Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "Penyelesaian Persamaan Trigonometri ", "limit fungsi trigonometri", dan "limit tak hingga fungsi trigonometri". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.
Asimtot Tegak Fungsi Trigonometri
Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita
cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) .
Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi Trigonometri bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi Trigonometri bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Asimtot Mendatar Fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$.
Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki
asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.
Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.
Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri :
1). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan x $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \cos x = \cos \theta $ adalah
$ x = \pm \theta + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ , dengan penyebut $ \cos x $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} \cos x & = 0 \\ \cos x & = \cos \frac{\pi}{2} \\ x & = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi \end{align} $
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat, karena $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi } \, \tan x = \pm \infty $.
Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot tegak fungsi trigonometri, kita harus benar-benar menguasai materi persamaan trigonometri yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".
2). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \sin x = \sin \theta $ adalah
$ x = \theta + k.2\pi \, $ dan $ x = (\pi - \theta ) + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $, dengan penyebut $ 2\sin x + 1 $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} 2\sin x + 1 & = 0 \\ 2\sin x & = -1 \\ \sin x & = - \frac{1}{2} \\ \sin x & = \sin \frac{7\pi}{6} \end{align} $
Solusinya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ atau
$ x = (\pi - \frac{7\pi}{6} ) + k.2\pi = -\frac{1}{6}\pi + k.2\pi = (2k - \frac{1}{6})\pi $ .
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ dan $ x = (2k - \frac{1}{6})\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat.
3). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = x . \tan \frac{1}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sehingga $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.
4). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = \frac{5}{2} $.
5). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 6 $.
Catatan :
Untuk mempermudah dalam menentukan persamaan asimtot mendatar suatu bentuk fungsi trigonometri, teman-teman harus menguasai materi limit tak hingga fungsi trigonometri yang bisa dibaca pada artikel "limit tak hingga fungsi trigonometri".
Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar".
