Perhatikan ilustrasi kurva Hiperbola dan unsur-unsurnya berikut ini.
Unsur-unsur dari kurva Hiperbola di atas yaitu :
*). Titik P(x,y) adalah titik sembarang pada Hiperbola sehingga berlaku |F1P|−|F2P|=2a
*). Titik pusat Hiperbola : M(0,0)
*). Titik fokus Hiperbola : F1(−c,0) dan F2(c,0)
*). Sumbu Simetri :
-). Sumbu utama, yaitu sumbu X.
-). Sumbu sekawan, yaitu sumbu Y.
*). Sumbu nyata, yaitu AB=2a .
*). Sumbu imajiner, yaitu CD=2b .
*). Titik puncak Hiperbola, yaitu titik A(−a.0) dan B(a,0) adalah titik potong Hiperbola dengan sumbu nyata
*). Latus rectum adalah garis melalui titik fokus F1 dan F2 yang tegak lurus dengan sumbu nyata. Pada gambar, garis latus rectumnya adalah garis warna birus. Panjang latus rectum =2b2a.
*). Hubungan a,b , dan c adalah berlaku pythagoras yaitu c2=a2+b2 pada segitiga DMB.
*). Eksentrisitas (e) adalah perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu nyatanya, sehingga dapat kita tulis rumusnya : e=ca.
*). Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu nyata yang ditunjukkan oleh garis g dan gris h. Persamaan direktris masing-masing : garis g adalah x=−a2c dan garis h adalah x=a2c.
*). Adapun persamaan Hiperbola yang sesuai dengan ilustrasi di atas adalah x2a2−y2b2=1.
Sesuai dengan sumbu nyata dan titik pusat, Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat bagian yaitu :
1). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat M(0,0)
2). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat M(0,0)
3). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat M(p,q)
4). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat M(p,q)
Pada penjelasan di atas, persamaan Hiperbola jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.
Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat M(0,0)
♠ Persamaan Hiperbola
Pada gambar 3 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
−x2b2+y2a2=1
♣ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : (0,0)
-). Titik Fokus : F1(0,−c) dan F2(0,c)
-). Titik puncak : titik A(0,−a) dan B(0,a) .
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y.
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X.
-). Panjang sumbu nyata =2a
-). Panjang sumbu imajiner =2b
-). Panjang latus rectum =2b2a
-). Eksentrisitas : e=ca
-). Persamaan direktris : y=−a2c dan y=a2c
Pada gambar 3 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
−x2b2+y2a2=1
♣ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : (0,0)
-). Titik Fokus : F1(0,−c) dan F2(0,c)
-). Titik puncak : titik A(0,−a) dan B(0,a) .
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y.
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X.
-). Panjang sumbu nyata =2a
-). Panjang sumbu imajiner =2b
-). Panjang latus rectum =2b2a
-). Eksentrisitas : e=ca
-). Persamaan direktris : y=−a2c dan y=a2c
Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat M(p,q)
♠ Persamaan Hiperbola
Pada gambar 4 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
(x−p)2a2−(y−q)2b2=1
♣ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : M(p,q)
-). Titik puncak : F1(p−c,q) dan F2(p+c,q)
-). Titik puncak : titik A(p−a,q) dan B(p+a,q).
-). Sumbu Utama adalah sumbu X' (garis y=q).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu Y' (garis x=p).
-). Panjang sumbu nyata =2a
-). Panjang sumbu imajiner =2b
-). Panjang latus rectum =2b2a
-). Eksentrisitas : e=ca
-). Persamaan direktris : x=−a2c+p dan x=a2c+p
Pada gambar 4 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
(x−p)2a2−(y−q)2b2=1
♣ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : M(p,q)
-). Titik puncak : F1(p−c,q) dan F2(p+c,q)
-). Titik puncak : titik A(p−a,q) dan B(p+a,q).
-). Sumbu Utama adalah sumbu X' (garis y=q).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu Y' (garis x=p).
-). Panjang sumbu nyata =2a
-). Panjang sumbu imajiner =2b
-). Panjang latus rectum =2b2a
-). Eksentrisitas : e=ca
-). Persamaan direktris : x=−a2c+p dan x=a2c+p
Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat M(p,q)
♠ Persamaan Hiperbola
Pada gambar 5 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
−(x−p)2b2+(y−q)2a2=1
♣ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : M(p,q)
-). Titik puncak : F1(p,q−c) dan F2(p,q+c)
-). Titik puncak : titik A(p,q−a) dan B(p,q+a).
