Persamaan Asimtot Hiperbola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Asimtot Hiperbola yang bisa kita singkat menjadi PAH (Persamaan Asimtot Hiperbola). Dari semua jenis "irisan kerucut" seperti "lingkaran", "parabola", "elips", dan "hiperbola", persamaan asimtot hanya terdapat pada irisan kerucut berbentuk hiperbola. Asimtot adalah sebuah garis lurus yang akan didekati (tidak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Sebelumnya juga telah kita bahas persamaan asimtot yaitu "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar", "Asimtot Miring Fungsi Aljabar", dan "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri". Persamaan Asimtot Hiperbola adalah salah satu dari jenis asimtot miring. Asimtot hiperbola selalu melalui titik pusat "persamaan hiperbola". Sebuah persamaan hiperbola biasanya memiliki dua Persamaan Asimtot Hiperbola dimana keduanya selalu berpotongan pada titik pusat hiperbola. Untuk ilustrasi asimtot hiperbola, perhatikan gambar berikut ini, asimtot ditunjukkan oleh garis berwarna biru.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu materi "persamaan hiperbola dan unsur-unsurnya" secara mendalam dan materi "sifat-sifat eksponen" khususnya bentuk akar seperti $A^2 = B \rightarrow A = \pm \sqrt{B}$. Langsung saja kita masuk ke bentuk Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) berikut ini.

Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH)

       Bentuk atau rumus Persamaan Asimtot Hiperbola bergantung dari persamaan hiperbolanya. Berikut masing-masing rumus Persamaan Asimtot Hiperbolanya.

1). Persamaan Hiperbola : $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
       Persamaan Asimtotnya : $y = \pm \frac{b}{a} x$
2). Persamaan Hiperbola : $\frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1$
       Persamaan Asimtotnya : $y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p)$
3). Persamaan Hiperbola : $-\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
       Persamaan Asimtotnya : $y = \pm \frac{a}{b} x$
4). Persamaan Hiperbola : $-\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1$
       Persamaan Asimtotnya : $y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p)$

$\spadesuit \,$ Trik mengingat dan mengerjakan PAH
(i). Nilai $a^2$ selalu ada di bagian positif ($x$ atau $y$), dan sisanya adalah nilai $b^2$ dengan nilai $a$ dan $b$ selalu positif.
(ii). Bentuk umum asimtotnya $y = \pm mx$ atau $y-q = \pm (x-p)$ dengan
       (a). Jika $x$ positif, maka $m = \frac{b}{a}$
       (b). Jika $y$ positif, maka $m = \frac{a}{b}$
(iii). Jika tidak ingin menggunalan rumus di atas, maka ada cara lain yaitu mengganti angka 1 dengan 0 pada persamaan hiperbolanya, lalu selesaikan sehingga kita peroleh juga persamaan asimtot hiperbolanya.
(iv). Titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola adalah titik pusat hiperbola yaitu titik $(p,q)$.

Contoh soal Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) :

1). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
(b). $-\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1$
Penyelesaian :
(a). $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
*). Menentukan nilai $a$ dan $b$ :
$a^2 = 9 \rightarrow a = 3$
$b^2 = 16 \rightarrow b = 4$
*). Karena $x$ yang positif, maka $m = \frac{b}{a}$.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{b}{a} x \\ y & = \pm \frac{4}{3} x \end{align}$
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $y = \frac{4}{3}x$ dan $y = -\frac{4}{3}x$.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$\begin{align} \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 0 \\ \frac{y^2}{16} & = \frac{x^2}{9} \\ y^2 & = \frac{16}{9}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}x^2 } \\ y & = \pm \frac{4}{3}x^2 \end{align}$

(b). $-\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1$
*). Menentukan nilai $a$ dan $b$ :
$a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$b^2 = 25 \rightarrow b = 5$
*). Karena $y$ yang positif, maka $m = \frac{a}{b}$.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{a}{b} x \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5} x \end{align}$
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $y = \frac{2\sqrt{2}}{5}x$ dan $y = -\frac{2\sqrt{2}}{5}x$.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$\begin{align} -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 1 \\ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 0 \\ \frac{y^2}{8} & = \frac{x^2}{25} \\ y^2 & = \frac{8}{25}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{ \frac{8}{25}x^2 } \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5}x \end{align}$

2). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $\frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1$
(b). $-\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1$
Penyelesaian :
(a). $\frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1$
*). Menentukan nilai $a$ dan $b$ :
$a^2 = 25 \rightarrow a = 5$
$b^2 = 7 \rightarrow b = \sqrt{7}$
*). Karena $x$ yang positif, maka $m = \frac{b}{a}$.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align}$
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $y+1 = \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2)$ dan $y+1 = - \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2)$.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$\begin{align} \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{7} & = \frac{(x-2)^2}{25} \\ (y+1)^2 & = \frac{7}{25} (x-2)^2 \\ y+1 & = \pm \sqrt{ \frac{7}{25} (x-2)^2 } \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align}$

