{a}- \vec{c} & = (-1,2,3) - (1, -3, 4 ) \\ & = ( -2, 5, -1 ) \\ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) & = (2,0,-2).( -2, 5, -1 ) \\ & = 2.(-2) + 0.5 + -2. (-1) \\ & = -4 + 0 + 2 \\ & = -2 \end{align}$

d). Menentukan $( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c})$
$\begin{align} \vec{a}- \vec{b} & = (-1,2,3) - (2,0,-2) \\ & = ( -3, 2, 5 ) \\ \vec{b}+ \vec{c} & = (2,0,-2) + (1, -3, 4 ) \\ & = (3, -3, 2) \\ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) & = ( -3, 2, 5 ) . (3, -3, 2) \\ & = -9 + -6 + 10 \\ & = -5 \end{align}$

2). Jika $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ membentuk sudut $60^\circ$, dengan $|\vec{p}| = 6$ , $|\vec{q}| = 5$ , maka tentukan nilai $\vec{p}.\vec{q}$!
Penyelesaian :
$\begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ & = 6 . 5. \cos 60^\circ \\ & = 30. \frac{1}{2} \\ & = 15 \end{align}$

3). Tentukan nilai kosinus sudut antara vektor $\vec{a} = (2, -3,1)$ dan $\vec{b} =(1,-2,3)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan $\vec{a}.\vec{b}$ dan panjangnya :
$\begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = 2.1 + -3 . (-2) + 1.3 \\ & = 2 + 6 + 3 = 11 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2 } = \sqrt{14} \\ |\vec{b}| & = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14} \end{align}$
*). Menentukan nilai $\cos \theta$ dengan $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor.
$\begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{11 }{\sqrt{14}. \sqrt{14}} \\ & = \frac{11 }{14} \end{align}$
Jadi, nilai kosinus sudutnya adalah $\frac{11}{14}$.

4). DIketahui vektor $\vec{a} = (3, -5, 4)$ dan $\vec{b} = (-2,1,2)$. Tentukan nilai sinus sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $\cos \theta$ :
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{ -6 - 5 + 8 }{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} . \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} } \\ & = \frac{ -3 }{\sqrt{50} . \sqrt{9} } = \frac{ -3 }{5\sqrt{2} .3 } \\ & = \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } \end{align}$
*). Karena nilai cosinusnya negatif, maka sudutnya ada di kuadran II, sehingga nilai sinusnya positif. Dengan rumus identitas trigonometri $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ , kita peroleh :
$\begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = 1 \\ \sin ^2 \theta & = 1 - \cos ^2 \theta \\ \sin \theta & = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \theta } \\ & = \sqrt{ 1 - ( \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } )^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1 }{50} } \\ & = \sqrt{ \frac{49 }{50} } \\ & = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{10}\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai sinusnya adalah $\frac{7}{10}\sqrt{2}$.

5). Jika $\vec{p} = (k,2)$ dan $\vec{q} = (5,3)$ dan $\angle (\vec{p},\vec{q}) = \frac{\pi}{4}$ , maka tentukan nilai $k$ positif yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Berdasarkan rumus perkalian dot :
$\begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ k.5 + 2.3 & = \sqrt{k^2 + 2^2}. \sqrt{5^2 + 3^2} . \cos \frac{\pi}{4} \\ 5k + 6 & = \sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (5k + 6)^2 & = (\sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} )^2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 34 . \frac{1}{4} . 2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 17 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = 17k^2 + 68 \\ 8k^2 + 60k - 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2k^2 + 15k - 8 & = 0 \\ (2k-1)(k+8) & = 0 \\ k = \frac{1}{2} \vee k & = -8 \end{align}$
Karena $k$ positif, maka $k = \frac{1}{2}$ yang memenuhi.
Jadi, nilai $k = \frac{1}{2}$.

6). Diketahui segitiga ABC dengan koordinat $A(3,2)$ , $B(4,2)$ , dan $C(3, 2 + \sqrt{3})$.
a). Tentukan besar sudut ABC,
b). Tentukan besar sudut antara $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$.
Penyelesaian :
a). Tentukan besar sudut ABC,
*). Ilustrasi gambar berikut :

*). Arah vektor harus keluar dari sudutnya, sehingga kita haris mencari vektor $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$ .
$\begin{align} \vec{BA} & = A - B = (-1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{BA} . \vec{BC} }{|\vec{BA}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ -1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(-1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ 1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \theta & = \frac{ 1 }{2 } \\ \theta & = 60^\circ \end{align}$
Jadi, besar sudut ABC adalah $60^\circ$.

b). Tentukan besar sudut antara $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$.
*). Perhatikan bentuk geometrinya berikut,

Karena $\vec{AB} = - \vec{BA}$ , maka sudutnya sama dengan antara vektor $-\vec{BA}$ dan vektor $\vec{BC}$ yaitu $\alpha$ (gambar b).
*). Menentukan vektor dan sudutnya :
$\begin{align} \vec{AB} & = B - A = (1,0) \\ \vec{BC} & = A - B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \alpha & = \frac{ \vec{AB} . \vec{BC} }{|\vec{AB}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ 1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ -1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \alpha & = \frac{ -1 }{2 } \\ \alpha & = 120^\circ \end{align}$
Jadi, besar sudut ABC adalah $60^\circ$.