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y' (garis x=p).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X' (garis y=q).
-). Panjang sumbu nyata =2a
-). Panjang sumbu imajiner =2b
-). Panjang latus rectum =2b2a
-). Eksentrisitas : e=ca
-). Persamaan direktris : y=−a2c+q dan y=a2c+q
Pada gambar 5 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
−(x−p)2b2+(y−q)2a2=1
♣ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : M(p,q)
-). Titik puncak : F1(p,q−c) dan F2(p,q+c)
-). Titik puncak : titik A(p,q−a) dan B(p,q+a).
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y' (garis x=p).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X' (garis y=q).
-). Panjang sumbu nyata =2a
-). Panjang sumbu imajiner =2b
-). Panjang latus rectum =2b2a
-). Eksentrisitas : e=ca
-). Persamaan direktris : y=−a2c+q dan y=a2c+q
Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal yaitu pertama : diketahui persamaan Hiperbolanya dan kita diminta menentukan unsur-unsur Hiperbolanya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur Hiperbolanya dan kita diminta menentukan persamaan Hiperbolanya.
♠ Trik mudah menentukan unsur-unsur pada Hiperbola yang diketahui persamaan Hiperbolanya
Trik (I) : nilai a2 adalah nilai yang ada dibawah bagian positif, sehingga sisanya adalah nilai b2.
Trik (II) : Letak nilai a2 menentukan sumbu nyatanya. Jika a ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbolanya x2a2−y2b2=1 atau (x−p)2a2−(y−q)2b2=1. Jika a ada di bawah sumbu Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbolanya −x2b2+y2a2=1 atau −(x−p)2b2+(y−q)2a2=1.
Trik (III) : Nilai c kita tentukan dari c2=a2+b2.
Triks (IV) : Untuk menentukan titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik pusat M(p,q) searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah bagian x saja yaitu kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah bagian y saja yaitu ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya yaitu a atau c. Nilai c selalu menggeser ke titik fokus, nilai a menggeser ke titik puncak.
Trik (V) : titik fokus dan titik puncak selalu ada di sumbu nyata.
Contoh Soal Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya :
1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). x29−y216=1
b). −9x2+4y2=36
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : x29−y216=1
*). Menentukan nilai a,b dan c :
-). Karena bagian x yang positif, maka a2 ada di bawah x.
a2=9→a=3
b2=16→b=4
c2=a2+b2→c2=9+16→c2=25→c=5.
*). Karena a ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai x2a2−y2b2=1.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata =2a=2.3=6
-). Panjang sumbu imajiner =2b=2.4=8
-). Panjang latus rectum =2b2a=2.423=323
-). Eksentrisitas : e=ca=53
-). Persamaan direktris :
x=−a2c=−95 atau x=a2c=95
sehingga persamaan direktrisnya x=−95 atau x=95
-). Titik pusat : M(p,q)=(0,0)
-). Titik fokus pada sumbu X (sumbu nyata), x nya berubah dengan c=5:
F1(0−5,0)=(−5,0)
F2(0+5,0)=(5,0)
-). Titik Puncak pada sumbu X (sumbu nyata), x nya berubah dengan a=3:
A(0−3,0)=(−3,0)
B(0+3,0)=(3,0)
b). Persamaan Hiperbolanya : −9x2+4y2=36
*). Mengubah persamaannya :
−9x2+4y2=36(bagi 36)−9x236+4y236=3636−x24+y29=1
*). Menentukan nilai a,b dan c :
-). Karena bagian y yang positif, maka a2 ada di bawah y.
a2=9→a=3
b2=4→b=2
c2=a2+b2→c2=9+4→c2=13→c=√13.
*). Karena a ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai −x2a2+y2b2=1.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata =2a=2.3=6
-). Panjang sumbu imajiner =2b=2.2=4
-). Panjang latus rectum =2b2a=2.223=83
-). Eksentrisitas : e=ca=√133
-). Persamaan direktris :
x=−a2c=−9√13 atau x=a2c=9√13
sehingga persamaan direktrisnya x=−9√13 atau x=9√13
-). Titik pusat : M(p,q)=(0,0)
-). Titik fokus pada sumbu Y (sumbu nyata), y nya berubah dengan c=√13:
F1(0,0−√13)=(0,−√13)
F2(0,0+√13)=(0,√13)
-). Titik Puncak pada sumbu Y (sumbu nyata), y nya berubah dengan a=3:
A(0,0−3)=(0,−3)
B(0,0+3)=(0,3)
2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). (x+1)236−(y−2)264=1
b). −(x−1)225+(y−3)2144=1
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : frac(x+1)236−(y−2)264=1
*). Menentukan nilai a,b,c,p dan q :
-). Karena bagian x yang positif, maka a2 ada di bawah x.
