Definisi Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor
♠ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Geometri
Misalkan terdapat vektor →a=(a1,a2,a3) dan vektor →b=(b1,b2,b3) dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar θ, maka berlaku rumus perkalian dot yaitu :
→a.→b=|→a||→b|cosθ.
♠ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
Selain berlaku rumus perkalian dot seperti di atas, juga berlaku perkalian yang langsung melibatkan unsur-unsur vektornya, yaitu :
→a.→b=a1.b1+a2.b2+a3.b3
Misalkan terdapat vektor →a=(a1,a2,a3) dan vektor →b=(b1,b2,b3) dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar θ, maka berlaku rumus perkalian dot yaitu :
→a.→b=|→a||→b|cosθ.
♠ Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
Selain berlaku rumus perkalian dot seperti di atas, juga berlaku perkalian yang langsung melibatkan unsur-unsur vektornya, yaitu :
→a.→b=a1.b1+a2.b2+a3.b3
*). Rumus perkalian dot (perkalian titik) ini juga berlaku untuk vektor dimensi dua. Misalkan vektor →a=(a1,a2) dan vektor →b=(b1,b2) , maka berlaku :
→a.→b=|→a||→b|cosθ dan →a.→b=a1.b1+a2.b2
*). Secara geometri, arah kedua vektor adalah menjauh dari sudut yang terbentuk.
*). Perkalian dot dua vektor menghasilkan skalar.
Contoh Soal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor :
1). Diketahui vektor →a=(−1,2,3) , →b=(2,0,−2) , dan →c=(1,−3,4). Tentukan hasil perkalian dot vektor-vektor berikut :
a). →a.→b dan →b.→c
b). →a(→b−→c)
c). →b(→a−→c)
d). (→a−→b).(→b+→c)
Penyelesaian :
a). Menentukan →a.→b dan →b.→c
→a.→b=(−1,2,3).(2,0,−2)=−1.2+2.0+3.(−2)=−2+0−6=−8→b.→c=(2,0,−2).(1,−3,4)=2.1+0.(−3)+−2.4=2+0−8=−6
b). Menentukan →a(→b−→c)
→b−→c=(2,0,−2)−(1,−3,4)=(2−1,0−(−3),−2−4)=(1,3,−6)→a(→b−→c)=(−1,2,3).(1,3,−6)=−1.1+2.3+3.(−6)=−1+6−18=−13
c). Menentukan →b(→a−→c)
→a−→c=(−1,2,3)−(1,−3,4)=(−2,5,−1)→b(→a−→c)=(2,0,−2).(−2,5,−1)=2.(−2)+0.5+−2.(−1)=−4+0+2=−2
d). Menentukan (→a−→b).(→b+→c)
→a−→b=(−1,2,3)−(2,0,−2)=(−3,2,5)→b+→c=(2,0,−2)+(1,−3,4)=(3,−3,2)(→a−→b).(→b+→c)=(−3,2,5).(3,−3,2)=−9+−6+10=−5
2). Jika →p dan →q membentuk sudut 60∘, dengan |→p|=6 , |→q|=5 , maka tentukan nilai →p.→q!
Penyelesaian :
→p.→q=|→p||→q|cosθ=6.5.cos60∘=30.12=15
3). Tentukan nilai kosinus sudut antara vektor →a=(2,−3,1) dan →b=(1,−2,3)!
Penyelesaian :
*). Menentukan →a.→b dan panjangnya :
→a.→b=2.1+−3.(−2)+1.3=2+6+3=11|→a|=√22+(−3)2+12=√14|→b|=√12+(−2)2+32=√14
*). Menentukan nilai cosθ dengan θ adalah sudut antara kedua vektor.
→a.→b=|→a||→b|cosθcosθ=→a.→b|→a||→b|=11√14.√14=1114
Jadi, nilai kosinus sudutnya adalah 1114.
