Vektor Basis Normal Standar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Vektor Basis Normal Standar yang merupakan salah satu dari bagian "materi vektor tingkat SMA". Pada artikel sebelumnya tentang "Pengertian Vektor dan Penulisannya", sebuah vektor dapat kita sajikan atau tulis dalam bentuk vektor baris atau vektor kolom atau dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \, \vec{k} $. Nah, pada artikel Vektor Basis Normal Standar ini akan kita bahas apa pengertian dari vektor basis itu sendiri. Namun sebelum mempelajari apa itu vektor basis atau apa itu basis sebuah vektor, kita akan mempelajari terlebih dahulu materi kombinasi linear vektor. Kombinasi linear vektor berkaitan erat dengan perkalian skalar dengan vektor dan penjumlahan vektor, sehingga kita juga akan bahas sekilas tentang perkalian skalar dengan vektor dan penjumlahan vektor secara aljabar dimana caranya sama dengan "operasi pada matriks". Untuk lebih mendetail tentang operasi vektor khususnya "penjumlahan dan pengurangan vektor" dan "perkalian skalar dengan vektor" akan kita bahas dalam artikel lain secara lengkap.

Penjumlahan dan pengurangan vektor serta perkalian skalar

$ \clubsuit \, $ Penjumlahan dan pengurangan vektor
       Secara aljabar, penjumlahan dan pengurangan dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan unsur-unsur yang seletak.
-). vektor di dimensi dua (R$^2$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2) $ dan $ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2) $
-). vektor di dimensi tiga (R$^3$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2 , \, a_3 + b_3) $ dan
$ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2, \, a_3 - b_3) $

$ \spadesuit \, $ Perkalian Skalar
       Secara aljabar, perkalian skalar dengan vektor hasilnya semua unsur pada vektor dikalikan dengan skalarnya. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $ serta terdapat skalar $ k $, maka
$ k\vec{a} = (ka_1 , \, ka_2) \, $ dan $ k\vec{b} = (kb_1, \, kb_2, \, kb_3 ) $

Kombinasi Linear vektor dan Basis

       Misalkan $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ adalah vektor-vektor dalam R$^2$ atau di R$^3$. Setiap vektor $ \vec{v} $ dalam R$^2$ atau di R$^3$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $, yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3}+...+k_r\vec{v_r} $,
dengan $ k_1, k_2, k_3, ...,k_r $ adalah skalar-skalar real. Jika $ k_1, k_2, k_3, ...,k_r $ tunggal, maka vektor-vektor $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ ini disebut basis untuk vektor di R$^2$ atau di R$^3$.

Contoh soal kombinasi linear dan basis :

1). Misalkan terdapat vektor $ \vec{v_1} = (2 , \, 0) $ , $ \vec{v_2} = (3 , \, 1) $ , $ \vec{v_3} = (2, \, 3 ) $ dan $ \vec{v} = ( 6 , \, 4) $.
a). Apakah $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?
b). Apakah $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?

Penyelesaian :
a). Apakah $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?
Misalkan terdapat $ k_1 $ dan $ k_2 $, sehingga memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} $ . Jika terdapat tunggal $ k_1 $ dan $ k_2 $ yang memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} $ , maka $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$, jika tidak tunggal, maka bukan merupakan vektor basis.
$ \begin{align} \vec{v} & = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & = k_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +k_2\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 \\ 0 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 + 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) \end{align} $
terbentuk persamaan :
$ k_2 = 4 $
$ 6 = 2k_1 + 3k_2 \rightarrow 6 = 2k_1 + 3.4 \rightarrow 6 = 2k_1 + 12 \rightarrow k_1 = - 3 $
kita peroleh nilai $ k_1 = -3 $ dan $ k_2 = 4 $. Karena nilai $ k_1 $ dan $ k_2 $ hanya ada satu masing-masing yaitu $ k_1 = -3 $ dan $ k_2 = 4 $, artinya ada tunggal nilai $ k_1 $ dan $ k_2 $, sehingga $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$.

b). Apakah $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?
Misalkan terdapat $ k_1, k_2, k_3 $ yang memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} + k_3\vec{v_3} $. Mari kita cek, apakah terdapat tunggal nilai $ k_1, k_2, k_3 $ .
$ \begin{align} \vec{v} & = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} + k_3\vec{v_3} \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & = k_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +k_2\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) +k_3\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 \\ 0 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k_3 \\ 3k_3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 \\ k_2 + 3k_3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Terbentuk persamaan :
$ 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 = 6 \, $ ......(i)
$ k_2 + 3k_3 = 4 \, $ ........(ii)
Karena hanya terbentuk dua persamaan dan terdapat tiga variabel $ k_1, k_2, k_3 $ , maka akan ada banyak penyelesaian. Misalkan nilai $ k_3 = t $, maka dari persamaan (ii) :
$ k_2 + 3k_3 = 4 \rightarrow k_2 + 3t = 4 \rightarrow k_2 = 4 - 3t $.
Dari pers(i) :
$ \begin{align} 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 & = 6 \\ 2k_1 + 3( 4 - 3t) + 2t & = 6 \\ 2k_1 + 12 - 9t + 2t & = 6 \\ 2k_1 & = -6 + 7t \\ k_1 & = -3 + \frac{7}{2}t \end{align} $
Sehingga nilai $ k_1, k_2, $ dan $ k_3 $ :
$ k_3 = t, k_2 = 4 - 3t $ , dan $ k_1 = -3 + \frac{7}{2}t $.
Artinya solusinya tidak tunggal karena tergantung dari nilai $ t $.
Misalkan $ t = 0 \rightarrow k_3 = 0 , k_2 = 4, k_1 = - 3 $
Misalkan $ t = 2 \rightarrow k_3 = 2 , k_2 = -2, k_1 = 4 $
dan lainnya.
Jadi, $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ bukan vektor basis untuk R$^2$.

