Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Jika $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah vektor-vektor di R$^2$ atau R$^3$, serta terdapat skalar
$ k $ dan $ l $ tak nol, maka berlaku hubungan berikut ini :
1). $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \, $ (komutatif)
2). $ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+\vec{c}) \, $ (asosiatif)
3). $ \vec{a} + \vec{o} = \vec{o} + \vec{a} = \vec{a} \, $ (identitas)
4). $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} \, $
5). $ k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a} $
6). $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \, $ (distributif terhadap skalar)
7). $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} \, $ (distributif terhadap skalar)
8). $ 1\vec{a} = \vec{a} $
9). $ k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b} \, $
10). $ (k - l)\vec{a} = k\vec{a} - l\vec{a} \, $
11). $ \vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} \, $
namun berlaku $ \vec{a} - \vec{b} = -( \vec{b} - \vec{a}) $
12). $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \neq \vec{a} - (\vec{b}-\vec{c}) $
namun berlaku $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b}+\vec{c}) $
1). $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \, $ (komutatif)
2). $ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+\vec{c}) \, $ (asosiatif)
3). $ \vec{a} + \vec{o} = \vec{o} + \vec{a} = \vec{a} \, $ (identitas)
4). $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} \, $
5). $ k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a} $
6). $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \, $ (distributif terhadap skalar)
7). $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} \, $ (distributif terhadap skalar)
8). $ 1\vec{a} = \vec{a} $
9). $ k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b} \, $
10). $ (k - l)\vec{a} = k\vec{a} - l\vec{a} \, $
11). $ \vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} \, $
namun berlaku $ \vec{a} - \vec{b} = -( \vec{b} - \vec{a}) $
12). $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \neq \vec{a} - (\vec{b}-\vec{c}) $
namun berlaku $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b}+\vec{c}) $
Contoh soal Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :
1). Perhatikan sifat-sifat hitung vektor berikut ini,
a). $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b}-\vec{c}) $
b). $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $
c). $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} $
d). $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + \vec{b} $
e). $ \vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} $
Dari sifat-sifat di atas, manakah sifat-sifat operasi hitung yang benar?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat-sifat operasi hitung penjumlahan dan pengurangan di atas, maka :
-). Sifat yang benar adalah bagian (b), (c) dan (e).
-). Sifat yang salah adalah bagian (a) dan (d).
2). Diketahui vektor $ \vec{a} = (x^2 - 1, y+2, z^3) $ dan $ \vec{a} + \vec{b} = (-10, 3, 1) $. Tentukan vektor $ \vec{b} + \vec{a} $!
Penyelesaian :
*). Jika kita tidak mengetahui sifat komutatif pada penjumlahan dua vektor, maka untuk soal ini pasti kita akan berusahan untuk menentukan nilai vektor $ \vec{b} $ terlebih dahulu dari $ \vec{a} + \vec{b} $ yang diketahui. Namun dengan sifat komutatif pada operasi penjumlahan, maka kita peroleh hasil :
$ \vec{b} + \vec{a} = \vec{a} + \vec{b} = (-10, 3, 1) $ .
Jadi, hasil dari $ \vec{b} + \vec{a} = (-10, 3, 1) $.
3). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, - 1, 4) $ , $ \vec{p} + \vec{q} = (-1, 1, 5) $ dan $ \vec{r} + \vec{q} = (3, -4, -3) $. Tentukan hasil penjumlahan vektor $ \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} $ !
Penyelesian :
*). Dengan sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan vektor, kita tidak perlu mencari vektor $ \vec{q} $ dan $ \vec{r} $ terlebih dahulu namun langsung menjumlahkannya dengan cara berikut ini :
$ \begin{align} \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} & = \vec{p} + \vec{q} + \vec{q} + \vec{r} \\ & = (\vec{p} + \vec{q}) + (\vec{q} + \vec{r}) \\ & = (\vec{p} + \vec{q}) + (\vec{r} + \vec{q} ) \\ & = (-1, 1, 5) + (3, -4, -3) \\ & = (-1+ 3, 1+(-4), 5+(-3)) \\ & = (2, -3, 2) \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} = (2, -3, 2) $.
4). Diketahui vektor $ \vec{a} - \vec{c} = (1, -6, 2) $ dan $ \vec{b} + \vec{c} = (-2, 5, -1) $. Tentukan hasil penjumlahan $ \vec{a} + \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Dengan sifat identitas, invers dan komutatif, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = \vec{a} + \vec{b} + \vec{o} \\ & = \vec{a} + \vec{o} + \vec{b} \\ & = \vec{a} + \vec{c} + (-\vec{c}) + \vec{b} \\ & = \vec{a} + (-\vec{c}) + \vec{c} + \vec{b} \\ & = \vec{a} + (-\vec{c}) + \vec{b} + \vec{c} \\ & = (\vec{a} -\vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c} ) \\ & = (1, -6, 2) + (-2, 5, -1) \\ & = (1 + (-2), -6 + 5, 2 + (-1)) \\ & = (-1, -1, 1) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} + \vec{b} = (-1, -1, 1) $
$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Tanpa mengurangi keumuman, kita ambil sembarang $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ , $ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) $ , $ \vec{c}=(c_1,c_2,c_3) $ , dan $ \vec{o}=(0 , 0, 0) $ dan sembarang skalar $ k $ dan $ l $.
-). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = (a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) \\ & = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) \\ & = (b_1+a_1,b_2+a_2,b_3+a_3) \\ & = (b_1,b_2,b_3) + (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{b} + \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $.
-). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} & = [(a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3)] + (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) + (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1+c_1,a_2+b_2+c_2,a_3+b_3+c_3) \\ & = (a_1+(b_1+c_1),a_2+(b_2+c_2),a_3+(b_3+c_3)) \\ & = (a_1,a_2,a_3) + (b_1+c_1 , b_2+c_2 , b_3+c_3) \\ & = (a_1,a_2,a_3) + ((b_1,b_2,b_3)] + (c_1,c_2,c_3) ) \\ & = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) $.
-). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{o} & = (a_1,a_2,a_3) + (0,0,0) \\ & = (a_1+0,a_2+0,a_3+0) \\ & = (0 + a_1 , 0+ a_2 , 0+ a_3 ) = (a_1,a_2,a_3) \\ & = (0,0,0) + (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{o} + \vec{a} \\ & = (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + \vec{o} = \vec{o} + \vec{a} = \vec{a} $.
-). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} \vec{a} + (-\vec{a}) & = (a_1,a_2,a_3) + (-a_1,-a_2,-a_3) \\ & = (a_1-a_1,a_2-a_2,a_3-a_3) \\ & = (0,0,0) \\ & = \vec{o} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} $.
-). Pembuktian sifat (5) :
$ \begin{align} k(l\vec{a}) & = k(la_1,la_2,la_3) \\ & = (kla_1,kla_2,kla_3) \\ & = (kl)(a_1,a_2,a_3) \\ & = (kl)\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a} $.
-). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} k(\vec{a} + \vec{b}) & = k((a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3)) \\ & = k(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) \\ & = (k(a_1+b_1),k(a_2+b_2),k(a_3+b_3)) \\ & = (ka_1+kb_1,ka_2+kb_2,ka_3+kb_3) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + k(b_1,b_2,b_3)\\ & = k\vec{a} + k\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $.
-). Pembuktian sifat (7) :
$ \begin{align} (k + l)\vec{a} & = (k + l)(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( (k + l)a_1, (k + l)a_2, (k + l)a_3) \\ & = (ka_1 + la_1,ka_2+la_2,ka_3+la_3) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (la_1,la_2,la_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k\vec{a} + l\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} $.
-). Pembuktian sifat (8) :
$ \begin{align} 1\vec{a} & = 1(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( 1.a_1, 1.a_2, 1.a_3) \\ & = (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ 1\vec{a} = \vec{a} $.
-). Pembuktian sifat (9) :
$ \begin{align} k(\vec{a} - \vec{b}) & = k((a_1,a_2,a_3) - (b_1,b_2,b_3)) \\ & = k(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \\ & = (k(a_1-b_1),k(a_2-b_2),k(a_3-b_3)) \\ & = (ka_1-kb_1,ka_2-kb_2,ka_3-kb_3) \\ & = (ka_1+(-kb_1),ka_2+(-kb_2),ka_3+(-kb_3)) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (-kb_1,-kb_2,-kb_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + (- k)(b_1,b_2,b_3)\\ & = k(a_1,a_2,a_3) - k(b_1,b_2,b_3)\\ & = k\vec{a} - k\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b} $.
-). Pembuktian sifat (10) :
$ \begin{align} (k - l)\vec{a} & = (k - l)(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( (k - l)a_1, (k - l)a_2, (k - l)a_3) \\ & = (ka_1 - la_1,ka_2-la_2,ka_3-la_3) \\ & = (ka_1 +(- la_1),ka_2+(-la_2),ka_3+(-la_3)) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (-la_1,-la_2,-la_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + (-l) l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) - l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k\vec{a} - l\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ (k - l)\vec{a} = k\vec{a} - l\vec{a} $.
-). Pembuktian sifat (11) :
$ \begin{align} \vec{a} - \vec{b} & = (a_1,a_2,a_3) - (b_1,b_2,b_3) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \\ \vec{b} - \vec{a} & = (b_1,b_2,b_3) - (a_1,a_2,a_3) \\ & = (b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ -(\vec{b} - \vec{a} ) & = -((b_1,b_2,b_3) - (a_1,a_2,a_3)) \\ & = -(b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} $ dan $ \vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a} ) $ .
-). Pembuktian sifat (12) :
$ \begin{align} (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} & = [(a_1,a_2,a_3) - (b_1,b_2,b_3)] - (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) - (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1-b_1-c_1,a_2-b_2-c_2,a_3-b_3-c_3) \\ \vec{a} - ( \vec{b} - \vec{c} ) & = (a_1,a_2,a_3) - [(b_1,b_2,b_3) - (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1,a_2,a_3) - (b_1 - c_1, b_2 - c_2 , b_3 - c_3) \\ & = (a_1-(b_1-c_1),a_2-(b_2-c_2),a_3-(b_3-c_3)) \\ & = (a_1-b_1+c_1 ,a_2-b_2+c_2 ,a_3-b_3+c_3 ) \\ \vec{a} - ( \vec{b} + \vec{c} ) & = (a_1,a_2,a_3) - [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1,a_2,a_3) - (b_1 + c_1, b_2 + c_2 , b_3 + c_3) \\ & = (a_1-(b_1+c_1),a_2-(b_2+c_2),a_3-(b_3+c_3)) \\ & = (a_1-b_1-c_1 ,a_2-b_2-c_2 ,a_3-b_3-c_3 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \neq \vec{a} - ( \vec{b} - \vec{c} ) $ dan $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - ( \vec{b} + \vec{c} ) $ .
Demikian pembahasan materi Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Perbandingan Vektor".
