Kesamaan Dua Vektor
Pengertian kesamaan dua buah vektor atau lebih dapar kita tinjau dari dua hal yaitu :
$\spadesuit \, $ Secara Geometri
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor memiliki besar (panjangnya) dan arah yang sama. Misalkan vektor $ \vec{AB} $ sama dengan vektor $ \vec{CD} $ atau kita tulis $ \vec{AB} = \vec{CD} $ seperti ilustrasi berikut ini.
$ \clubsuit \, $ Secara Aljabar
Dua buah vektor dikatakan sama jika unsur-unsur yang bersesuaian besarnya sama (nilainya sama).
*). Vektor di R$^2 $
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $ dan $ a_2 = b_2 $
*). Vektor di R$^3$
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $, $ a_2 = b_2 $ dan $ a_3 = b_ 3 $
$\spadesuit \, $ Secara Geometri
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor memiliki besar (panjangnya) dan arah yang sama. Misalkan vektor $ \vec{AB} $ sama dengan vektor $ \vec{CD} $ atau kita tulis $ \vec{AB} = \vec{CD} $ seperti ilustrasi berikut ini.
$ \clubsuit \, $ Secara Aljabar
Dua buah vektor dikatakan sama jika unsur-unsur yang bersesuaian besarnya sama (nilainya sama).
*). Vektor di R$^2 $
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $ dan $ a_2 = b_2 $
*). Vektor di R$^3$
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $, $ a_2 = b_2 $ dan $ a_3 = b_ 3 $
Catatan :
Secara Geometri, dua vektor meskipun tidak berimpit asalkan memiliki arah dan panjang yang sama, maka kita sebut kedua vektor tersebut sama.
Contoh soal Kesamaan Dua Vektor :
1). DIketahui titik $ A(2,-1,1) $ , $ B(1,0,3) $ , $ C(p, 1, 3) $ dan $ D(-1, q, r) $. Jika $ \vec{AB} = \vec{CD} $ , maka tentukan :
a). Koordinat titik C dan D ,
b). Nilai $ p + q + r $
Penyelesaian :
a). Koordinat titik C dan D ,
$ \begin{align} \vec{AB}& = \vec{CD} \\ B - A & = D - C \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ q \\ r \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} p \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 - 2 \\ 0 - (-1) \\ 3 - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor, maka kita peroleh persamaan :
$ -1 = -1 - p \rightarrow p = 0 $
$ 1 = q - 1 \rightarrow q = 2 $
$ 2 = r - 3 \rightarrow r = 5 $
Sehingga koordinat titik C dan D adalah
$ C(p,1,3) = (0,1,3) $ dan $ D(-1,q,r) = (-1,2,5) $.
b). Nilai $ p + q + r $
$ p + q + r = 0 + 2 + 5 = 7 $
Jadi, nilai $ p + q + r = 7 $.
2). Perhatikan gambar jajar genjang berikut ini,
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
b). Koordinat titik S.
Penyelesaian :
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
*). Panjang vektor $ \vec{SR} $ ,
Perhatikan gambar, karena PQRS adalah jajar genjang, maka panjang SR = panjang PQ. Dilain pihak, vektor $ \vec{SR} $ memiliki arah yang sama dengan vektor $ \vec{PQ} $ , sehingga vektor $ \vec{SR} = \vec{PQ} $. Panjang vektor $ \vec{SR} $ sama dengan panjang vektor $ \vec{PQ} $.
$ |\vec{SR} | = |\vec{PQ}| = \sqrt{(3-1)^2+(1-(-2))^2+(-2-0)^2)} $
$ = \sqrt{4 + 9 + 4} =\sqrt{17} $
*). Panjang vektor $ \vec{PS} $ ,
Dengan alasan yang sama seperti vektor $ \vec{SR} $, maka $ \vec{PS} = \vec{QR} $ ,
$ |\vec{PS}| = |\vec{QR}| = \sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2+(1-(-2))^2} $
$ = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $
b). Koordinat titik S.
Pada bagian (a) di atas, kita peroleh $ \vec{SR} = \vec{PQ} $ dan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, sehingga koordinat titik S bisa kita tentukan :
$ \begin{align} \vec{SR} & = \vec{PQ} \\ R - S & = Q - P \\ S & = R - Q + P \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5- 3 + 1 \\ 7 - 1 + (-2) \\ 1 - (-2) + 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, koordinat titik S adalah $ S(3, 4, 3) $.
Kita juga bisa menggunakan kesamaan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, juga memberikan hasil yang sama yaitu koordinat titik S adalah $ S(3, 4, 3) $.
