Cara Menemukan Persamaan Elips

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "parabola" yang merupakan bagian dari "irisan kerucut", pada artikel ini kita lanjutkan lagi pembahasan untuk bentuk irisan kerucut yang kedua yaitu Elips. Hal pertama yang akan kita bahas berkaitan dengan materi Elips adalah Cara Menemukan Persamaan Elips. Setelah itu baru kita akan membahas persamaan elips dan unsur-unsurnya yang dilengkapi dengan contoh soal-soal. Seperti yang kita ketahui, kurva elips bisa kita peroleh dengan mengiriskan sebuah bangun datar dengan bangun ruang berbentuk kerucut sehingga irisannya berbentuk elips. Elips dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana jumlah jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) dan himpunan semua titik P membentuk kurva elips. Lalu bagaimana cara menemukan persamaan elipsnya? Untuk menemukan persamaan elips, kita akan menggunakan konsep jarak antara dua titik. Silahkan teman-teman baca pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis ".

         Untuk memudahkan Cara Menemukan Persamaan Elips, kita akan konstrusi dulu bentuk kurva elipsnya dan titik yang diketahui sehingga kita bisa menghitung jarak-jarak yang terkait dalam penghitungan untuk menemukan persamaan elips.

$ \clubsuit \, $ Cara menemukan persamaan Elips dengan titik Pusat $ M(0,0) $ :

$\heartsuit \, $ Kurva Elips dengan sumbu mayor (sumbu terpanjang) di sumbu X :
       Misalkan titik fokusnya adalah $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat empat titik puncak yaitu $ A(-a,0) $ , $ B(a,0) $ , $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $ serta titik pusat elips adalah $ M(0,0) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva elips. Jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ adalah tetap yaitu sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya dapat kita tuliskan $ |F_1P| + |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMF_2 $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras yaitu :
$ a^2 = b^2 + c^2 $ atau $ a^2 - c^2 = b^2 $.

Perhitungan Cara menemukan rumus elipsnya :
$ \begin{align} |F_1P| + |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x - (-c))^2 + ( y -0)^2 } + \sqrt{(x - c)^2 + ( y -0)^2 } & = 2a \\ \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } + \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } & = 2a \\ 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } & = \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \\ \left(2a - \sqrt{(x -c)^2 +y^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \right)^2 \\ 4a^2 - 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + ((x -c)^2 + y^2) & = (x + c)^2 + y^2 \\ 4a^2 - 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + x^2 - 2cx + c^2 + y^2 & = x^2 + 2cx + c^2 + y^2 \\ 4a^2 - 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } - 2cx & = 2cx \\ 4a^2 - 4cx & = 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } \\ a^2 - cx & = a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } \\ a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = a^2 - cx \\ \left(a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 }\right)^2 & = \left(a^2 - cx \right)^2 \\ a^2((x -c)^2 + y^2 ) & = a^4 - 2ca^2x + c^2x^2 \\ a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2 ) & = a^4 - 2ca^2x + c^2x^2 \\ a^2x^2 - 2ca^2x + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 - 2ca^2x + c^2x^2 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 - c^2x^2 + a^2y^2 & = a^4 - c^2a^2 \\ (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 (a^2- c^2) \\ b^2x^2 + a^2y^2 & = a^2 b^2 \\ \frac{b^2x^2}{a^2 b^2 } + \frac{a^2y^2}{a^2 b^2 } & = \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 } \\ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan elipsnya adalah $ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } = 1 $.

       Persamaan ELips dengan titik pusat di $ M(0,0) $ dan sumbu mayor (sumbu terpanjang) sejajar sumbu X adalah $ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } = 1 $

$\heartsuit \, $ Kurva Elips dengan sumbu mayor (sumbu terpanjang) di sumbu Y :
       Misalkan titik fokusnya adalah $ F_1(0, -c) $ dan $ F_2(0, c) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat empat titik puncak yaitu $ A(0,-a) $ , $ B(0,a) $ , $ C(-b,0) $ dan $ D(b,0) $ serta titik pusat elips adalah $ M(0,0) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva elips. Jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ adalah tetap yaitu sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya dapat kita tuliskan $ |F_1P| + |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMF_2 $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras yaitu :
$ a^2 = b^2 + c^2 $ atau $ a^2 - c^2 = b^2 $.

