Untuk Perbandingan Vektor pada Ruas Garis, terdapat tiga jenis dalam pembagian ruas garisnya yang mengakibatkan juga ada tiga jenis bentuk perbandingan vektornya. Misalkan terdapat titik A, titik B dan titik P pada sebuah ruas garis. Kita anggap titik P sebagai pembagi ruas garis AB. Ada dua kemungkinan letak titik P yaitu :
1). Titik P terletak diantara titik A dan B (membagi di dalam),
2). Titik P terletak sebelum atau setelah titik A dan B (membagi di luar).
Misalkan dari titik A, B, dan P kita buat vektor vosisi masing-masing yaitu $ \vec{OA} = \vec{a} $ , $ \vec{OB} = \vec{b} $ dan $ \vec{OP} = \vec{p} $. Dari artikel "vektor posisi", jika vektor posisinya $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ , maka koordinat titik A adalah A$(a_1,a_2,a_3)$. Berikut penjelasan ketiga kemungkinan letak titik P sebagai titik pembagi ruas garis AB dalam Perbandingan Vektor pada Ruas Garis.
Perbandingan Vektor dengan titik bagi di dalam
Misalkan titik P membagi garis AB di dalam dengan perbandingan $ \vec{AP} : \vec{PB} = m : n $
dimana $ m $ dan $ n $ semuanya positif, seperti gambar berikut ini.
Koordinat titik P dapat ditentukan dengan rumus perbandingan vektor :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \end{align} $
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \end{align} $
Perhatikan gambar berikut ini,
$ \begin{align} \vec{AP} : \vec{PB} & = m : n \\ \frac{\vec{AP}}{\vec{PB}} & = \frac{m}{n} \\ n\vec{AP} & = m\vec{PB} \\ n(\vec{p} - \vec{a}) & = m(\vec{b} - \vec{p}) \\ n\vec{p} - n\vec{a} & = m\vec{b} - m\vec{p} \\ n\vec{p} + m\vec{p} & = m\vec{b} + n\vec{a} \\ (m+n)\vec{p} & = m\vec{b} + n\vec{a} \\ \vec{p} & = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \end{align} . \, \heartsuit $
Perbandingan Vektor dengan titik bagi di luar
Misalkan titik P membagi garis AB di luar dengan perbandingan $ m : n \, $ dimana $ m $ dan $ n $ semuanya positif.
Ada dua kemungkinan letak titik P terhadap titik A dan B yaitu :
(i). Titik P terletak sebelum AB dengan syarat $ m < n $
Perbandingan vektornya : $ \vec{PA} : \vec{PB} = m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = -m : n $
(ii). Titik P terletak setelah AB dengan syarat $ m > n $
Perbandingan vektornya : $ \vec{AP} : \vec{BP} = m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = m : -n $
(Catatan : Jika arah vektor dibalik maka nilai perbandingannya menjadi negatif).
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini
Koordinat titik P dapat ditentukan dengan rumus perbandingan vektor :
*). Titik P sebelum garis AB :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{-m\vec{b} + n\vec{a}}{-m+n} \end{align} $
*). Titik P setelah garis AB :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} -n\vec{a}}{m-n} \end{align} $
(i). Titik P terletak sebelum AB dengan syarat $ m < n $
Perbandingan vektornya : $ \vec{PA} : \vec{PB} = m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = -m : n $
(ii). Titik P terletak setelah AB dengan syarat $ m > n $
Perbandingan vektornya : $ \vec{AP} : \vec{BP} = m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = m : -n $
(Catatan : Jika arah vektor dibalik maka nilai perbandingannya menjadi negatif).