3). Diketahui vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) $. Jika $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka tentukan :
a). Nilai $ m - n $!
b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Penyelesaian :
a). Nilai $ m - n $!
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{v} \\ \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) \end{align} $
terbentuk persamaan :
$ \frac{1}{2}m - 1 = -2 \rightarrow \frac{1}{2}m = -1 \rightarrow m = -2 $
$ -5 = 3 - 2n \rightarrow 2n = 8 \rightarrow n = 4 $.
Sehingga nilai $ m - n = -2 - 4 = -6 $
b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka kita gunakan salah satu saja.
$ \vec{u} = \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) $
c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka panjang kedua vektor juga sama yaitu :
$|\vec{u}| + |\vec{v}| = 2|\vec{u}|=2\sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = 2\sqrt{4 + 25} = 2\sqrt{29} $.
d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka
$ \vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u} = 2 \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -10 \end{matrix} \right) $
Sehingga :
$ \begin{align} | \vec{u} + \vec{v}| & = \sqrt{(-4)^2 + (-10)^2} \\ & = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \\ & = \sqrt{4 \times 29} = 2\sqrt{29} \end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{u} + \vec{v}| = 2\sqrt{29} $.
Vektor-vektor yang sejajar
Dua vektor atau lebih sejajar memiliki kemiringan vektor yang sama yaitu searah atau berlawanan arah antara vektor-vektor
tersebut dimana panjang-panjang vektornya tidak harus sama. Dengan kata lain, jika dua vektor sejajar maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor
yang lainnya. Perhatikan ilustrasi berikut ini.
$ \spadesuit \, $ Definisi dua vektor sejajar
Vektor $ \vec{p} $ sejajar vektor $ \vec{q} $ ditulis $ \vec{p} // \vec{q} $ apabila $ \vec{p} = k\vec{q} \, $ , dengan $ k $ skalar , $ k \in R $. $ k $ kita sebut sebagai pengali atau kelipatan vektor yang lainnya.
Ada beberapa kemungkinan nilai $ k $ :
1). Jika $ k > 0 $ , maka $ \vec{p} $ searah dengan $ \vec{q} $ ,
2). Jika $ k < 0 $ , maka $ \vec{p} $ berlawanan arah dengan $ \vec{q} $ ,
3). Jika $ k = 1 $ , maka $ \vec{p} $ sama dengan $ \vec{q} $ ,
4). Jika $ k = -1 $ , maka panjang kedua vektor sama dan berlawan arah.
$ \spadesuit \, $ Definisi dua vektor sejajar
Vektor $ \vec{p} $ sejajar vektor $ \vec{q} $ ditulis $ \vec{p} // \vec{q} $ apabila $ \vec{p} = k\vec{q} \, $ , dengan $ k $ skalar , $ k \in R $. $ k $ kita sebut sebagai pengali atau kelipatan vektor yang lainnya.
Ada beberapa kemungkinan nilai $ k $ :
1). Jika $ k > 0 $ , maka $ \vec{p} $ searah dengan $ \vec{q} $ ,
2). Jika $ k < 0 $ , maka $ \vec{p} $ berlawanan arah dengan $ \vec{q} $ ,
3). Jika $ k = 1 $ , maka $ \vec{p} $ sama dengan $ \vec{q} $ ,
4). Jika $ k = -1 $ , maka panjang kedua vektor sama dan berlawan arah.
Contoh soal kesamaan dua vektor dan vektor sejajar.
4). Perhatikan gambar-gambar vektor di dimensi tiga berikut
Penyelesaian :
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{p} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{GH} = -\vec{p} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{q} $ adalah
$ \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{q} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{HE} = -\vec{q} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{r} $ tidak ada
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{r} $ adalah
$ \vec{FB} = \vec{GC} = \vec{HD} = -\vec{r} $
5). Diketaui vektor $ \vec{a} = -\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan memiliki panjang yang sama, maka tentukan vektor $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan memiliki panjang yang sama maka berlaku $ \vec{b} = -\vec{a} $. Sehingga :
$ \begin{align} \vec{b} & = -\vec{a} \\ & = -(-\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{k} \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{b} = \vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{k} $.
6). Diketahui $ \vec{m} = 6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k} $ dan $ \vec{n} $ vektor yang sejajar namun berlawanan arah dengan $ \vec{m} $. Jika panjang vektor $ \vec{n} $ adalah 21, maka tentukan vektor $ \vec{n} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{n} $ dan $ \vec{m} $ sejajar, maka berlaku $ \vec{n} = c\vec{m} $ dan nilai $ c < 0 $ untuk syarat berlawanan arah.
