Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola ini yaitu "persamaan Hiperbola", "persamaan garis lurus", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Berikut penjelasan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola.
Syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola
Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap Hiperbola yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong Hiperbola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung Hiperbola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong Hiperbola.
Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap Hiperbola :
1). Substitusi garis ke Hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap Hiperbola di atas.
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong Hiperbola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung Hiperbola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong Hiperbola.
Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap Hiperbola :
1). Substitusi garis ke Hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap Hiperbola di atas.
Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Hiperbola :
1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} - 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 - 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) - 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 - 16x^2 & = 64 \\ -12x^2 + 8x - 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ -3x^2 + 2x - 15 & = 0 \\ a = -3 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4. (-3). (-15) = 4 - 180 = -176 $
*). Karena nilai $ D = -176 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 2 $ tidak memotong Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $.
2). Tentukan kedudukan garis $ x - y = 0 $ terhadap Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = 0 \rightarrow y = x $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(x+2)^2}{12} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 12)} \\ -4(x-1)^2 + (x+2)^2 & = 12 \\ -4(x^2 - 2x + 1) + x^2+4x + 4 & = 12 \\ -4x^2 + 8x - 4 + x^2 + 4x + 4 & = 12 \\ -3x^2 + 12x - 12 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3)} \\ x^2 - 4x + 4 & = 0 \\ a = 1 , b = -4 , c & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4. 1. 4 = 16 - 16 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ x - y = 0 $ menyinggung Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $.
3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 - 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 - 2x + 1) - 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 - 18x + 9 - 4x^2 - 24x - 36 & = 36 \\ 5x^2 - 42x -63 & = 0 \\ a = 5 , b = -42 , c & = -63 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4. 5. (-63) = 1764 + 1260 = 3024 $
*). Karena nilai $ D = 3024 >0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 4 $ memotong Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $ di dua titik yang berbeda.
4). Jika garis $ x - y = k $ menyinggung kurva Hiperbola $ x^2 - 2y^2 = 8 $ , maka tentukan nilai $ k + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = k \rightarrow x = y + k $
*). Substitusi garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} x^2 - 2y^2 & = 8 \\ (y + k)^2 - 2y^2 & = 8 \\ y^2 + 2ky + k^2 - 2y^2 & = 8 \\ -y^2 + 2ky + k^2 - 8 & = 0 \\ a = -1 , b = 2k , c & = k^2 - 8 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2k)^2 - 4.(-1). ( k^2 - 8) & = 0 \\ 4k^2 + 4k^2 - 32 & = 0 \\ 8k^2 - 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ k^2 - 4 & = 0 \\ k^2 & = 4 \\ k & = \pm 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ k + 1 $ :
$ k = 2 \rightarrow k + 1 = 2 + 1 = 3 $
$ k = -2 \rightarrow k + 1 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ k + 1 $ adalah 3 atau $ -1 $
Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Garis Singgung Hiperbola".