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini
*). Titik P sebelum garis AB :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{-m\vec{b} + n\vec{a}}{-m+n} \end{align} $
*). Titik P setelah garis AB :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} -n\vec{a}}{m-n} \end{align} $
*). Untuk titik P berada di luar garis berarah AB, terdapat dua rumus pada penjabaran di atas tergantung dari letaknya yaitu sebelum atau setelah AB. Sebenarnya kedua rumus tersebut menghasilkan vektor posisi P yang sama (coba kalikan $ -1 $ pada pembilang dan penyebutnya, pasti memberikan hasil yang sama) , Sehingga kita cukup menggunakan salah satu.
*). Agar memudahkan dalam menghitung, sebaiknya kasih tanda negatif pada nilai perbandingan yang lebih kecil saja.
$\spadesuit \, $ Pembuktian rumus perbandingan vektor titik bagi di luar :
Cara pembuktiannya sama dengan cara titik bagi di dalam dengan menggunakan perbandingan vektor $ \vec{AP} : \vec{PB} = -m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = m : -n $.
$ \clubsuit \, $ Trik mudah mengingat Rumus Perbandingan vektor :
Berikut trik mudah mengingat rumus perbandingan vektor sehingga kita tidak perlu mengingat gambarnya lagi:
Trik I : Bentuk perbandingannya harus yang kembar (titik yang double ) harus berada ditengah, jika belum maka baliklah sehinga yang kembar ada ditengah. INGAT : jika mebalik vektor maka tandanya menjadi negatif.
Trik II : Cara menghitungnya adalah dekat kali dekat dan jauh kali jauh seperti gambar berikut ini:
Misalkan terdapat perbandingan vektor $ \vec{PA} : \vec{PB} = m : n $
Maka pengerjaannya kita jabarkan biasa yaitu :
$ \begin{align} \vec{PA} : \vec{PB} & = m : n \\ \frac{ \vec{PA}}{ \vec{PB} } & = \frac{m }{ n } \\ n\vec{PA} & = m \vec{PB} \\ n(\vec{a} - \vec{p}) & = m (\vec{b} - \vec{p}) \\ n\vec{a} - n\vec{p} & = m\vec{b} - m\vec{p} \end{align} $
Dari bentuk $ n\vec{a} - n\vec{p} = m\vec{b} - m\vec{p} $ ini pasti kita akan bisa mencari vektor satuan mana yang diminta karena tinggal mengganti titik yang diketahui.
Sebagai ilustrasi trik I dan trik II di atas yaitu :
a). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{AB} : \vec{BC} = m : n $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{b} = \frac{m\vec{c} +n\vec{a}}{m +n} $
b). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{BA} : \vec{BC} = p : q $
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yaitu titik B belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dulu menjadi $ \vec{AB} : \vec{BC} = -p : q $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{b} = \frac{-p\vec{c} +q\vec{a}}{-p +q} $
c). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{CD} : \vec{GD} = p : q $
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yaitu titik D belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dulu menjadi $ \vec{CD} : \vec{DG} = p : -q $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{d} = \frac{p\vec{g} -q\vec{c}}{p - q} $
d). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{AD} : \vec{BA} = m : n $
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yaitu titik A belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dulu menjadi $ \vec{BA} : \vec{AD} = n : m $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{a} = \frac{n\vec{d} + m\vec{b}}{n + m} $
Contoh soal Perbandingan Vektor pada Ruas Garis
1). Tentukan koordinat titik P yang membagi garis hubung $A(2,3,-1) $ dan $ B(-3,3, 4) $ dengan perbandingan $ 2 : 3 $ berdasarkan ketentukan :
a). Titik P membagi AB di dalam,
b). Titik P membagi AB di luar dan tentukan posisi letak titik P.
Penyelesaian :
a). Titik P membagi AB di dalam,
*). Bentuk perbandingannya adalah $ \vec{AP} : \vec{PB} = 2 : 3 $
*). Menentukan vektor posisi titik P :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} \\ & = \frac{1}{5} (2\vec{b} + 3\vec{a}) \\ & = \frac{1}{5} (2(-3,3, 4) + 3(2,3,-1)) \\ & = \frac{1}{5} ((-6,6, 8) + (6,9,-3)) \\ & = \frac{1}{5} (0,15, 5) \\ & = (0,3, 1) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik P yaitu $ \vec{p} = (0,3, 1) $
sehingga koordinat titik P adalah (0,3, 1) .
b). Titik P membagi AB di luar dan tentukan posisi letak titik P.
