Pengertian Vektor dan Penulisannya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan mempelajari materi Pengertian Vektor dan Penulisannya . "Materi vektor" adalah salah satu materi yang dipelajari dalam pelajaran Matematika dan pelajaran Fisika. Untuk Matematika, vektor mulai dipelajari pada jenjang SMA. Nah, pada blog koma ini, kita akan mempelajari materi vektor secara Matematikanya. Pengertian Veketor secara Fisika adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran yang hanya memiliki besar saja disebut skalar. Sementara Pengertian Vektor secara Matematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya. Perhitungan vektor secara Matematika adalah perpaduan antara aljabar dan geometri namun penekanannya lebih banyak ke aljabarnya dari pada geometrinya. Salah satu contoh vektor dalam kehidupan sehari-hari adalah terjadi pada olahraga lempar lembing seperti pada gambar berikut ini.

         Pernahkah kalian melihat lembing yang meluncur di udara saat dilempar oleh atlet lempar lembing? Lembing tersebut meluncur dengan kecepatan dan arah tertentu sesuai dengan keinginan sang atlet. Dalam matematika, lembing yang meluncur ini mewakili sebuah vektor, yaitu ruas garis berarah atau secara Fisika yaitu suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Dari contoh ini, dapat kita simpulkan bahwa vektor baik secara Matematika maupun Fisika sebenarnya sama, hanya saja penekanan yang akan dibahas saja yang berbeda pada masing-masing pelajaran tersebut. Dan jika ditinjau dari Pengertian Vektornya juga memiliki kesamaan makna.

         Lalu bagaimana dengan Penulisan vektornya? Sebuah vektor adalah sebuah garis berarah yang memiliki titik pangkal (titik asal) dan titik ujung (titik terminal). Vektor yang pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B diberi lambang dengan "$\vec{AB}$". Panjang vektor $\vec{AB}$ ini dilambangkan dengan $|\vec{AB}|$. Selain cara di atas, sebuah vektor dapat pula ditulis menggunakan:
*). huruf kecil yang dicetak tebal seperti a,b,c, dan sebagainya. Misalkan vektor $\vec{AB}$ ditulis sebagai vektor p.
*). huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah. Misalkan vektor $\vec{AB}$ ditulis sebagai vektor $ \vec{p} $.

       Penulisan vektor dengan menggunakan lambang panah di atas lebih sering digunakan, karena mnggunakan tulisan tangan, vektor yang dibubuhi tanda panah lebih mudah dituliskan daripada yang dicetak tebal. Namun teman-teman bebas memilih cara penulisan vektor tersebut.

Penulisan vektor secara aljabar

       Secara aljabar, vektor $ \vec{a} $ dapat ditulis dalam bentuk matriks baris, atau matriks kolom, atau dalam vektor basis $ \vec{i}, \vec{j}$ , dan $ \vec{k} $. Jika diketahui koordinat titik pangkal dan titik ujung sebuah vektor, maka penulisannya dapat kita tinjau dari dua hal yaitu :
1). Ruang dimensi Dua (R$^2$)
       Dalam runga dimensi dua, vektor dituliskan dalam dua komponen yaitu searah sumbu X dan searah sumbu Y. Misalkan vektor $ \vec{a} $ memiliki komponen $ a_1 $ searah sumbu X dan $ a_2 $ searah sumbu Y, maka vektor $ \vec{a} $ dapat kita tulis menjadi :
$ \vec{a} = ( a_1, \, a_2 ) $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix} \right) $ atau $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} $.

2). Ruang dimensi Tiga (R$^3$)
       Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan yaitu sumbu X (arah depan atau belakang), sumbu Y (arah kanan atau kiri), dan sumbu Z (arah atas atau bawah). Misalkan vektor $ \vec{a} $ memiliki komponen $ a_1 $ searah sumbu X, $ a_2 $ searah sumbu Y, dan $ a_3 $ searah sumbu Z, maka vektor $ \vec{a} $ dapat kita tulis menjadi :
$ \vec{a} = ( a_1, \, a_2 , \, a_3) $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix} \right) $ atau $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $.