4). DIketahui vektor →a=(3,−5,4) dan →b=(−2,1,2). Tentukan nilai sinus sudut antara vektor →a dan →b!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai cosθ :
cosθ=→a.→b|→a||→b|=−6−5+8√32+(−5)2+42.√(−2)2+12+22=−3√50.√9=−35√2.3=−15√2
*). Karena nilai cosinusnya negatif, maka sudutnya ada di kuadran II, sehingga nilai sinusnya positif. Dengan rumus identitas trigonometri sin2θ+cos2θ=1 , kita peroleh :
sin2θ+cos2θ=1sin2θ=1−cos2θsinθ=√1−cos2θ=√1−(−15√2)2=√1−150=√4950=75√2=710√2
Jadi, nilai sinusnya adalah 710√2.
5). Jika →p=(k,2) dan →q=(5,3) dan ∠(→p,→q)=π4 , maka tentukan nilai k positif yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Berdasarkan rumus perkalian dot :
→p.→q=|→p||→q|cosθk.5+2.3=√k2+22.√52+32.cosπ45k+6=√k2+4.√34.12√2(5k+6)2=(√k2+4.√34.12√2)225k2+60k+36=(k2+4).34.14.225k2+60k+36=(k2+4).1725k2+60k+36=17k2+688k2+60k−32=0(bagi 4)2k2+15k−8=0(2k−1)(k+8)=0k=12∨k=−8
Karena k positif, maka k=12 yang memenuhi.
Jadi, nilai k=12.
6). Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(3,2) , B(4,2) , dan C(3,2+√3).
a). Tentukan besar sudut ABC,
b). Tentukan besar sudut antara →AB dan →BC.
Penyelesaian :
a). Tentukan besar sudut ABC,
*). Ilustrasi gambar berikut :
*). Arah vektor harus keluar dari sudutnya, sehingga kita haris mencari vektor →BA dan →BC .
→BA=A−B=(−1,0)→BC=A−B=(−1,√3)cosθ=→BA.→BC|→BA||→BC|=−1.(−1)+0.√3√(−1)2+02.√(−1)2+(√3)2=1+0√1.√4cosθ=12θ=60∘
Jadi, besar sudut ABC adalah 60∘.
b). Tentukan besar sudut antara →AB dan →BC.
*). Perhatikan bentuk geometrinya berikut,
Karena →AB=−→BA , maka sudutnya sama dengan antara vektor −→BA dan vektor →BC yaitu α (gambar b).
*). Menentukan vektor dan sudutnya :
→AB=B−A=(1,0)→BC=A−B=(−1,√3)cosα=→AB.→BC|→AB||→BC|=1.(−1)+0.√3√(1)2+02.√(−1)2+(√3)2=−1+0√1.√4cosα=−12α=120∘
Jadi, besar sudut ABC adalah 60∘.
Catatan :
*). Jika teman-teman perhatikan secara geometri gambar a dan gambar b, maka α dan θ berpelurus, sehingga :
α+θ=180∘→α+60∘=180∘→α=120∘.
*). Jika teman-teman bingun dalam menggambar secara geometri sudut antara dua vektor, maka tidak usah digambar, melainkan langsung saja kita hitung menggunakan rumus perkalian dotnya.
Dua Vektor Tegak Lurus berkaitan Perkalian Dot (perkalian titik)
Jika vektor →a tegak lurus dengan vektor →b (sudutnya 90∘), maka berlaku :
→a.→b=0.
(Perkalian dotnya = mol)
→a.→b=0.
(Perkalian dotnya = mol)
*). Karena →a tegak lurus →b , artinya sudutnya =90∘. Sehingga :
→a.→b=|→a||→b|cosθ=|→a||→b|cos90∘=|→a||→b|×0=0
Jadi, terbukti →a.→b=0.
Contoh SOal Perkalian Dot (perkalian titik) Dua Vektor tegak lurus :
7). DIketahui vektor →a=(−1,3,2) , →b=(5,3,−2) dan →c=(1,−2,3).
a). Apakah vektor →a tegak lurus vektor →b !
b). Apakah vektor →a tegak lurus vektor →c !