a2=36→a=6
b2=64→b=8
c2=a2+b2→c2=36+64→c2=100→c=10.
x−p=x+1→p=−1
y−q=y−2→q=2
*). Karena a ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai (x−p)2a2−(y−b)2b2=1.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata =2a=2.6=12
-). Panjang sumbu imajiner =2b=2.8=16
-). Panjang latus rectum =2b2a=2.826=646=323
-). Eksentrisitas : e=ca=106=53
-). Persamaan direktris :
x=−a2c+p=−6210+(−1)=−235
atau x=a2c+p=6210+(−1)=85
sehingga persamaan direktrisnya x=−235 atau x=85
-). Titik pusat : M(p,q)=(−1,2)
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu nyata), x nya berubah dengan c=10:
F1(−1−10,2)=(−11,2)
F2(−1+10,2)=(9,2)
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu nyata), x nya berubah dengan a=6:
A(−1−6,2)=(−7,2)
B(−1+6,2)=(5,2)
b). Persamaan Hiperbolanya : −(x−1)225+(y−3)2144=1
*). Menentukan nilai a,b,c,p dan q :
-). Karena bagian y yang positif, maka a2 ada di bawah y.
a2=144→a=12
b2=25→b=5
c2=a2+b2→c2=144+25→c2=169→c=13.
x−p=x−1→p=1
y−q=y−3→q=3
*). Karena a ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai −(x−p)2b2+(y−q)2a2=1.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata =2a=2.12=24
-). Panjang sumbu imajiner =2b=2.5=10
-). Panjang latus rectum =2b2a=2.5212=256
-). Eksentrisitas : e=ca=1312
-). Persamaan direktris :
y=−a2c+q=−12213+3=−10513
atau y=a2c+q=12213+3=18313
sehingga persamaan direktrisnya x=−10513 atau x=18313
-). Titik pusat : M(p,q)=(1,3)
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu nyata), y nya berubah dengan c=13:
F1(1,3−13)=(1,−10)
F2(1,3+13)=(1,16)
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu nyata), y nya berubah dengan a=12:
A(1,3−12)=(1,−9)
B(1,3+12)=(1,15)
3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola 9x2−16y2+36x−32y−122=0 !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan Hiperbolanya dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna"
9x2−16y2+36x−32y−122=09x2+36x−16y2−32y=1229(x2+4x)−16(y2+2y)=1229[(x+42)2−(42)2]−16[(y+22)2−(22)2]=1229[(x+2)2−4]−16[(y+1)2−1]=1229(x+2)2−36−16(y−1)2+16=1229(x+2)2−16(y−1)2=122+36−169(x+2)2−16(y−1)2=144(bagi 144)9(x+2)2144−16(y−1)2144=144144(x+2)216−(y−1)29=1
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh (2) di atas bagian (a).
♣ Trik mudah menentukan persamaan Hiperbola yang diketahui unsur-unsurnya
Berikut ada beberapa trik mudah sehingga kita tidak perlu mengingat semua rumus persamaan Hiperbolanya jika diketahui unsur-unsur Hiperbolanya.
i). Diketahui titik fokus, perhatikan bagian x atau y kah yang berubah. Jika yang berubah x nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola (x−p)2a2−(y−q)2b2=1. Jika yang berubah y nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola −(x−p)2b2+(y−q)2a2=1.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus =2c
Jarak dua titik puncak = 2a
iii). gunakan juga teorema pythagoras : c2=a2+b2
iv). Untuk menentukan titik pusat M(p,q) , kita menggunakan konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik (x1,y1) dan titik (x2,y2) adalah (x1+x22,y1+y22) . Titik pusat selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.