Cara menentukan vektor secara aljabar

       Misalkan diketahui koordinat titik A dan titik B, maka vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BA} $ dapat ditentukan dengan cara :
$ \vec{AB} = B - A $ dan $ \vec{BA} = A - B $
(Ujung dikurangkan pangkalnya).

       Misalkan titik $ A (a_1, a_2) $ dan $ B(b_1, b_2) $ pada ruang dimensi dua, maka
$ \vec{AB} = B - A = ( b_1 - a_1 , \, b_2 - a_2) $ dan
$ \vec{BA} = A - B = (a_1-b_1, \, a_2-b_2) $

       Misalkan titik $ A (a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2,b_3) $ pada ruang dimensi dua, maka
$ \vec{AB} = B - A = ( b_1 - a_1 , \, b_2 - a_2, \, b_3 - a_3) $ dan
$ \vec{BA} = A - B = (a_1-b_1, \, a_2-b_2, \, a_3 - b_3) $

Contoh Soal Pengertian Vektor dan Penulisannya :

1). Pada ruang dimensi Dua, segitiga ABC memiliki koordinat titik sudut masing-masing yaitu $ A(1,2) $ , $ B(-3,1) $ dan $ C(-2,-3) $. Tentukan vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BC} $ , dan vektor $ \vec{AC} $!
Penyelesaian :
*). Sesuai cara menentukan vektor secara aljabar yaitu titik ujung dikurangkan titik pangkalnya, maka kita peroleh :
$ \vec{AB} = B - A = ( -3 - 1 , \, 1 - 2) = ( -4, \, -1) $
$ \vec{BC} = C - B = ( -2-(-3) , \, -3 - 1) = ( 1, \, -4) $
$ \vec{AC} = C - A = ( -2-1 , \, -3 - 2) = ( -3, \, -5) $

2). Diketahui titik $ P(0,-1,3) $ dan $ Q(2,3,-1) $. Tentukan vektor $ \vec{PQ} $ dan $ \vec{QP} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ dan $ \vec{QP} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = Q - P = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - 0 \\ 3 - (-1) \\ -1 - 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{matrix} \right) \\ \vec{QP} & = P - Q = \left( \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 - 2 \\ -1 - 3 \\ 3-(-1) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 4 \end{matrix} \right) \end{align} $

3). Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(2,0,1), B(-1,3,2), dan C(4,2,-5). Tentukan :
a). Vektor $ \vec{p} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B
b). Vektor $ \vec{q} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C
c). Vektor $ \vec{r} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C
Penyelesaian :
a). Vektor $ \vec{p} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka
$ \vec{p} = \vec{AB} = B - A = (-1-2, \, 3-0, \, 2-1) = (-3, \, 3, \, 1) $

b). Vektor $ \vec{q} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka
$ \vec{q} = \vec{BC} = C - B = (4-(-1), \, 2 - 3, \, -5-2) = (5, \, -1, \, -7) $

c). Vektor $ \vec{r} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka
$ \vec{r} = \vec{AC} = C - A = (4-2, \, 2-0, \, -5-1) = (2, \, 2, \, -6) $

4). Gambarkan vektor $ \vec{u} = (3 , \, 2) $ dan $ \vec{v} = (1, \, 3, \, 2) $ pada bidang koordinat Cartesius!
Penyelesaian :
*). Gambar vektor $ \vec{u} = (3 , \, 2) $ pada dimensi dua (R$^2$) dengan pangkal pusat koordinat :

*). Gambar vektor $ \vec{v} = (1, \, 3, \, 2) $ pada dimensi tiga (R$^3$) dengan pangkal pusat koordinat :

Catatan :
Untuk penulisan vektornya terserah teman-teman, apakah dalam bentuk matriks baris atau matriks kolom atau dalam vektor basis.

       Demikian pembahasan materi Pengertian Vektor dan Penulisannya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Panjang Vektor dan Vektor Satuan ".