Penyelesaian :
a). Kita cek hasil perkalian dot vektor →a dan →b :
→a.→b=−1.5+3.3+2.(−2)=−5+9−4=0
Karena →a.→b=0 , maka vektor →a tegak lurus →b.
b). Kita cek hasil perkalian dot vektor →a dan →c :
→a.→c=−1.1+3.(−2)+2.3=−1−6+6=−1
Karena →a.→c≠0 , maka vektor →a tidak tegak lurus →c.
8). Diketahui vektor →u=(2,−1,m) dan →v=(−3,2,4). Jika →u tegak lurus vektor →v , maka tentukan nilai m2−2m+2017 !
Penyelesaian :
*). Syarat tegak lurus : →u.→v=0
→u.→v=02.(−3)+−1.2+m.4=0−6−2+4m=04m=8m=2
*). Menentukan nilai m2−2m+2017 :
m2−2m+2−17=22−2.2+2−17=4−4+2017=2017
Jadi, nilai m2−2m+2017=2017.
9). Jika vektor →a dan →b membentuk sudut 60∘ , serta vektor →a tegak lurus vektor →c, dengan |→a|=4 , |→b|=3 , dan →c|=6 , maka tentukan :
a). →a(→b+→c)
b). →a(2→c−3→b)
Penyelesaian :
*). Pada perkalian dot (perkalian titik) berlaku sifat distributif. Silahkan baca artikelnya pada "Sifat-sifat perkalian dot dan perkalian silang".
*). Karena →a tegak lurus →c , maka →a.→c=0.
a). Menentukan →a(→b+→c)
→a(→b+→c)=→a.→b+→a.→c=|→a||→b|cos60∘+0=4.3.12=6
Sehingga nilai →a(→b+→c)=6.
b). Menentukan →a(2→c−3→b)
→a(2→c−3→b)=2(→a.→c)−3(→a.→b)=2.0−3|→a||→b|cos60∘=0−3.4.3.12=−18
Sehingga nilai →a(2→c−3→b)=−8.
10). Diketahui vektor-vektor →p=(m,2,6) , →q=(−1,n,0) dan →r=(6k,3,7). Jika →p⊥→q dan →q⊥→r , maka tentukan nilai 16(n2+k2m2)+2012 !
Keterangan : simbol ⊥ artinya tegak lurus.
Penyelesaian :
*). Menentukan hubungan m,n, dan k :
-). →p tegak lurus →q
→p.→q=0→−m+2n+0=0→m=2n ....(i)
-). →q tegak lurus →r
→q.→r=0→−6k+3n+0=0→k=n2 ....(ii)
*). Menentukan hasil akhir dengan pers(i) dan pers(ii) :
16(n2+k2m2)+2012=16(n2+(n2)2(2n)2)+2012=16(n2+n244n2)+2012=16(n2+n244n2×44)+2012=16(4n2+n216n2)+2012=16(5n216n2)+2012=16(516)+2012=5+2012=2017
Jadi, nilai 16(n2+k2m2)+2012=2017.
Rumus panjang berkaitan perkalian dot (perkalian titik)
Misalkan terdapat vektor →a , →b dan →c, berlaku rumus-rumus panjang vektor berikut :
i). →a.→a=→a2=|→a|2
ii). |→a+→b|2=|→a|2+|→b|2+2|→a||→b|cosθ1
iii). |→a−→b|2=|→a|2+|→b|2−2|→a||→b|cosθ1
iv). |m→a+n→b|2=m2|→a|2+n2|→b|2+2mn|→a||→b|cosθ1
v). |→a+→b+→c|2=|→a|2+|→b|2+|→c|2+2(|→a||→b|cosθ1+|→b||→c|cosθ2+|→a||→c|cosθ3)vi).|m→a+n→b+k→c|2=|m2→a|2+n2|→b|2+k2|→c|2+2(mn|→a||→b|cosθ1+nk|→b||→c|cosθ2+mk|→a||→c|cosθ3)
i). →a.→a=→a2=|→a|2
ii). |→a+→b|2=|→a|2+|→b|2+2|→a||→b|cosθ1
iii). |→a−→b|2=|→a|2+|→b|2−2|→a||→b|cosθ1
iv). |m→a+n→b|2=m2|→a|2+n2|→b|2+2mn|→a||→b|cosθ1
v). |→a+→b+→c|2=|→a|2+|→b|2+|→c|2+2(|→a||→b|cosθ1+|→b||→c|cosθ2+|→a||→c|cosθ3)vi).|m→a+n→b+k→c|2=|m2→a|2+n2|→b|2+k2|→c|2+2(mn|→a||→b|cosθ1+nk|→b||→c|cosθ2+mk|→a||→c|cosθ3)
♠ Pembuktian Rumus perkalian dot secara aljabar
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
Pada segitiga AOB di atas, vektor →OA=→a dan →OB=→b membentuk sudut θ.