(b). $-\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1$
*). Menentukan nilai $a$ dan $b$ :
$a^2 = 64 \rightarrow a = 8$
$b^2 = 100 \rightarrow b = 10$
*). Karena $y$ yang positif, maka $m = \frac{a}{b}$.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y - 3 & = \pm \frac{8}{10} (x +2) \\ y - 3 & = \pm \frac{4}{5} (x +2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y - 15 & = \pm 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4(x +2) \vee 5y - 15 = - 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4x + 8 \vee 5y - 15 = - 4x - 8 \\ 5y -4x & = 23 \vee 5y + 4x = 7 \\ \end{align}$
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $5y - 4x = 23$ dan $5y + 4x = 7$.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$\begin{align} -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 0 \\ \frac{(y-3)^2}{64} & = \frac{(x+2)^2}{100} \\ (y-3)^2 & = \frac{64}{100} (x+2)^2 \\ (y-3) & = \pm \sqrt{ \frac{64}{100} (x+2)^2 } \\ (y-3) & = \pm \frac{8}{10} (x+2) \\ (y-3) & = \pm \frac{4}{5} (x+2) \end{align}$

3). Kedua persamaan asimtot hiperbola $\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} = 1$ masing-masing memotong sumbu X. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$\begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+3)^2}{9} & = \frac{(x-1)^2}{4} \\ (y+3)^2 & = \frac{9}{4} (x-1)^2 \\ (y+3) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{4} (x-1)^2 } \\ y+3 & = \pm \frac{3}{2} (x-1) \, \, \, \, \, \text{kali 2)} \\ 2y+6 & = \pm 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 (x-1) \vee 2y+6 & = - 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 x- 3 \vee 2y+6 & = - 3x + 3 \\ 3x - 2y = 9 \vee 3x + 2y & = - 3 \end{align}$
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $3x - 2y = 9$ dan $3x + 2y = -3$.
*). Menentukan titik potong sumbu X dengan substitusi $y = 0$ :
$3x - 2y = 9 \rightarrow 3x - 2.0 = 9 \rightarrow x = 3$
$3x + 2y = -3 \rightarrow 3x + 2.0 = -3 \rightarrow x = -1$
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu X adalah $A(3,0)$ dan $B(-1,0)$.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $= 3 - (-1) = 4$.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah 4 satuan.

4). Kedua persamaan asimtot hiperbola $-\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} = 1$ masing-masing memotong sumbu Y. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$\begin{align} -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+n)^2}{9} & = \frac{(x-m)^2}{16} \\ (y+n)^2 & = \frac{9}{16}(x-m)^2 \\ (y+n) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{16}(x-m)^2 } \\ (y+n) & = \pm \frac{3}{4}(x-m) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y+4n & = \pm 3(x-m) \\ 4y+4n = 3(x-m) \vee 4y+4n & = - 3(x-m) \\ 4y+4n = 3x-3m \vee 4y+4n & = - 3x + 3m \\ 4y - 3x = -3m - 4n \vee 4y + 3x & = 3m - 4n \end{align}$
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $4y - 3x = -3m - 4n$ dan $4y + 3x = 3m - 4n$.
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $x = 0$ :
$4y - 3x = -3m - 4n \rightarrow 4y - 3.0 = -3m - 4n \rightarrow 4y = -3m - 4n \rightarrow y = -\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n$
$4y + 3x = 3m - 4n \rightarrow 4y + 3.0 = 3m - 4n \rightarrow 4y = 3m - 4n \rightarrow y = \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n$
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu Y adalah $A(0,-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n )$ dan $B(0, \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n)$.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $= (\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) - (-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) = \frac{6}{4}m = \frac{3}{2}m$.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah $\frac{3}{2}m$ satuan.

5). Tentukan titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 = 0$ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
$\begin{align} 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 & = 0 \\ 3x^2 - 12x - 2y^2 - 4y & = -4 \\ 3(x^2 -4x) - 2(y^2 + 2y) & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 2^2] - 2[(y + 1)^2 - 1^2] & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 4] - 2[(y + 1)^2 - 1 ] & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 12 - 2(y + 1)^2 + 2 & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 2(y + 1)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ \frac{3(x-2)^2 }{6} - \frac{2(y + 1)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x-2)^2 }{2} - \frac{(y + 1)^2}{3} & = 1 \end{align}$
Titik pusat hiperbola : $(p,q) = ( 2, - 1 )$
*). Titik potong kedua persamaan asimtot adalah titik pusat persamaan hiperbolanya yaitu $(2,-1)$.
Jadi, titik potong kedua asimtot adalah $(2,-1)$.

6). Jika titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $-2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny = 2m^2 - 3n^2 + 6$ adalah $(m-4, -n+2)$, maka tentukan nilai $m^2 + n^2$ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan :
$\begin{align} -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny & = 2m^2 - 3n^2 + 6 \\ -2x^2 - 4mx - 2m^2 + 3y^2 - 6ny + 3n^2 & = 6 \\ -2(x^2 + 2mx +m^2) + 3(y^2 - 2ny + n^2 ) & = 6 \\ -2(x+m)^2 + 3(y-n)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ -\frac{2(x+m)^2}{6} + \frac{3(y-n)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ -\frac{(x+m)^2}{3} + \frac{(y-n)^2}{2} & = 1 \end{align}$
Titik pusatnya : $(p,q) = (-m , n)$
*). Titik potong kedua asimtot adalah titik pusat yaitu $(-m,n)$.
*). Pada soal juga diketahui bahwa titik potong kedua asimtot adalah $(m-4,-n+2)$, sehingga kedua titik potong tersebut sama yaitu :
$\begin{align} (-m , n) & = (m-4,-n+2) \\ -m & = m - 4 \rightarrow 2m = 4 \rightarrow m = 2 \\ n & = -n + 2 \rightarrow 2n = 2 \rightarrow n = 1 \end{align}$
Sehingga nilai $m^2 + n^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ .
Jadi, nilai $m^2 + n^2 = 5$.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Asimtot Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".