Catatan :
*). Jika teman-teman perhatikan secara geometri gambar a dan gambar b, maka $\alpha$ dan $\theta$ berpelurus, sehingga :
$\alpha + \theta = 180^\circ \rightarrow \alpha + 60^\circ = 180^\circ \rightarrow \alpha = 120^\circ$.
*). Jika teman-teman bingun dalam menggambar secara geometri sudut antara dua vektor, maka tidak usah digambar, melainkan langsung saja kita hitung menggunakan rumus perkalian dotnya.

Dua Vektor Tegak Lurus berkaitan Perkalian Dot (perkalian titik)

Jika vektor $\vec{a}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{b}$ (sudutnya $90^\circ$), maka berlaku :
$\, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = 0$.
(Perkalian dotnya = mol)

Pembuktian :
*). Karena $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{b}$ , artinya sudutnya $= 90^\circ$. Sehingga :
$\begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 90^\circ \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \times 0 \\ & = 0 \end{align}$
Jadi, terbukti $\vec{a} . \vec{b} = 0$.

Contoh SOal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor tegak lurus :

7). DIketahui vektor $\vec{a} = (-1,3,2)$ , $\vec{b} = (5, 3, -2 )$ dan $\vec{c} = (1,-2,3)$.
a). Apakah vektor $\vec{a}$ tegak lurus vektor $\vec{b}$ !
b). Apakah vektor $\vec{a}$ tegak lurus vektor $\vec{c}$ !
Penyelesaian :
a). Kita cek hasil perkalian dot vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ :
$\begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = -1. 5 + 3.3 + 2. (-2) \\ & = -5 + 9 - 4 = 0 \end{align}$
Karena $\vec{a} .\vec{b} = 0$ , maka vektor $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{b}$.

b). Kita cek hasil perkalian dot vektor $\vec{a}$ dan $\vec{c}$ :
$\begin{align} \vec{a} .\vec{c} & = -1.1 + 3.(-2) + 2.3 \\ & = -1 -6 + 6 = -1 \end{align}$
Karena $\vec{a} .\vec{c} \neq 0$ , maka vektor $\vec{a}$ tidak tegak lurus $\vec{c}$.

8). Diketahui vektor $\vec{u} = (2, -1, m)$ dan $\vec{v} = (-3, 2, 4)$. Jika $\vec{u}$ tegak lurus vektor $\vec{v}$ , maka tentukan nilai $m^2 - 2m + 2017$ !
Penyelesaian :
*). Syarat tegak lurus : $\vec{u} .\vec{v} = 0$
$\begin{align} \vec{u} .\vec{v} & = 0 \\ 2.(-3) + -1. 2 + m.4 & = 0 \\ -6 - 2 + 4m & = 0 \\ 4m & = 8 \\ m & = 2 \end{align}$
*). Menentukan nilai $m^2 - 2m + 2017$ :
$\begin{align} m^2 - 2m + 2-17 & = 2^2 - 2.2 + 2-17 \\ & = 4 - 4 + 2017 \\ & = 2017 \end{align}$
Jadi, nilai $m^2 - 2m + 2017 = 2017$.

9). Jika vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut $60^\circ$ , serta vektor $\vec{a}$ tegak lurus vektor $\vec{c}$, dengan $|\vec{a}| = 4$ , $|\vec{b}| = 3$ , dan $\vec{c}| = 6$ , maka tentukan :
a). $\vec{a} (\vec{b} + \vec{c})$
b). $\vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b})$
Penyelesaian :
*). Pada perkalian dot (perkalian titik) berlaku sifat distributif. Silahkan baca artikelnya pada "Sifat-sifat perkalian dot dan perkalian silang".
*). Karena $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{c}$ , maka $\vec{a}.\vec{c} = 0$.
a). Menentukan $\vec{a} (\vec{b} + \vec{c})$
$\begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a}. \vec{c} \\ & = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ + 0 \\ & = 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = 6 \end{align}$
Sehingga nilai $\vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = 6$.

b). Menentukan $\vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b})$
$\begin{align} \vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) & = 2(\vec{a}.\vec{c}) - 3(\vec{a}.\vec{b}) \\ & = 2.0 - 3|\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ \\ & = 0 - 3 . 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = - 18 \end{align}$
Sehingga nilai $\vec{a}(2\vec{c} - 3\vec{b}) = -8$.