*). Menentukan vektor dan panjangnya :
→AB=→b−→a=(b1−a1,b2−a2,b3−a3)|→AB|2=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2=a21+a22+a23+b21+b22+b23−2(a1b1+a2b2+a3b3)→OA=→a=(a1,a2,a3)|→OA|2=a21+a22+a23→OB=→b=(b1,b2,b3)|→OB|2=b21+b22+b23
*). Menentukan |→AB|2−|→OA|2−|→OB|2 :
|→AB|2−|→OA|2−|→OB|2=a21+a22+a23+b21+b22+b23−2(a1b1+a2b2+a3b3)−(a21+a22+a23)−(b21+b22+b23)=−2(a1b1+a2b2+a3b3)
*). Berdasarkan aturan kosinus segitiga AOB dan definisi perkalian dot secara geometri :
|→AB|2=|→OA|2+|→OB|2−2|→OA||→OB|cosθ|→AB|2−|→OA|2−|→OB|2=−2|→OA||→OB|cosθ|→AB|2−|→OA|2−|→OB|2=−2|→a||→b|cosθ−2(a1b1+a2b2+a3b3)=−2|→a||→b|cosθa1b1+a2b2+a3b3=|→a||→b|cosθa1b1+a2b2+a3b3=→a.→b
Jadi, terbukti bahwa →a.→b=a1b1+a2b2+a3b3.
♣ Pembuktian Cara II :
*). Kita menggunakan vektor basis →i,→j,→k
dengan →i=(1,0,0),→j=(0,1,0) dan →j=(0,0,1).
panjang vektor basisnya : |→i|=1 , |→j|=1 , |→k|=1.
Sudut antara masing-masing vektor adalah 90∘.
*). Dengan definisi perkalian dot (peralian titik) dua vektor yaitu :
→a.→b=|→a||→b|cosθ
kita peroleh :
→i.→i=|→i||→i|=cos0∘=1.1.1=1 (berimpit)
→j.→j=|→j||→j|=cos0∘=1.1.1=1 (berimpit)
→k.→k=|→k||→k|=cos0∘=1.1.1=1 (berimpit)
→i.→j=|→i||→j|=cos90∘=1.1.0=0 (tegak lurus)
→j.→k=|→j||→k|=cos90∘=1.1.0=0 (tegak lurus)
→i.→k=|→i||→k|=cos90∘=1.1.0=0 (tegak lurus)
*). Vektor →a=a1→i+a2→j+a3→k dan →b=b1→i+b2→j+b3→k
*). Menentukan hasil perkalian dot :
→a.→b=(a1→i+a2→j+a3→k).(b1→i+b2→j+b3→k)=a1→i.b1→i+a1→i.b2→j+a1→i.b3→k+a2→j.b1→i+a2→j.b2→j+a2→j.b3→k+a3→k.b1→i+a3→k.b2→j+a3→k.b3→k=a1b1→i.→i+0+0+0+a2b2→j.→j+0+0+0+a3b3→k.→k=a1b1.1+a2b2.1+a3b3.1=a1b1+a2b2+a3b3
Jadi, terbukti bahwa →a.→b=a1b1+a2b2+a3b3.
Demikian pembahasan materi Perkalian Dot Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)".