Untuk mempermudah mempelajari materi Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva ini, kita harus memahami terlebih dahulu materi "persamaan elips", "persamaan garis lurus", "kedudukan garis terhadap elips", "kedudukan titik terhadap elips", dan "persamaan garis singgung elips" tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya karena kita akan menggunakan cara-cara tersebut juga dalam menentukan persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.
Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
Persamaan Garis singgung elips ketiga ini adalah garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini
berada di luar kurva elips, sehingga akan terbentuk dua garis singgung seperti tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara menentukan
Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva, sebagai berikut :
Cara Pertama Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung elips : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan elips, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung elipsnya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan elips, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung elipsnya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Cara Kedua Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSE Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSE kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang terbesar.
-). Jika titik pusat elipsnya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $ .
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.
Langkah-langkah cara kedua (PGSE kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang terbesar.
-). Jika titik pusat elipsnya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $ .
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.
Cara Ketiga Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSE Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSE Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan elips yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan elips, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan elips.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.
Langkah-langkah cara ketiga (PGSE Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan elips yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan elips, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan elips.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.
Contoh Soal Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva :
Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $ (2,2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (2,2) $ terhadap elipsnya :
$ \begin{align} (x,y)=(2,2) \rightarrow \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(2 - 1)^2}{6} + \frac{2^2}{3} & ... 1 \\ \frac{1}{6} + \frac{4}{3} & ... 1 \\ \frac{1}{6} + \frac{8}{6} & ... 1 \\ \frac{9}{6} & ... 1 \\ \frac{9}{6} & > 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (2,2) $ ada di luar elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ .
Silahkan baca : "Kedudukan titik terhadap elips"
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar elips, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :
CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (2,2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 2 & = m.2 + c \\ c & = 2 - 2m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 2-2m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx + 2 - 2m $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{(mx + 2 - 2m)^2}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (x - 1)^2 + 2(mx + 2 - 2m)^2 & = 6 \\ (x^2 - 2x + 1) + 2(m^2x^2 + 4(1 - m)mx + (2-2m)^2) & = 6 \\ x^2 - 2x + 1 + 2m^2x^2 + 8(1 - m)mx + 2(2-2m)^2 & = 6 \\ (1 + 2m^2)x^2 + [8(1 - m)m - 2]x + [2(2-2m)^2 - 5] & = 0 \\ a = 1 + 2m^2, b = 8(1 - m)m - 2, c & = 2(2-2m)^2 - 5 \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [8(1 - m)m - 2]^2 - 4.(1 + 2m^2).[2(2-2m)^2 - 5] & = 0 \end{align} $
Ternyata pada langkah (3) ini sangat sulit bagi kita untuk menentukan nilai $ m $ nya, hal ini terjadi karena persamaan elips kedua variabelnya yaitu $ x $ dan $ y $ berbentuk kuadrat sehingga ketika kita substitusi persamaan garis singgunggnya maka setelah kita kuadratkan menghasikan bentuk yang agak rumit. Namun bukan berarti tidak bisa dikerjakan, silahkan coba teman-teman lanjutkan pengerjaan langkah (3) untuk mencari nilai $ m $, setelah itu lanjutkan ke langkah (4). Sebagai bantuan, nilai $ m $ nya adalah $ m = -1 $ dan $ m = \frac{1}{5} $.
SARAN : Untuk garis singgung elips titik diluar kurva, sebaiknya jangan menggunakan cara pertama ini karena sulit dalam penghitungan mencari nilai $ m $.
CARA KEDUA : Menggunakan PGSE Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan digunakan :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $
-). Dari persamaan elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $
$ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $.
INGAT : nilai $ a^2 $ adalah nilai yang terbesar.