10). Diketahui vektor-vektor $\vec{p} = ( m, 2, 6 )$ , $\vec{q} = (-1,n,0)$ dan $\vec{r} = (6k,3,7)$. Jika $\vec{p} \bot \vec{q}$ dan $\vec{q} \bot \vec{r}$ , maka tentukan nilai $16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012$ !
Keterangan : simbol $\bot \,$ artinya tegak lurus.
Penyelesaian :
*). Menentukan hubungan $m , n ,$ dan $k$ :
-). $\vec{p}$ tegak lurus $\vec{q}$
$\vec{p}.\vec{q} = 0 \rightarrow -m + 2n + 0 = 0 \rightarrow m = 2n \,$ ....(i)
-). $\vec{q}$ tegak lurus $\vec{r}$
$\vec{q}.\vec{r} = 0 \rightarrow -6k + 3n + 0 = 0 \rightarrow k = \frac{n}{2} \,$ ....(ii)
*). Menentukan hasil akhir dengan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align} 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 & = 16\left( \frac{n^2 + (\frac{n}{2})^2}{(2n)^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \times \frac{4}{4} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{4n^2 + n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5 }{16 } \right) + 2012 \\ & = 5 + 2012 = 2017 \end{align}$
Jadi, nilai $16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 = 2017$.

Rumus panjang berkaitan perkalian dot (perkalian titik)

Misalkan terdapat vektor $\vec{a}$ , $\vec{b}$ dan $\vec{c}$, berlaku rumus-rumus panjang vektor berikut :
i). $\vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$
ii). $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1$
iii). $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1$
iv). $|m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1$
$\begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align}$

       Untuk contoh soal dan pembuktian rumus-rumus panjang vektor berkaitan perkalian dot ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "Rumus Panjang vektor Berkaitan Perkalian Dot".

$\spadesuit \,$ Pembuktian Rumus perkalian dot secara aljabar
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

       Pada segitiga AOB di atas, vektor $\vec{OA} = \vec{a}$ dan $\vec{OB} = \vec{b}$ membentuk sudut $\theta$.
*). Menentukan vektor dan panjangnya :
$\begin{align} \vec{AB} & = \vec{b} - \vec{a} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ |\vec{AB}|^2 & = (b_1 - a_1)^2 + ( b_2 - a_2)^2 + ( b_3 - a_3 )^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ \vec{OA} & = \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \\ |\vec{OA}|^2 & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \\ \vec{OB} & = \vec{b} = (b_1, b_2,b_3) \\ |\vec{OB}|^2 & = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \\ \end{align}$
*). Menentukan $|\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2$ :
$\begin{align} & |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ & \, \, \, \, -( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) - (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \\ & = - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \end{align}$
*). Berdasarkan aturan kosinus segitiga AOB dan definisi perkalian dot secara geometri :
$\begin{align} |\vec{AB}|^2 & = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 - |\vec{OA}|^2 - |\vec{OB}|^2 & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) & = - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = \vec{a}.\vec{b} \end{align}$
Jadi, terbukti bahwa $\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

$\clubsuit \,$ Pembuktian Cara II :
*). Kita menggunakan vektor basis $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$
dengan $\vec{i} = (1,0,0) , \vec{j} = (0,1,0) \,$ dan $\vec{j} = (0,0,1)$.

panjang vektor basisnya : $|\vec{i}| = 1$ , $|\vec{j}| = 1$ , $|\vec{k}| = 1$.
Sudut antara masing-masing vektor adalah $90^\circ$.
*). Dengan definisi perkalian dot (peralian titik) dua vektor yaitu :
$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$
kita peroleh :
$\vec{i}.\vec{i} = |\vec{i}||\vec{i}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1$ (berimpit)
$\vec{j}.\vec{j} = |\vec{j}||\vec{j}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1$ (berimpit)
$\vec{k}.\vec{k} = |\vec{k}||\vec{k}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1$ (berimpit)
$\vec{i}.\vec{j} = |\vec{i}||\vec{j}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0$ (tegak lurus)
$\vec{j}.\vec{k} = |\vec{j}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0$ (tegak lurus)
$\vec{i}.\vec{k} = |\vec{i}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0$ (tegak lurus)
*). Vektor $\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$ dan $\vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}$
*). Menentukan hasil perkalian dot :
$\begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}). (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1\vec{i}.b_1\vec{i} + a_1\vec{i}.b_2\vec{j}+a_1\vec{i}.b_3\vec{k} + a_2\vec{j}.b_1\vec{i} + a_2\vec{j}.b_2\vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2\vec{j}.b_3\vec{k} + a_3\vec{k}.b_1\vec{i} + a_3\vec{k}.b_2\vec{j}+a_3\vec{k}.b_3\vec{k} \\ & = a_1b_1\vec{i}.\vec{i} + 0+0 + 0 + a_2b_2\vec{j}.\vec{j} + 0 + 0 + 0+a_3b_3\vec{k}.\vec{k} \\ & = a_1b_1. 1 + a_2b_2. 1 + a_3b_3. 1 \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{align}$
Jadi, terbukti bahwa $\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

       Demikian pembahasan materi Perkalian Dot Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)".