*). Menentukan vektor $ \vec{n} $ :
$ \vec{n} = c\vec{m} = c(6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k}) = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan $ |\vec{n}| = 21 $
$ \begin{align} |\vec{n}| & = 21 \\ \sqrt{(6c)^2 + (-2c)^2 + (3c)^2} & = 21 \\ \sqrt{36c^2 + 4c^2 + 9c^2} & = 21 \\ \sqrt{49c^2} & = 21 \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 49c^2 & = 21^2 \\ c^2 & =\frac{21 \times 21}{49} \\ c^2 & = 9 \\ c & = \pm 3 \end{align} $
Karena berlawanan arah, maka $ c < 0 $ , sehingga $ c = -3 $ yang memenuhi.
Sehingga vektor $ \vec{n} $ adalah
$ \vec{n} = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} = -18\vec{i} +6\vec{j} -9\vec{k} $
7). Jika vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) $ sejajar, maka tentukan nilai $ x + y + 9 $ !
Penyelesaian :
*). Karena kedua vektor sejajar, maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya yang dapat kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = k\vec{q} \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -k \\ 2k \\ 3kx \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 4 = 2k \rightarrow k = 2 $
$ x - 1 = -k \rightarrow x - 1 = -2 \rightarrow x = -1 $
$ y - x = 3kx \rightarrow y - (-1) = 3.2.(-1) \rightarrow y + 1 = - 6 \rightarrow y = -7 $
Sehingga nilai :
$ x + y + 9 = -1 + (-7) + 9 = 1 $.
Jadi, nilai $ x + y + 9 = 1 $.
8). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -3 , 1) $ , $ \vec{b} = ( 4, 1, -2) $ , $ \vec{c} = (-6, 9, -3) $ dan $ \vec{d} = (8,2,-1) $. Diantara keempat vektor tersebut, manakah pasangan vektor yang sejajar!
Penyelesaian :
*). Dua buah vektor sejajar memiliki syarat salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya.
*). Pasangan vektor-vektor yang sejajar adalah :
-). vektor $ \vec{a} $ sejajar dengan $ \vec{c} $ karena $ \vec{c} = -3\vec{a} $
-). vektor $ \vec{b} $ sejajar dengan $ \vec{d} $ karena $ \vec{d} = 2\vec{b} $
*). Lalu bagaimana cara mengecek apakah dua vektor itu sejajar atau tidak? Untuk mengecek apakah sejajar atau tidak pada dua buah vektor, maka kita bentuk $ \vec{p} = k\vec{q} $ , lalu kita cari nilai $ k $ dari kesamaan vektor. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh sama semua, maka kedua vektor sejajar. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh tidak sama semua, maka kedua vektor tidak sejajar.
Berikut kita ambil beberapa contoh pengecekan:
-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -6 \\ 9 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6k \\ 9k \\ -3k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = -6k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ -3 = 9k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ 1 = -3k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
Karena semua nilai $ k $ sama yaitu $ k = -\frac{1}{3} $ , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ sejajar, dimana dapat kita tuliskan sebagai kelipatan yaitu :
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \vec{a} & = -\frac{1}{3}\vec{c} \\ -3\vec{a} & = \vec{c} \\ \vec{c} & = -3\vec{a} \end{align} $
-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{b} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4k \\ k \\ -2k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = 4k \rightarrow k = \frac{1}{2} $
$ -3 = k \rightarrow k = -3 $
$ 1 = -2k \rightarrow k = -\frac{1}{2} $
Karena semua nilai $ k $ tidak sama semua , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ tidak sejajar.
9). Diketahui vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2x^2 - 4x - 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 - 6x - 45 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $.
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor searah
c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah
Penyelesaian :
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
Dua vektor sejajar jika vektor yang satu kelipatan dari vektor yang lainnya atau dapat kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
$ \begin{align} \vec{p} & = \left( \begin{matrix} 2x^2 - 4x - 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 - 6x - 45 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} (x^2 - 2x - 15).2 \\ (x^2 - 2x - 15). (-1) \\ (x^2 - 2x - 15).3 \end{matrix} \right) \\ & = (x^2 - 2x - 15) \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{p} & = (x^2 - 2x - 15) \vec{q} \\ \vec{p} & = k \vec{q} \end{align} $
Artinya vektor $ \vec{p} $ kelipatan dari vektor $ \vec{q} $ dengan $ k = x^2 - 2x - 15 $ sehingga vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan vektor $ \vec{q} $.
b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor searah
Sesuai bagian (a), vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan $ \vec{q} $. Agar kedua vektor searah, maka nilai $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan syarat $ k > 0 $ dan menyelesaikan pertidaksamaannya.
