Untuk mempermudah mempelajari materi Persamaan Garis Singgung Elips ini, kita sebaiknya menguasai beberapa materi dasar yaitu "persamaan elips", "kedudukan titik terhadap elips", "kedudukan garis terhadap elips", "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus", dan "Hubungan Dua Garis Lurus".
Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Pertama
Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Elips yaitu garis singgung elips melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana
titik tersebut ada pada elips. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung elipsnya :
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} + \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} + \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $
Catatan :
-). Dalam PGSE Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada elips (dilalui oleh elips) atau tidak. Silahkan baca artikel lengkapnya di "Kedudukan Titik Terhadap elips".
-). Trik Mudah mengingat rumus persamaan garis singgung elips yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Persamaan garis singgung elips yang diketahui titik singgungnya, kita gunakan yang namanya CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yaitu jika ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi perkalian, dan jika ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut penjabaran CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung elips :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-p)^2 \, $ menjadi $ (x-p)(x_1-p) $
$ (y-q)^2 \, $ menjadi $ (y-q)(y_1-q) $
Untuk lebih mudah dalam memahaminya, mari kita pelajari contoh berikut ini.
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE Pertama) :
1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $(2,1)$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (2,1)$ pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{2^2}{6} + \frac{1^2}{3} & ... 1 \\ \frac{4}{6} + \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{3}{3} & ... 1 \\ 1 & ... 1 \\ 1 & = 1 \\ \end{align} $
Karena hasilnya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 1 dan ruas kanan = 1), maka titik $ (2,1)$ ada pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ sehingga untuk menentukan PGSE-nya bisa menggunakan CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{x.x_1}{6} + \frac{y.y_1}{3} & = 1 \\ \frac{x.2}{6} + \frac{y.1}{3} & = 1 \\ \frac{x }{3} + \frac{y}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x + y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x + y = 3 $.
Catatan :
-). Untuk contoh soal berikutnya yang terkait dengan PGSE Pertama ini, titik yang dilalui oleh elips selalu ada pada elips sehingga kita tidak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun jika teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan untuk mencobanya secara mandiri.
2). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1 $ di titik $(0,-2)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (0,-2) $
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)(x_1+1)}{5} + \frac{(y-2)(y_1-2)}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)(0+1)}{5} + \frac{(y-2)(-2-2)}{20} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{(y-2)(-4)}{20} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{-(y-2) }{5} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{-y + 2}{5} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ x+1 + (-y + 2) & = 5 \\ x- y & = 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x - y = 2 $.
3). Tentukan Persamaan Garis singgung di titik yang berabsis 2 pada elips $ 3x^2 + 2y^2 = 66$!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi absis yaitu $ x = 2 $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} 3x^2 + 2y^2 & = 66 \\ 3.2^2 + 2y^2 & = 66 \\ 12 + 2y^2 & = 66 \\ 2y^2 & = 54 \\ y^2 & = 27 \\ y & = \pm \sqrt{27} \\ y & = \pm 3\sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2, \pm 3 \sqrt{3} ) $
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2, \pm 3 \sqrt{3} ) $
$ \begin{align} 3x^2 + 2y^2 & = 66 \\ 3x.x_1 + 2y.y_1 & = 66 \\ 3x.2 + 2y.(\pm 3\sqrt{3}) & = 66 \\ 6x \pm 6\sqrt{3}y & = 66 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ x \pm \sqrt{3}y & = 11 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x + \sqrt{3}y = 11 $ atau $ x - \sqrt{3}y = 11 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x \pm \sqrt{3}y = 11 $.
4). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ 4x^2 + 3y^2 - 16x + 6y + 7 = 0 $ di titik $(2,1)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} 4x^2 + 3y^2 - 16x + 6y + 7 & = 0 \\ 4x.x_1 + 3y.y_1 - 16.\frac{x+x_1}{2} + 6.\frac{y+y_1}{2} + 7 & = 0 \\ 4x.2 + 3y.1 - 8(x+2) + 3(y+1) + 7 & = 0 \\ 8x + 3y - 8x - 16 + 3y+3 + 7 & = 0 \\ 6y - 6 & = 0 \\ 6y & = 6 \\ y & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 1 $.
Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Kedua
Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Elips yaitu garis singgung elips yang diketahui gradiennya ($m$).
Berikut bentuk persamaan garis singgung elipsnya :
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ adalah $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar memiliki gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka perkalian gradien kedua garis sama dengan $ - 1 $.
-). Trik mudah mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari letak $ a $, apakah ada di bawah $ x $ atau di bawah $ y $, yaitu :
1). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
2). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang terbesar.
-). Jika titik pusat elipsnya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $ .
Contoh Soal Persamaan garis singgung elips (PGSE Kedua) :
5). Tentukan persamaan garis singgung elips pada :
a). elips $ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
b). elips $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). elips $ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 8 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{8.2^2 + 3} \\ y & = 2x \pm \sqrt{8.4 + 3} \\ y & = 2x \pm \sqrt{35} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = 2x \pm \sqrt{35} $.
b). elips $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 5 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} \\ y & = -1.x \pm \sqrt{5 + 4.(-1)^2} \\ y & = -x \pm \sqrt{5 + 4.1} \\ y & = -x \pm \sqrt{9} \\ y & = -x \pm 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = -x \pm 3 $.
6). Tentukan persamaan garis singgung elips $ \frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ \sqrt{5} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 9 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ (y-q) = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = \sqrt{5} \rightarrow m^2 = 5 $ :
$ \begin{align} (y-q) & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \\ (y-3) & = \sqrt{5}(x+2) \pm \sqrt{9.5 + 4} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm \sqrt{49} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm 7 \\ y & = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 7 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 7 $.
7). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y+5)^2}{5} $ yang sejajar dengan garis $ x + 2y = -12 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ x + 2y = -12 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yaitu $ m = -\frac{1}{2} $.
Silahkan baca artikel : "Hubungan dua garis lurus".
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 16 $ dan $ b^2 = 5 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -\frac{1}{2} \rightarrow m^2 = \frac{1}{4} $ :
$ \begin{align} y-q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2 } \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{16. \frac{1}{4} + 5} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{4 + 5} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm 3 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y+10 & = - (x-4) \pm 6 \\ 2y+10 & = - x+ 4 \pm 6 \\ 2y & = - x+ 4 - 10 \pm 6 \\ x + 2y & = -6 \pm 6 \end{align} $
pertama : $ x + 2y = -6 + 6 \rightarrow x + 2y = 0 $
pertama : $ x + 2y = -6 - 6 \rightarrow x + 2y = -12 $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya $ x + 2y = 0 $ atau $ x + 2y = -12 $.
8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{6} = 1 $ yang tegak lurus dengan garis $ -x - 2y = 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x - 2y = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-2} = - \frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow - \frac{1}{2} . m_2 = - 1 \rightarrow m_2 = 2 $.
Artinya gradien garis singgungnya adalah $ m = 2 $.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{6 + 3.4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{18} \\ y & = 2x \pm 3\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = 2x \pm 3\sqrt{2} $.
9). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ 4x^2 + 3y^2 + 16x - 12y + 16 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x- 3y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan contoh soal (9) ini, pertama kita ubah dulu bentuk $ 4x^2 + 3y^2 + 16x - 12y + 16 = 0 $ menjadi persamaan elips standar dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh soal nomor (8) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.
Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Ketiga
Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung ELips yaitu garis singgung elips yang melalui titik
$ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar kurva elips.
-). Untuk bentuk PGSE Ketiga ini akan kita lanjutkan pada artikel yang lainnya karena penjelasannya cukup panjang. SIlahkan baca PGSE jenis ketiga ini pada artikel "Garis Singgung ELips titik diluar".
Demikian pembahasan materi Persamaan Garis Singgung Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".