Vektor Basis normal Standar

       Misalkan V menyetakan dimensi R$^2 $ atau di R$^3$ atau di ruang vektor lainnya, vektor-vektor $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ disebut basis dari V jika untuk setiap $ \vec{v} \in V $, vektor $ \vec{v} $ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear secara tunggal dari $ r $ vektor tersebut, yakni :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3}+...+k_r\vec{v_r} $,
dengan $ k_1, k_2, k_3 , ... , k_r $ tunggal.

       Jika masing-masing vektor tersebut panjangnya 1 satuan dan saling tegak lurus, maka $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ disebut vektor basis normal standar dalam V.

Berdasarkan definisi dari Vektor Basis normal Standar, maka :
(i). vektor $ \vec{i} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{j} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) $ adalah vektor basis normal standar dalam ruang vektor di R$^2$.
(ii). vektor $ \vec{i} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{j} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $ $ \vec{k} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) $ adalah vektor basis normal standar dalam ruang vektor di R$^3$.

Contoh Soal Vektor Basis Normal Standar :

2). Diketahui koordinat $ A (-1, 3) $ dan $ B (2, 0 ) $ . Tuliskan vektor $ \vec{AB} $ dalam vektor baris, vektor kolom, dan dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{AB} $ :
$ \vec{AB} = B - A = ( 2 - (-1) , \, 0 - 3) = (3, \, -3) \, $ (vektor baris),
Vektor kolomnya : $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) $
vektor basis : $ \vec{AB} = 3\vec{i} - 3\vec{j} $

*). Mari kita cek khusus penyajian dalam vektor basis untuk contoh soal nomor 2 ini :
$ \begin{align} \vec{AB} & = 3\vec{i} - 3\vec{j} \\ & = 3\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) - 3\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 - 0 \\ 0 - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, penyajian $ \vec{AB} = 3\vec{i} - 3\vec{j} \, $ adalah benar yaitu menghasilkan vektor $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) $

3). Diketahui koordinat $ P (1, 0 , -2) $ dan $ Q (3, -1, 1) $ . Tuliskan vektor $ \vec{PQ} $ dalam vektor baris, vektor kolom, dan dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \vec{j} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q - P = ( 3 - 1, \, -1 - 0 , \, 1 - (-2) ) = (2, \, -1 , \, 3 ) $ (vektor baris),
Vektor kolomnya : $ \vec{PQ} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $
vektor basis : $ \vec{PQ} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} $

*). Mari kita cek khusus penyajian dalam vektor basis untuk contoh soal nomor 3 ini :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} \\ & = 2\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - 0 + 0 \\ 0 - 1 + 0 \\ 0 - 0 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, penyajian $ \vec{PQ} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} \, $ adalah benar yaitu menghasilkan vektor $ \vec{PQ} = (2, \, -1 , \, 3 ) $

4). Tentukan penyajian vektor $ \vec{a} = (3, \, 0 , \, -5 ) $ dalam bentuk vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \vec{j} $ !
Penyelesaian :
Penyajian dalam vektor basisnya yaitu : $ \vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{k} $.

5). Ubahlah penyajian vektor dibawah ini menjadi vektor baris :
a). $ \vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} \, $ di R$^2$
b). $ \vec{b} = 3\vec{i} \, $ di R$^2$
c). $ \vec{c} = -4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \, $ di R$^3$
d). $ \vec{d} = 2\vec{j}-7\vec{k} \, $ di R$^3$
e). $ \vec{e} = -\vec{i} + 3\vec{j} \, $ di R$^3$
Penyelesaian :
*). Berikut penyajian vektor masing-masing dalam vektor baris :
a). $ \vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} \, $ di R$^2$
vektor baris : $ \vec{a} = (2, \, -3) $
b). $ \vec{b} = 3\vec{i} \, $ di R$^2$
vektor baris : $ \vec{b} = (3, \, 0) $
c). $ \vec{c} = -4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{c} = (-4, \, 1, \, 2) $
d). $ \vec{d} = 2\vec{j}-7\vec{k} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{d} = (0, \, 2 , \, -7) $
e). $ \vec{e} = -\vec{i} + 3\vec{j} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{e} = (-1, \, 3 , \, 0 ) $

6). Tentukanlah panjang dari vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{p} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $ di R$^2$,
b). $ \vec{q} = 3\vec{i} + \vec{j}- 2\vec{k} $ di R$^3$,
Penyelesaian :
*). Berikut panjang vektor masing-masing :
a). $ \vec{p} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $ di R$^2$,
panjang vektor $ \vec{p} $ :
$ |\vec{p}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 } = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $
b). $ \vec{q} = 3\vec{i} + \vec{j}- 2\vec{k} $ di R$^3$,
panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2 } = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $

       Demikian pembahasan materi Vektor Basis Normal Standar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Kesamaan Dua Vektor dan Sejajar, dan Segaris".