Panjang Vektor dan Vektor Satuan

         Blog Koma - Setelah mempelajari "materi vektor" yaitu "pengertian vektor dan penulisannya", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan. Seperti yang kita ketahui, vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah, besar vektor secara matematika yang dimaksud adalah panjang vektor itu sendiri. Panjang sebuah vektor adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektornya. Karena secara aljabar, titik pangkal vektor dan titik ujung vektor dalam bentuk koordinat baik dimensi dua maupun dimensi tiga, maka panjang vektor dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Misalkan ada titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $, maka jarak titik A ke titik B dapat dihitung dengan rumus jarak yaitu sama dengan $ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $. Karena panjang vektor bisa dihitung dengan rumus jarak, maka panjang vektor $ \vec{AB} $ akan sama dengan panjang vektor $ \vec{BA} $. Panjang vektor $ \vec{AB} $ dilambangkan dengan $ |\vec{AB}| $. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan, teman-teman harus menguasai materi "pengertian vektor dan penulisannya" terlebih dahulu.

         Bagaimana dengan vektor satuan? Vektor satuan adalah vektor dengan panjang satu satuan. Tentu tidak semua vektor termasuk vektor satuan karena panjang setiap vektor bervariasi. Akan tetapi, setiap vektor yang bukan vektor satuan bisa kita cari vektor satuannya. Misalkan ada vektor $ \vec{a} $ , maka vektor satuan dari vektor $ \vec{a} $ dilambangkan dengan $ e_\vec{a} $. Vektor satuan dari $ \vec{a} $ searah dengan vektor $ \vec{a} $ itu sendiri. Berikut kita rangkum rumus untuk mencari Panjang Vektor dan Vektor Satuan.

Panjang Vektor

*). Panjang vektor dimensi dua
       Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
       Panjang vektor $ \vec{a} = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $
*). Panjang vektor dimensi Tiga
       Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
       Panjang vektor $ \vec{b} = |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $
*). Panjang vektor Diketahui titik pangkal dan ujung
-). Dimensi dua :
       Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2) $ dan $ B(b_1,b_2) $
       Panjang vektor $ \vec{AB} = |\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2} $
       Panjang vektor $ \vec{BA} = |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} $
-). Dimensi tiga :
       Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2,a_3) $ dan $ B(b_1,b_2,b_3) $
       $|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} $
       $ |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2} $
dengan $ |\vec{AB}| = |\vec{BA}| $

Vektor Satuan

*). Vektor satuan dimensi dua
       Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
       Vektor satuan $ \vec{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} (a_1 , \, a_2) $
*). Vektor satuan dimensi Tiga
       Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
       Vektor satuan $ \vec{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $

Contoh soal Panjang Vektor dan Vektor Satuan

1). Tentukan panjang vektor masing-masing berikut ini
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $

Penyelesaian :
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
Panjang vektor $ \vec{a} $ adalah :
$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $

b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
Panjang vektor $ \vec{b} $ adalah :
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} $

c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $
-). Cara kedua :
Kita cari dulu vektor $ \vec{AB} $ yaitu :
$ \vec{AB} = B - A = (-2 - 1 , \, 3 - 2) = (-3 , \, 1 ) $
Panjang vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $

d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{CD} $ adalah :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-(-1))^2 + (1 -3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
-). Cara kedua :
Kita cari dulu vektor $ \vec{CD} $ yaitu :
$ \vec{CD} = D - C = (-2 - 0 , \, 0-(-1), \, 1 - 3) = (-2 , \, 1 , \, -2) $
Panjang vektor $ \vec{CD} $ adalah :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1+4} = \sqrt{9} = 3 $

2). Tentukan vektor satuan dari masing-masing vektor berikut :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
Penyelesaian :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
*). Panjang vektor $ \vec{p} $ :
$ |\vec{p}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{p} $ yaitu :
$ e_\vec{p} = \frac{1}{|\vec{p}|} \, \vec{p} = \frac{1}{\sqrt{10}} (-1, \, 3) = \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}, \, \frac{3}{\sqrt{10}} \right) $

b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
*). Panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{(1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{q} $ yaitu :
$ e_\vec{q} = \frac{1}{|\vec{q}|} \, \vec{q} = \frac{1}{3} (1, \, 2, \, -2 ) = \left( \frac{1}{3}, \, \frac{2}{3}, \, -\frac{2}{3} \right) $

3). Diketahui koordinat titik $ A(3, -1, -2 ) $ dan $ B( 0, -1, 2) $. Tentukan vektor satuan dari vektor $ \vec{BA} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{BA} $ :
$ \vec{BA} = A - B = (3-0, \, -1 - (-1), \, -2 - 2) = (3, \, 0 , \, - 4) $
*). Panjang vektor $ \vec{BA} $ :
$ |\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{BA} $ yaitu :
$ e_\vec{BA} = \frac{1}{|\vec{BA}|} \, \vec{BA} = \frac{1}{5} (3, \, 0 , \, - 4) = \left( \frac{3}{5}, \, 0, \, -\frac{4}{5} \right) $

