Sebelum mempelajari materi Persamaan Garis Singgung Hiperbola ini, kita sebaiknya menguasai beberapa materi dasar yaitu "persamaan Hiperbola", "kedudukan titik terhadap Hiperbola", "kedudukan garis terhadap Hiperbola", "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus", dan "Hubungan Dua Garis Lurus".
Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Pertama
Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola melalui titik $ (x_1,y_1) $
dimana titik tersebut ada pada Hiperbola. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung Hiperbolanya :
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} - \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ -\frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} - \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ -\frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} - \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ -\frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} - \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ -\frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $
Catatan :
-). Dalam PGSH Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada Hiperbola (dilalui oleh Hiperbola) atau tidak. Silahkan baca "Kedudukan Titik Terhadap Hiperbola".
-). Trik Mudah mengingat rumus persamaan garis singgung Hiperbola yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Persamaan garis singgung Hiperbola yang diketahui titik singgungnya, kita gunakan yang namanya CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yaitu jika ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi perkalian, dan jika ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut penjabaran CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung Hiperbola :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-p)^2 \, $ menjadi $ (x-p)(x_1-p) $
$ (y-q)^2 \, $ menjadi $ (y-q)(y_1-q) $
Untuk lebih mudah dalam memahaminya, mari kita pelajari contoh berikut ini.
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH Pertama) :
1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $(4,1)$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (4,1)$ pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} = 1 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (4,1) \rightarrow \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{4^2}{12} - \frac{1^2}{3} & ... 1 \\ \frac{16}{12} - \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{4}{3} - \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{3}{3} & ... 1 \\ 1 & ... 1 \\ 1 & = 1 \\ \end{align} $
Karena hasilnya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 1 dan ruas kanan = 1), maka titik $ (4,1)$ ada pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} = 1 $ sehingga untuk menentukan PGSH-nya bisa menggunakan CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (4,1) $
$ \begin{align} \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{x.x_1}{12} - \frac{y.y_1}{3} & = 1 \\ \frac{x.4}{12} - \frac{y.1}{3} & = 1 \\ \frac{x }{3} - \frac{y}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x - y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x - y = 3 $.
*). Ilustrasi gambarnya :
Catatan :
-). Untuk contoh soal berikutnya yang terkait dengan PGSH Pertama ini, titik yang dilalui oleh Hiperbola selalu ada pada Hiperbola sehingga kita tidak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun jika teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan untuk mencobanya sendiri.
2). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ -\frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{30} = 1 $ di titik $(0,-4)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (0,-4) $
$ \begin{align} -\frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{30} & = 1 \\ -\frac{(x+1)(x_1+1)}{5} + \frac{(y-2)(y_1-2)}{30} & = 1 \\ -\frac{(x+1)(0+1)}{5} + \frac{(y-2)(-4-2)}{30} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{(y-2)(-6)}{20} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{-(y-2) }{5} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{-y + 2}{5} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ -(x+1) + (-y + 2) & = 5 \\ -x- y & = 4 \\ x+ y & = -4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x + y = -4 $.
*). Ilustrasi gambarnya :
3). Tentukan Persamaan Garis singgung di titik yang berabsis 1 pada Hiperbola $ -3x^2 + 2y^2 = 29 $!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi absis yaitu $ x = 1 $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3.1^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3 + 2y^2 & = 29 \\ 2y^2 & = 32 \\ y^2 & = 16 \\ y & = \pm \sqrt{16} \\ y & = \pm 4 \end{align} $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (1, 4 ) $ dan $ (x_2,y_2) = (1,-4) $
(ada dua titik singgungnya, sehingga garis singgungnya juga ada dua).
*). Menentukan PGSH :
-). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (1,4) $
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3x.x_1 + 2y.y_1 & = 29 \\ -3x.1 + 2y.4 & = 29 \\ -3x + 8y & = 29 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgung pertamanya adalah $ -3x + 8y = 29 $ .
-). Titik singgungnya $ (x_2,y_2) = (1,-4) $
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3x.x_1 + 2y.y_1 & = 29 \\ -3x.1 + 2y.(-4) & = 29 \\ -3x - 8y & = 29 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgung keduanya adalah $ -3x - 8y = 29 $ .
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ -3x + 8y = 29 $ dan $ -3x - 8y = 29$.