*). Perbandingan vektornya $ m : n = 2 : 3 $ artinya $ m < n $ sehingga titik P terletak sebelum garis AB.
*). Bentuk perbandingannya adalah $ \vec{PA} : \vec{PB} = 2 : 3 $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = -2 : 3 $
*). Menentukan vektor posisi titik P :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{-2\vec{b} + 3\vec{a}}{-2+3} \\ & = \frac{-2\vec{b} + 3\vec{a}}{1} \\ & = -2\vec{b} + 3\vec{a} \\ & = -2(-3,3, 4) + 3(2,3,-1) \\ & = (6,-6, -8) + (6,9,-3) \\ & = (12,3, -11) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik P yaitu $ \vec{p} = (12,3, -11) $
sehingga koordinat titik P adalah $ (12,3, -11) $ yang terletak sebelum titik A dan B.
2). Tentukan koordinat titik C yang membagi garis hubung $P(2,-3,3) $ dan $ Q(2,4, 3) $ dengan perbandingan $ 5 : 2 $ berdasarkan ketentukan :
a). Titik C membagi PQ di dalam,
b). Titik C membagi PQ di luar dan tentukan posisi letak titik C.
Penyelesaian :
a). Titik C membagi PQ di dalam,
*). Bentuk perbandingannya adalah $ \vec{PC} : \vec{CQ} = 5 : 2 $
*). Menentukan vektor posisi titik C :
$ \begin{align} \vec{c} & = \frac{5\vec{q} + 2\vec{p}}{5 + 2} \\ & = \frac{1}{7} (5\vec{q} + 2\vec{p}) \\ & = \frac{1}{7} (5(2,4, 3) + 2(2,-3,3)) \\ & = \frac{1}{7} ((10,20, 15) + (4,-6,6)) \\ & = \frac{1}{7} (14,14, 21) \\ & = (2 , 2, 3) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik C yaitu $ \vec{c} = (2 , 2, 3) $
sehingga koordinat titik C adalah (2 , 2, 3) .
b). Titik C membagi PQ di luar dan tentukan posisi letak titik C.
*). Perbandingan vektornya $ m : n = 5 : 2 $ artinya $ m > n $ sehingga titik C terletak setelah garis PQ.
*). Bentuk perbandingannya adalah $ \vec{PC} : \vec{QC} = 5 : 2 $ atau $ \vec{PC} : \vec{CQ} = 5 : -2 $
*). Menentukan vektor posisi titik C :
$ \begin{align} \vec{c} & = \frac{5\vec{q} - 2\vec{p}}{5 - 2} \\ & = \frac{1}{3} (5\vec{q} - 2\vec{p}) \\ & = \frac{1}{3} (5(2,4, 3) - 2(2,-3,3)) \\ & = \frac{1}{3} ((10,20, 15) - (4,-6,6)) \\ & = \frac{1}{3} (6,26,9) \\ & = \left(2,\frac{26}{3}, 3 \right) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik C yaitu $ \vec{c} = \left(2,\frac{26}{3}, 3 \right) $
sehingga koordinat titik C adalah $ \left(2,\frac{26}{3}, 3 \right) $ yang terletak setelah titik P dan Q.
3). Tentukan Koordinat titik P yang terletak di luar AB dengan $ A(-3, 2 , 1 ) $ , $ B( 1, -2, 4) $ $ \vec{AP} : \vec{PB} = 3 : (-2) $ dan tentukan letak titik P!
Penyelesaian :
*). Pada perbandingan $ \vec{AP} : \vec{PB} = 3 : (-2) $, titik yang kembar (titik P) sudah ada ditengah sehingga tidak perlu kita balik arah vektornya. Untuk mengerjakannya langsung kita gunakan "dekat-dekat jauh-jauh".