$ \begin{align} k & > 0 \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
Garis bilangannya :
Jadi, kedua vektor akan searah jika nilai $ x $ memenuhi $ x < - 3 \, $ atau $ x > 5 $.
c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah
Untuk solusi bagian (c) ini adalah kebalikan dari solusi bagian (b) yaitu syarat berlawanan arah adalah $ k < 0 $.
Jadi, kedua vektor akan berlawanan arah jika nilai $ x $ memenuhi $ -3 < x < 5 $.
Titik-titik yang segaris (Kolinear)
Jika diketahui beberapa titik segaris (lebih dari dua titik), maka dapat kita buat vektor dari masing-masing dua
titik yang segaris (kolinear) juga. Karena vektor-vektor yang terbentuk segaris, maka otomatis semua vektor yang terbentuk adalah sejajar, sehingga langkah
selanjutnya bisa kita terapkan konsep vektor-vektor yang sejajar seperti teori di atas sebelumnya.
Misalkan terdapat titik A, B, dan C segaris, maka bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BA} $ , $ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $ , $ \vec{BC} $ dan $ \vec{CB} $ yang segaris juga (mengakibatkan sejajar) dimana salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Artinya dapat juga kita tulis $ \vec{AB} = k\vec{BC} $ atau $ \vec{AB} = n\vec{AC} $ dan lainnya asalkan vektornya melibatkan lebih dari dua titik.
Misalkan terdapat titik A, B, dan C segaris, maka bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BA} $ , $ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $ , $ \vec{BC} $ dan $ \vec{CB} $ yang segaris juga (mengakibatkan sejajar) dimana salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Artinya dapat juga kita tulis $ \vec{AB} = k\vec{BC} $ atau $ \vec{AB} = n\vec{AC} $ dan lainnya asalkan vektornya melibatkan lebih dari dua titik.
Contoh soal beberapa titik segaris (kolinear) :
10). Diketahui tiga titik yaitu $ A (-3,-8,-3) $ , $ B(1, -2, -1) $ dan $ C(3,1,0) $. Coba selidiki, apakah titik A, B, dan C terletak pada satu garis (segaris/kolinear)?
Pembahasan :
*). Untuk menentukan segaris atau tidak, cukup kita bentuk dua vektor dari titik-titik yang ada dan kita cek apakah salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lain, jika ya maka ketiga titik segaris (dan berlaku sebaliknya).
*). Misal kita bentu vektor :
$ \vec{AB} = B - A = (1 - (-3), -2 - (-8), -1-(-3)) = (4, 6, 2) $
$ \vec{BC} = C - B = ( 3 - 1, 1 - (-2) , 0 - (-1) ) = ( 2, 3, 1 ) $ *). Terlihat bahwa $ \vec{AB} $ kelipatan dari vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \vec{AB} = 2\vec{BC} $.
Artinya dapa kita simpulkan bahwa ketiga titik A, B, dan C segaris (kolinear).
11). Agar titik $ A(2,y,-8) $ , $ B(x, 3y,-2) $ , dan $ C (5, 4y, z ) $ terletak pada satu garis lurus, maka nilai $ x + z = ....$ !
Penyelesaian :
*). Agar ketiga titik segaris(kolinear) , maka dua vektor yang terbentuk dari ketiga titik tersebut harus saling berkelipatan. Misalkan kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ dan vektor $ \vec{BC} $, kita peroleh hubungan :
$ \begin{align} \vec{AB} & = k \vec{BC} \\ B - A & = k (C - B) \\ \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 \\ y \\ -8 \end{matrix} \right) & = k \left[ \left( \begin{matrix} 5 \\ 4y \\ z \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) \right] \\ \left( \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = k \left( \begin{matrix} 5 - x \\ y \\ z + 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} (5 - x)k \\ ky \\ (z + 2)k \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 2y = ky \rightarrow k = 2 $
$ x - 2 = (5 - x)k \rightarrow x - 2 = (5 - x).2 \rightarrow x = 4 $
$ 6 = (z + 2)k \rightarrow 6 = (z + 2). 2 \rightarrow z = 1 $
Sehingga nilai $ x + z = 4 + 1 = 5 $.
Jadi, nilai $ x + z = 5 $.
Demikian pembahasan materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor".