Contoh soal diketahui unsur-unsur Hiperbola :
4). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu nyata 2.
b). Titik fokus (−1,−3) dan (−1,5) serta panjang sumbu imajiner 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah x nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola (x−p)2a2−(y−q)2b2=1.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
(p,q)=(2+62,3+32)=(4,3)
*). Menentukan nilai a dan b :
-). Panjang sumbu nyata = 2 ,
2a=2→a=1
-). Jarak dua fokus = 6−2=4
2c=4→c=2
-). c2=a2+b2→4=b2+1→b2=3.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
(x−p)2a2−(y−q)2b2=1(x−4)21−(y−3)23=1
Jadi, persamaan Hiperbolanya (x−4)21−(y−3)23=1.
b). Titik fokus (−1,−3) dan (−1,5), yang berubah y nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola −(x−p)2b2+(y−q)2a2=1.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
(p,q)=(−1+(−1)2,−3+52)=(−1,1)
*). Menentukan nilai a dan b :
-). Panjang sumbu imajiner = 4 ,
2b=4→b=2
-). Jarak dua fokus = 5−(−3)=8
2c=8→c=4
-). c2=a2+b2→16=a2+4→a2=12.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
−(x−p)2b2+(y−q)2a2=1−(x−(−1))24+(y−1)212=1−(x+1)24+(y−1)212=1
Jadi, persamaan Hiperbolanya −(x+1)24+(y−1)212=1.
5). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya (−4,1) dan (6,1) serta titik puncaknya (−2,1) dan (4,1)!
Penyelesaian :
*). Titik fokus (−4,1) dan (6,1), yang berubah x nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola (x−p)2a2−(y−q)2b2=1.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
(p,q)=(−4+62,1+12)=(1,1)
*). Menentukan nilai a dan b :
-). Jarak dua fokus = 6−(−4)=10
2c=10→c=5
-). Titik puncak (−2,1) dan (4,1).
Jarak dua titik puncak = 4−(−2)=6
2a=6→a=3
-). c2=a2+b2→25=9+b2→b2=16.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
(x−p)2a2−(y−q)2b2=1(x−1)29−(y−1)216=1
Jadi, persamaan Hiperbolanya (x−1)29−(y−1)216=1.
6). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya (1,1) dan (1,5) serta titik puncaknya (1,2) dan (1,4)!
Penyelesaian :
*). Titik fokus (1,1) dan (1,5), yang berubah y nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola −(x−p)2b2+(y−q)2a2=1.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
(p,q)=(1+12,1+52)=(1,3)
*). Menentukan nilai a dan b :
-). Jarak dua fokus = 5−1=4
2c=4→c=2
-). Titik puncak (1,2) dan (1,4).
Jarak dua titik puncak = 4−2=2
2a=2→a=1
-). c2=a2+b2→4=1+b2→b2=3.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
−(x−p)2b2+(y−q)2a2=1−(x−1)23+(y−3)21=1
Jadi, persamaan Hiperbolanya −(x−1)23+(y−3)21=1.
7). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik fokus (1,2) dan (1,6) serta nilai eksentrisitasnya 2 !
Penyelesaian :
*). Titik fokus (1,2) dan (1,6), yang berubah y nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola −(x−p)2b2+(y−q)2a2=1.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
(p,q)=(1+12,2+62)=(1,4)
*). Menentukan nilai a dan b :
-). Jarak dua fokus = 6−2=4
2c=4→c=2
-). Eksentrisitas :
e=2→ca=2→2a=2→a=1
-). c2=a2+b2→4=1+b2→b2=3.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
−(x−p)2b2+(y−q)2a2=1−(x−1)23+(y−4)21=1
Jadi, persamaan Hiperbolanya −(x−1)23+(y−4)2=1.
8). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik puncak (−4,3) dan (2,3) serta salah satu persamaan direktrisnya adalah x=−145 !
Penyelesaian :
*). Titik puncak (−4,3) dan (2,3), yang berubah x nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola (x−p)2a2−(y−q)2b2=1.
*). Titik pusat diantara dua titik Puncak :
(p,q)=(−4+22,3+32)=(−1,3)
*). Menentukan nilai a dan b :
-). Jarak dua puncak = 2−(−4)=6
2a=6→a=3
-). Persamaan direktrisnya x=−145 ada di sebelah kiri titik puncak, sehingga persamaan direktrisnya x=−a2c+p :
−a2c+p=−145→−32c+(−1)=−95−1→−9c=−95→c=5
-). c2=a2+b2→25=9+b2→b2=16.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
(x−p)2a2−(y−q)2b2=1(x−(−1))29−(y−3)216=1(x+1)29−(y−3)216=1
Jadi, persamaan Hiperbolanya (x+1)29−(y−3)216=1.
Demikian pembahasan materi Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "kedudukan titik dan garis terhadap Hiperbola".