*). Ilustrasi gambarnya :
4). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ 2x^2 - 3y^2 - 8x - 6y = 13 $ di titik $(-1,-1)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-1,-1) $
$ \begin{align} 2x^2 - 3y^2 - 8x - 6y & = 13 \\ 2x.x_1 - 3y.y_1 - 8.\frac{x+x_1}{2} - 6.\frac{y+y_1}{2} & = 13 \\ 2x.x_1 - 3y.y_1 - 4(x+x_1) - 3(y+y_1) & = 13 \\ 2x.(-1) - 3y.(-1) - 4(x+(-1)) - 3(y+(-1)) & = 13 \\ -2x + 3y - 4(x-1) - 3(y -1) & = 13 \\ -2x + 3y - 4x + 4 - 3y + 3 & = 13 \\ -6x & = 6 \\ x & = -1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x = -1 $.
*). Ilustrasi gambarnya :
Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Kedua
Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola yang diketahui gradiennya ($m$).
Berikut bentuk persamaan garis singgung Hiperbolanya :
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ adalah $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar memiliki gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka perkalian gradien kedua garis sama dengan $ - 1 $.
-). Trik mudah mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari letak $ a $, apakah ada di bawah $ x $ atau di bawah $ y $, yaitu :
1). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
2). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang ada dibagian positif.
-). Jika titik pusat Hiperbolanya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $ .
Contoh Soal Persamaan garis singgung Hiperbola (PGSH Kedua) :
5). Tentukan persamaan garis singgung Hiperbola pada :
a). Hiperbola $ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
b). Hiperbola $ -\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{12} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). Hiperbola $ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 2 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{2.2^2 - 4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{2.4 - 4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4} \\ y & = 2x \pm 2 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x - 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = 2x + 2 $ dan $ y = 2x - 2$.
*). Ilustrasi gambarnya :
b). Hiperbola $ -\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{12} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 12 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} \\ y & = -1.x \pm \sqrt{12 - 3.(-1)^2} \\ y & = -x \pm \sqrt{12 - 3} \\ y & = -x \pm \sqrt{9} \\ y & = -x \pm 3 \\ y & = -x + 3 \vee y = -x - 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = -x + 3 $ dan $ y = -x - 3 $.
*). Ilustrasi gambarnya :
6). Tentukan persamaan garis singgung Hiperbola $ \frac{(x+2)^2}{2} - \frac{(y-3)^2}{6} = 1 $ dengan gradien $ \sqrt{5} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 2 $ dan $ b^2 = 6 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ (y-q) = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = \sqrt{5} \rightarrow m^2 = 5 $ :
$ \begin{align} (y-q) & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \\ (y-3) & = \sqrt{5}(x+2) \pm \sqrt{2.5 - 6} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm \sqrt{4} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm 2 \\ y & = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 2 $.
7). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x-4)^2}{24} - \frac{(y+5)^2}{2} $ yang sejajar dengan garis $ x + 2y = -12 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ x + 2y = -12 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yaitu $ m = -\frac{1}{2} $.
Silahkan baca artikel : "Hubungan dua garis lurus".
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 24 $ dan $ b^2 = 2 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -\frac{1}{2} \rightarrow m^2 = \frac{1}{4} $ :
$ \begin{align} y-q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2 } \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{24. \frac{1}{4}- 2} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{6 - 2} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm 2 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y+10 & = - (x-4) \pm 4 \\ 2y+10 & = - x+ 4 \pm 4 \\ 2y & = - x+ 4 - 10 \pm 4 \\ x + 2y & = -6 \pm 4 \end{align} $
pertama : $ x + 2y = -6 + 4 \rightarrow x + 2y = -2 $
pertama : $ x + 2y = -6 - 4 \rightarrow x + 2y = -10 $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya $ x + 2y = -2 $ atau $ x + 2y = -10 $.
8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ -\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{6} = 1 $ yang tegak lurus dengan garis $ -x - 2y = 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x - 2y = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-2} = - \frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow - \frac{1}{2} . m_2 = - 1 \rightarrow m_2 = 2 $.
Artinya gradien garis singgungnya adalah $ m = 2 $.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 16 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{16 - 3.4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4} \\ y & = 2x \pm 2 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x - 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = 2x + 2 $ dan $ y = 2x - 2 $.
9). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ -11x^2 + y^2 + 22x + 4y - 8 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x- 3y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan contoh soal (9) ini, pertama kita ubah dulu bentuk $ -11x^2 + y^2 + 22x + 4y - 8 = 0 $ menjadi persamaan Hiperbola standar dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh soal nomor (8) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.
Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Ketiga
Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola yang melalui titik
$ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar kurva Hiperbola.
-). Untuk bentuk PGSH Ketiga ini akan kita lanjutkan pada artikel yang lainnya karena penjelasannya cukup panjang. SIlahkan baca PGSH jenis ketiga ini pada artikel "Garis Singgung Hiperbola titik diluar".
Demikian pembahasan materi Persamaan Garis Singgung Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".
