Dalam menghitung Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan, kita melibatkan rumus luas segitiga yang melibatkan sudut yaitu lebih tepatnya luas segitiga menggunakan sinus dan untuk menghitung kelilingnya kita menggunakan konsep aturan kosinus. Silahkan teman-teman baca materinya pada artikel : "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga". Untuk lebih memudahkan, teman-teman sebaiknya juga mempelajari nilai perbandingan fungsi trigonometri pada sudut-sudut istimewa pada artikel "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".
Penghitungan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan
$\spadesuit $ Luas bangun datar segi-n beraturan :
*). Luas segitiga menggunaan sinus.
Perhatikan segitga PRQ pada segienam di atas (sebagai contoh saja), luasnya adalah :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.r.r .\sin \theta = \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $.
*). Luas bangun datar segi-n beraturan :
Luas segi-n $ = n \times \, $ luas segitiga
Luas segi-n $ = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $
$\clubsuit $ Keliling bangun datar segi-n beraturan :
*). Aturan kosinus menentukan pajang sisi segin-n ($x$).
Berdasarkan aturan kosinus pada segitiga PRQ, panjang $ x $ adalah
$ x^2 = r^2 + r^2 - 2.r.r.\cos \theta $
$ x = \sqrt{2r^2 - 2r^2 \cos \frac{360^\circ}{n}} $
$ x = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $
*). Keliling bangun datar segi-n beraturan
Keliling $ = n \times x = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $.
*). Luas segitiga menggunaan sinus.
Perhatikan segitga PRQ pada segienam di atas (sebagai contoh saja), luasnya adalah :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.r.r .\sin \theta = \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $.
*). Luas bangun datar segi-n beraturan :
Luas segi-n $ = n \times \, $ luas segitiga
Luas segi-n $ = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $
$\clubsuit $ Keliling bangun datar segi-n beraturan :
*). Aturan kosinus menentukan pajang sisi segin-n ($x$).
Berdasarkan aturan kosinus pada segitiga PRQ, panjang $ x $ adalah
$ x^2 = r^2 + r^2 - 2.r.r.\cos \theta $
$ x = \sqrt{2r^2 - 2r^2 \cos \frac{360^\circ}{n}} $
$ x = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $
*). Keliling bangun datar segi-n beraturan
Keliling $ = n \times x = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $.
$\theta =\, $ sudut pusat $ = \frac{360^\circ}{n} $.
Contoh soal Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan :
1). Pada segienam beraturan dengan jari-jari 10 cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.
Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui $ r = 10 $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.10^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 300 \sin 60^\circ \\ & = 300 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 150 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut adalah $ 150\sqrt(3) \, cm^2 . \, \heartsuit $.
b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.10\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 60\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 60\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 60\sqrt{2-1 } \\ & = 60\sqrt{1} \\ & = 60 \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut adalah $ 60 \, cm . \, \heartsuit $.
2). Sebuah bangun datar segi-8 beraturan memiliki keliling $ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm. Tentukan
a). Panjang sisi dan jari-jarinya,
b). Tentukan luas segidelapan tersebut.
Penyelesaian :
a). Panjang sisi $(x)$ dan jari-jari $(r)$ :
*). Panjang sisi,
$ \begin{align} \text{Keliling segidelapan } & = 8x \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8x \\ x & = \frac{32\sqrt{2-\sqrt{2}} }{8} = 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{align} $
Sehingga panjang sisinya adalah $ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm.
*). Jari-jari $(r)$ :
$ \begin{align} \text{Keliling Segidelapan } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{8}} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2\cos 45^\circ} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-\sqrt{2}} \\ r & = 8 \end{align} $
Sehingga panjang jari-jarinya $ r = 4 $.
b). Luas segidelapan beraturan :
$ \begin{align} \text{Luas Segidelapan } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{8}{2}.4^2 \sin \frac{360^\circ}{8} \\ & = 64 \sin 45^\circ \\ & = 64 . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 32 \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, luas segidelapan tersebut adalah $ 32\sqrt(2) \, cm^2 . \, \heartsuit $.
3). Luas bangun datar segi-12 beraturan adalah 27 cm$^2$. Tentukan :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
b). Keliling segi-12 tersebut.
Penyelesaian :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
*). Panjang jari-jari :
$ \begin{align} \text{Luas Segi-12 } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ 27& = \frac{12}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{12} \\ 27& =6r^2 \sin 30^\circ \\ 27& = 6r^2 . \frac{1}{2} \\ 27& = 3r^2 \\ r & = 3 \end{align} $
Sehingga $ r = 3 \, $ cm.
*). Panjang sisi $(x) $ segi-12 :
$ \begin{align} x & = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{12}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos 30^\circ} \\ & = 3\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} \end{align} $
Sehingga panjang sisi $ x = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} $
b). Keliling segi-12 tersebut.
Keliling $ = n.x = 12 . 3\sqrt{2-\sqrt{3}} = 36\sqrt{2-\sqrt{3}} $
Jadi, keliling segi-12 adalah $ 36\sqrt{2-\sqrt{3}} \, cm. \, \heartsuit $.
4). Sebuah bangun datar segienam beraturan memeiliki jari-jari $ r \, $ cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.
Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui jari-jari $ = r $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 3r^2 \sin 60^\circ \\ & = 3r^2 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut adalah $ \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \, cm^2 . \, \heartsuit $.
b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 6r\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 6r\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 6r\sqrt{2-1 } \\ & = 6r\sqrt{1} \\ & = 6r \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut adalah $ 6r \, cm . \, \heartsuit $.
Demikian pembahasan materi Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luasan.