*). Karena $ a $ ada di bawah $ x $, maka
PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
Karena ada titik pusat $ (p,q) $ , maka
PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
-). Substitusi $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $ ke garisnya :
$ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \rightarrow y = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (2,2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ 2 & = m(2-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ 2 & = m \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ \pm \sqrt{6m^2 + 3} & = m - 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 6m^2 + 3 & = m^2 - 4m + 4 \\ 5m^2 + 4m - 1 & = 0 \\ (m+1)(5m-1) & = 0 \\ m = -1 \vee m & = \frac{1}{5} \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = -1 $ atau $ m = \frac{1}{5} $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = -1 \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ y & = -1(x-1) \pm \sqrt{6.(-1)^2 + 3} \\ y & = -x+1 \pm \sqrt{9} \\ y & = -x+1 \pm 3 \\ y & = -x+1 + 3 \vee y = -x + 1 - 3 \\ y & = -x+4 \vee y = -x -2 \\ m = \frac{1}{5} \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{6.(\frac{1}{5})^2 + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{6}{25} + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{81}{25} } \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \frac{9}{5} \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y & = x-1 \pm 9 \\ 5y & = x-1 + 9 \vee 5y = x - 1 - 9\\ 5y & = x + 8 \vee 5y = x - 10 \end{align} $
Dari keempat garis singgung yang kita peroleh di atas, hanya dua saja yang memenuhi jawaban yaitu garis singgung yang melalui titik $(2,2)$. Garis singgung tersebut adalah $ y = -x + 4 $ dan $ 5y = x + 8 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = -x + 4 $ dan $ 5y = x + 8 $.
CARA KETIGA : Menggunakan PGSE Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(x - 1)(x_1 - 1)}{6} + \frac{y.y_1}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (2,2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x - 1)(2 - 1) + 2y.2 & = 6 \\ (x - 1) + 4y & = 6 \\ x & = -4y + 7 \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ x = -4y + 7 $ dengan elips $ \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan cara substitusi garis ke elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(-4y + 7 - 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(-4y + 6)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (-4y + 6)^2 + 2y^2 & = 6 \\ 16y^2 - 48y + 36 + 2y^2 & = 6 \\ 18y^2 - 48y + 30 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 3y^2 - 8y + 5 & = 0 \\ (3y-5)(y-1) & = 0 \\ y = 1 \vee y & = \frac{5}{3} \end{align} $
Untuk $ y = 1 \rightarrow x = -4y + 7 = -4.1 + 7 = 3 $
Untuk $ y = \frac{5}{3} \rightarrow x = -4y + 7 = -4.\frac{5}{3} + 7 = \frac{1}{3} $
Titik singgungnya adalah $ (3,1 ) $ dan $ \left( \frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (3,1) \rightarrow \\ (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x - 1)(3 - 1) + 2y.1 & = 6 \\ (x - 1).2 + 2y & = 6 \\ 2x - 2 + 2y & = 6 \\ 2y & = - 2x + 8 \\ y & = - x + 4 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = \left( \frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right) \rightarrow \\ (x - 1)(x_1 - 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x - 1)( \frac{1}{3} - 1) + 2y. \frac{5}{3} & = 6 \\ (x - 1). \frac{-2}{3} + \frac{10}{3}y & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ (x - 1). (-2) + 10y & = 18 \\ -2x + 2 + 10y & = 18 \\ 10y & = 2x + 16 \\ 5y & = x + 8 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = -x + 4 $ atau $ 5y = x + 8 $.
Berikut ilustrasi kurva dan garis singgung untuk contoh soal nomor 1.
Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y - 1)^2}{20} = 1 $ di titik $ (-3,4) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (-3,4) $ terhadap elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y - 1)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(-3+1)^2}{5} + \frac{(4 - 1)^2}{20} & ... 1 \\ \frac{4}{5} + \frac{9}{20} & ... 1 \\ \frac{16}{20} + \frac{9}{20} & ... 1 \\ \frac{25}{20} & ... 1 \\ \frac{25}{20} & > 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (-3,4) $ ada di luar elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y - 1)^2}{20} = 1 $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar elips, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Untuk langkah berikutnya silahkan teman-teman coba sendiri ya sebagai bahan latihan. Semoga sukses dan bisa mengerjakannya.
Demikian pembahasan materi Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".