*). Menentukan vektor posisi titik P :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{3\vec{b} - 2\vec{a}}{3 - 2} \\ & = \frac{3\vec{b} - 2\vec{a}}{1} \\ & = 3\vec{b} - 2\vec{a} \\ & = 3( 1, -2, 4) - 2(-3, 2 , 1 ) \\ & = ( 3, -6, 12) - (-6, 4 , 2 ) \\ & = ( 9, -10, 10) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik P yaitu $ \vec{p} = ( 9, -10, 10) $
sehingga koordinat titik P adalah $ ( 9, -10, 10) $ .
*). Menentukan letak titik P apakah sebelum atau sesudah AB :
Perhatikan perbandingan vektornya yaitu $ 3 : -2 $ , jika kita mutlakkan maka kita peroleh perbandingannya menjadi $ 3 : 2 $, artinya $ m : n = 3 : 2 $ dimana memenuhi $ m > n $ sehingga titik P terletak setalah ruas garis AB.
4). Bila $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari $ \Delta ABC $. Titik D pada $ \vec{AC} $ sehingga $ AD : DC = 1 : 3 $ . Titik E pada $ \vec{BC} $ sehingga $ BE : EC = 5 : 2 $. Nyatakan $ \vec{DE} $ dalam $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $, dan $ \vec{c} $ !
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
$ \begin{align} \vec{d} & = \frac{1.\vec{c} + 3\vec{a} }{1 + 3} \\ & = \frac{\vec{c} + 3\vec{a} }{4} \end{align} $
*). Menentukan vektor posisi E dengan perbandingan vektor $ BE : EC = 5 : 2 $
$ \begin{align} \vec{e} & = \frac{5\vec{c} + 2\vec{b} }{5 + 2} \\ & = \frac{5\vec{c} + 2\vec{b} }{7} \end{align} $
*). Menentukan vektor $ \vec{DE} $ :
$ \begin{align} \vec{DE} & = \vec{e} - \vec{d} \\ & = \frac{5\vec{c} + 2\vec{b} }{7} - \frac{\vec{c} + 3\vec{a} }{4} \\ & = \frac{4(5\vec{c} + 2\vec{b}) }{28} - \frac{7(\vec{c} + 3\vec{a} )}{28} \\ & = \frac{20\vec{c} + 8\vec{b} }{28} - \frac{7\vec{c} + 21\vec{a}}{28} \\ & = \frac{20\vec{c} + 8\vec{b} - 7\vec{c} - 21\vec{a} }{28} \\ & = \frac{- 21\vec{a} + 28\vec{b} - 7\vec{c} }{28} \\ & = \frac{1}{28} ( - 21\vec{a} + 28\vec{b} - 7\vec{c} ) \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \vec{DE} = \frac{1}{28} ( - 21\vec{a} + 28\vec{b} - 7\vec{c} ) $.
5). Dari segitiga ABC diketahui titik D pada AC dan E pada AB. Titik G pada perpotongan DB dan EC. Jika diketahui perbandingan $ AD : DC = 3 : 1 $ dan $ AE : EB = 1 : 2 $, maka tentukan perbandingan $ EG : GC $ dan $ DG : GB $ !
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh :
Misalkan $ \vec{AB} = \vec{q} $ dan $ \vec{AC} = \vec{p} $.
$ \vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{q} $ dan $ \vec{AD} = \frac{3}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{p} $.