Perhitungan Cara menemukan rumus elipsnya :
$ \begin{align} |F_1P| + |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x - 0)^2 + ( y -(-c))^2 } + \sqrt{(x - 0)^2 + ( y -c)^2 } & = 2a \\ \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 2a \\ 2a - \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \\ \left(2a - \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \right)^2 \\ 4a^2 - 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + (x^2 + (y-c)^2) & = x^2 + (y+c)^2 \\ 4a^2 - 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + x^2 +y^2 - 2cy + c^2 & = x^2 + y^2 + 2cy + c^2 \\ 4a^2 - 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + - 2cy & = 2cy \\ 4a^2 - 4cy & = 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \\ a^2 - cy & = a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \\ a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = a^2 - cy \\ \left( a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( a^2 - cy \right)^2 \\ a^2(x^2 + (y-c)^2 ) & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2(x^2 + y^2 - 2cy + c^2 ) & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 - 2ca^2y + a^2c^2 & = a^4 - 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 + a^2c^2 & = a^4 + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 - c^2y^2 & = a^4 - a^2c^2 \\ a^2x^2 + (a^2 - c^2)y^2 & = a^2(a^2 - c^2) \\ a^2x^2 + b^2y^2 & = a^2b^2 \\ \frac{a^2x^2}{a^2b^2 } + \frac{ b^2y^2}{a^2b^2 } & = \frac{a^2b^2}{a^2b^2 } \\ \frac{ x^2}{ b^2 } + \frac{ y^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan elipsnya adalah $ \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $.

       Persamaan ELips dengan titik pusat di $ M(0,0) $ dan sumbu mayor (sumbu terpanjang) sejajar sumbu Y adalah $ \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $

$ \spadesuit \, $ Cara menemukan persamaan Elips dengan titik Pusat $ M(p,q) $ :
       Cara Menemukan Persamaan Elips dengan Titik Puncak $M(p,q) $ yaitu dengan cara menggeser persamaan elips yang titik puncaknya $ M(0,0) $ ke titik puncak $ M(p,q) $. Untuk memudahkan, kita gunakan konsep translasi (pergeseran). Silahkan baca materi translasi pada artikel "Translasi pada Transformasi Geometri".

Sesuai dengan konsep translasi, menggeser sejauh $ p $ satuan searah sumbu X dan sejauh $ q $ satuan searah sumbu Y, matriks translasinya dapat ditulis $ T = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
*). Hubungan titik awal dan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p + x \\ q + y \end{matrix} \right) \\ x^\prime & = p + x \rightarrow x = x^\prime - p \\ y^\prime & = q + y \rightarrow y = y^\prime - q \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva elips dengan titik puncak $ M(p,q) $ dan sumbu mayor sejajar sumbu X .

Persamaan awal kurva elipsnya : $ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } = 1 $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \\ \frac{ (x^\prime - p)^2}{a^2 } + \frac{(y^\prime - q)^2}{b^2 } & = 1 \\ \text{ atau dapat } & \text{ ditulis} \\ \frac{ (x-p)^2}{a^2 } + \frac{(y-q)^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva elips dengan titik puncak $ M(p,q) $ dan sumbu mayor sejajar sumbu Y .

Persamaan awal kurva elipsnya : $ \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } & = 1 \\ \frac{ (x^\prime - p)^2}{b^2 } + \frac{(y^\prime - q)^2}{a^2 } & = 1 \\ \text{ atau dapat } & \text{ ditulis} \\ \frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $

Persamaan ELips dengan titik pusat di $ M(p,q) $

*). Sumbu Mayor sejajar sumbu X :
$ \, \, \, \, \, \, \, \frac{ (x-p)^2}{a^2 } + \frac{(y-q)^2}{b^2 } = 1 $
*). Sumbu Mayor sejajar sumbu Y :
$ \, \, \, \, \, \, \, \frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } = 1 $

       Demikian pembahasan materi Cara Menemukan Persamaan Elips beserta ilustrasi gambar kurva elipsnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut". Untuk memperdalam mempelajari materi elips, silahkan baca pada artikel "persamaan elips dan unsur-unsurnya".