4). Diketahui koordinat titik $ P(1,2) $ dan $ Q(-2,k) $. Jika panjang vektor $ \vec{PQ} $ adalah 5 satuan, maka tentukan jumlah semua nilai $ k $ yang mungkin!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q - P = (-2 - 1, \, k - 2) = (-3, \, k - 2) $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan $ |\vec{PQ}| = 5 $ :
$ \begin{align} |\vec{PQ}| & = 5 \\ \sqrt{(-3)^2 + (k-2)^2} & = 5 \\ \sqrt{9 + k^2 - 4k + 4 } & = 5 \\ \sqrt{k^2 - 4k + 13 } & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{k^2 - 4k + 13 })^2 & = 5^2 \\ k^2 - 4k + 13 & = 25 \\ k^2 - 4k - 12 & = 0 \\ (k + 2)(k-6) & = 0 \\ k_1 = -2 \vee k_2 & = 6 \end{align} $
Sehingga jumlah semua nilai $ k $ yang mungkin yaitu :
$ k_1 + k_2 = -2 + 6 = 4 $.

5). Jika vektor satuan dari $ \vec{a} = (1, \, -1, \, r) $ adalah $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $, maka tentukan nilai $ ( r - 3)^2 $ !
Penyelesaian :
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + r^2} = \sqrt{1 + 1 + r^2} = \sqrt{2 + r^2} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{a} $ yaitu :
$ e_\vec{a} = \frac{1}{|\vec{a}|} \, \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} (1, \, -1, \, r) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
*). Pada soal juga diketahui vektor satuan dari $ \vec{a} $ adalah $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $,
Sehingga terjadi kesamaan yaitu :
$ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
Yang artinya nilai :
$ \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow r = 2 $
Nilai $ r $ yang memenuhi adalah $ r = 2 $.
*). Menentukan nilai $ ( r - 3)^2 $ :
$ ( r - 3)^2 = ( 2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1 $
Jadi, nilai $ ( r - 3)^2 = 1 . \, \heartsuit $.

6). Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat titik pojoknya masing-masing yaitu $ A(0,0) $ , $ B(3,4) $ , dan $ C(p,0) $. Jika keliling segitiga ABC adalah 16 satuan, maka tentukan nilai $ p^2 - 6p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan keliling segitiga ABC dapat kita hitung dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya yaitu $ |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| $
*). Menentukan panjang masing-masing sisi segitiga ABC :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(3-0)^2 + (4 - 0)^2 } = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
$ |\vec{BC}| = \sqrt{(p-3)^2 + (0-4)^2 } = \sqrt{p^2 - 6p + 9 + 16} = \sqrt{p^2 - 6p + 25} $
$ |\vec{CA}| = \sqrt{(0-p)^2 + (0-0)^2 } = \sqrt{p^2+ 0} = \sqrt{p^2} = p $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan keliling segitiga = 16
$ \begin{align} |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| & = 16 \\ 5 + \sqrt{p^2 - 6p + 25} + p & = 16 \\ \sqrt{p^2 - 6p + 25} & = 11 - p \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{p^2 - 6p + 25})^2 & = (11 - p)^2 \\ p^2 - 6p + 25 & = 121 - 22p + p^2 \\ 22p - 6p & = 121 - 25 \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ p = 6 $.
*). Menentukan nilai $ p^2 - 6p + 1 $ :
$ p^2 - 6p + 1 = 6^2 - 6.6 + 1 = 36 - 36 + 1 = 1 $
Jadi, nilai $ p^2 - 6p + 1 = 1 . \, \heartsuit $.

7). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$. Jika $ |\vec{a}| = 4 $, $\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $, maka tentukan nilai $ | \vec{a} - \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2) $
*). Menyusun beberapa persamaan dari yang diketahui
-). Persamaan pertama : $ |\vec{a}| = 4 $
$ \begin{align} |\vec{a}| & = 4 \\ \sqrt{a_1^2 + a_2^2} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ a_1^2 + a_2^2 & = 16 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ |\vec{b}| = 5 $
$ \begin{align} |\vec{b}| & = 5 \\ \sqrt{b_1^2 + b_2^2} & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ b_1^2 + b_2^2 & = 25 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
-). Persamaan ketiga : $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $
$ \begin{align} |\vec{a}+\vec{b}| & = 7 \\ \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} & = 7 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2 & = 49 \\ a_1^2+b_1^2 + 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 +2a_2b_2 & = 49 \\ (a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 16 + 25 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 41 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 - 41 \\ 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Menentukan nilai panjang $ | \vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} | \vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} \\ & = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} \\ & = \sqrt{a_1^2+b_1^2 - 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 -2a_2b_2 } \\ & = \sqrt{(a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) -( 2a_1b_1 +2a_2b_2) } \\ & = \sqrt{16 + 25 -8 } \\ & = \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{33} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk pengerjaan contoh soal nomor (7) di atas, akan lebih menggunakan konsep perkalian dot (dot product) dua buah vektor yang akan kita bahas pada artikel lain yang berjudul "Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product)".

       Demikian pembahasan materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "vektor posisi dan vektor nol".