-). Vektor $\vec{EG} $ segaris dengan $ \vec{EC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{EG} = n\vec{EC} \rightarrow \frac{\vec{EG}}{\vec{EC}} = \frac{n}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{EG}}{\vec{GC}} = \frac{n}{1-n} $
-). Vektor $\vec{DG} $ segaris dengan $ \vec{DB} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{DG} = m\vec{DB} \rightarrow \frac{\vec{DG}}{\vec{DB}} = \frac{m}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{GG}}{\vec{GB}} = \frac{m}{1-m} $
*). Menentukan vektor $ \vec{AG} $ dari $ \vec{EG}:\vec{GC} = n : 1-n $
$ \vec{AG} = \frac{n\vec{AC} + (1-n)\vec{AE}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).\frac{1}{3}\vec{q}}{1} = n\vec{p} + \frac{1-n}{3}\vec{q} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AG} $ dari $ \vec{DG}:\vec{GB} = m : 1-m $
$ \vec{AG} = \frac{m\vec{AB} + (1-m)\vec{AD}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).\frac{3}{4}\vec{p}}{1} = m\vec{q} + \frac{3(1-m)}{4}\vec{p} $.
*). Vektor $ \vec{AG} $ dari kedua bentuk di atas sama sehingga dengan menyamakan koefisien vektor sejenis, kita peroleh persamaan :
-). Koefisien vektor $ \vec{p} $ :
$ n = \frac{3(1-m)}{4} \rightarrow 4n = 3 - 3m \rightarrow 4n + 3m = 3 \, $ ....(i)
-). Koefisien vektor $ \vec{q} $ :
$ \frac{1-n}{3} = m \rightarrow 1 - n = 3m \rightarrow n + 3m = 1 \, $ ....(ii)
-). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 4n + 3m = 3 & \\ n + 3m = 1 & - \\ \hline 3n = 2 & \\ n = \frac{2}{3} \end{array} $
Pers(ii): $ n + 3m = 1 \rightarrow \frac{2}{3} + 3m = 1 \rightarrow m = \frac{1}{9} $.
*). Menentukan perbandingan yang diminta :
-). Perbandingan $ \vec{EG}:\vec{GC} $
$ \vec{EG}:\vec{GC} = n : 1-n = \frac{2}{3} : 1 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
-). Perbandingan $ \vec{DG}:\vec{GB} $ :
$ \vec{DG}:\vec{GB} = m : 1-m = \frac{1}{9} : 1 - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} : \frac{8}{9} = 1 : 8 $.
Jadi, kita peroleh perbandingan $ EG : GC = 2 : 1 $ dan $ DG : GB = 1 : 8 $.
Catatan :
Untuk cara yang lebih efektif dalam mengerjakan contoh soal nomor 5 ini, kita bisa menggunakan dalil menelaus. Silahkan baca artikelnya dalam "Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya". Caranya yaitu :
-). Menentukan perbandingan $ EG : GC $ :
$ \begin{align} \frac{EG}{GC}.\frac{CD}{DA}.\frac{AB}{EB} & = 1 \\ \frac{EG}{GC}.\frac{1}{3}.\frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{EG}{GC}.\frac{1}{2} & = 1 \\ \frac{EG}{GC} & = 1 : \frac{1}{2} \\ \frac{EG}{GC} & = \frac{2}{1} \end{align} $
-). Menentukan perbandingan $ DG : GB $ :
$ \begin{align} \frac{DG}{GB}.\frac{BE}{EA}.\frac{AC}{CD} & = 1 \\ \frac{DG}{GB}.\frac{2}{1}.\frac{4}{1} & = 1 \\ \frac{DG}{GB}.\frac{8}{1} & = 1 \\ \frac{DG}{GB} & = 1 : \frac{8}{1} \\ \frac{DG}{GB} & = \frac{1}{8} \end{align} $
Bagaimana? hasilnya samakan dengan menggunakan dalil menelaus.
Untuk artikel lainnya kita akan coba buktikan "dalil menalaus" dan cara "menentukan titik berat segitiga" menggunakan konsep vektor khususnya dengan perbandingan vektor pada ruas garis ini.
Demikian pembahasan materi Perbandingan Vektor pada Ruas Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi "vektor tingkat SMA" lainnya yaitu "perkalian dot dua vektor dan Sifatnya" .
