Bentuk tak hingga ($\infty$) jika sebagai sudut suatu fungsi trigonometri maka tidak bisa kita tentukan nilainya, misalkan $ \sin \infty, \cos \infty, \tan \infty $ tidak bisa kita tentukan nilainya karena nilai $ \sin x $ berkisar $ -1 \leq \sin x \leq 1 $, begitu juga nilai $ \cos x $ berkisar $ -1 \leq \cos x \leq 1 $ , dan untuk $ \tan x $ berkisar $ -\infty \leq \tan x \leq \infty $, tentu dengan $ x $ yang sudah pasti. Nah untuk memudahkan, maka bentuk yang diguankan adalah $ \frac{1}{\infty} = 0 $ sehingga nilai fungsi trigonometrinya bisa kita hitung yaitu $ \sin \frac{1}{\infty} = 0 , \cos \frac{1}{\infty} = 1, \tan \frac{1}{\infty} = 0 $ . Dan bentuk ini cocok dengan limit fungsi trigonometri yang akan kita bahas dalam artikel Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri.
Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri ini ternyata soalnya dikeluarkan pada SBMPTN 2017 matematika IPA atau matematika saintek satu soal disetiap kodenya. Nah, berlatar belakang dari inilah saya membahas artikel ini secara lebih khusus agar bisa membantu teman-teman yang ingin mempelajarinya atau siapa tahu tahun-tahun berikutnya akan keluar lagi di soal seleksi masuk PTN lainnya. Dalam pembahasan Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri, kita harus menguasai sifat-sifat limit fungsi trigonometri, rumus-rumus dasar trigonometri, dan limit tak hingga bentuk aljabar.
Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Rumus-rumus dasar Trigonometri
$\spadesuit $ Beberapa rumus yang digunakan dalam limit fungsi trigonometri :
i). $ 1 - \cos px = 2\sin \frac{1}{2} px . \sin \frac{1}{2} px $
ii). $ \cos A - \cos B = -2\sin \frac{1}{2}(A+B) .\sin \frac{1}{2}(A-B) $
iii). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
i). $ 1 - \cos px = 2\sin \frac{1}{2} px . \sin \frac{1}{2} px $
ii). $ \cos A - \cos B = -2\sin \frac{1}{2}(A+B) .\sin \frac{1}{2}(A-B) $
iii). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
Limit tak hingga fungsi aljabar
$\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
Contoh Soal Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri :
1). Tentukan hasil limit berikut ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} $
b). $ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \frac{1}{y} \cot \frac{1}{y} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \csc \frac{1}{x} }{x} $
Penyelesaian :
a). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sehingga $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $
b). Misalkan $ \frac{1}{y} = x $ , dan $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $ .
Untuk $ y $ mendekati $ \infty $ maka $ x $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \frac{1}{y} \cot \frac{1}{y} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, x \cot x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, x . \frac{1}{\tan x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{x}{\tan x} \\ & = 1 \end{align} $
c). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \csc \frac{1}{x} }{x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x} . \csc \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \csc y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \frac{1}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\sin y} \\ & = 1 \end{align} $
2). Tentukan hasil limit tak kingga fungsi trigonometri berikut ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot 3x^{-1} . \sin x^{-1} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $
Penyelesaian :
a). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $
b). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \cot y = \frac{1}{\tan y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot 3x^{-1} . \sin x^{-1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot \frac{3}{x} . \sin \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \cot 3y . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\tan 3y} . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y}{\tan 3y} \\ & = \frac{1}{3} \end{align} $
c). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $
3). Tentukan hasil limit tak kingga fungsi trigonometri $ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} $?
Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{\sqrt{y}} = x $ , sehingga $ \sqrt{y} = \frac{1}{x} $ .
Untuk $ y $ mendekati $ \infty $ maka $ x $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6}.\sqrt{y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6}.\frac{1}{x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6}. \cos 3x . \frac{\sin 5x}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6} \cos 3x . \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 5x}{x} \\ & = \sqrt{6} . \cos 0 . 5 \\ & = \sqrt{6}. 1 . 5 = 5\sqrt{6} \end{align} $
4). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1 - \cos \frac{4}{x}}{ \frac{1}{x} . \tan \frac{3}{x}} = .... ? $
Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $.
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
Bentuk $ 1 - \cos 4y = 2\sin 2y. \sin 2y $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1 - \cos \frac{4}{x}}{ \frac{1}{x} . \tan \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos 4y}{ y . \tan 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin 2y. \sin 2y}{ y . \tan 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin 2y}{ y } . \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \sin 2y}{\tan 3y} \\ & = 2.2 .\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \end{align} $
5). Tentukan hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2x \cot \frac{2}{x} - 3 \cot \frac{2}{x}}{5x^2 - 2x} $
Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ dan $ \cot y = \frac{1}{\tan y} $
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2x \cot \frac{2}{x} - 3 \cot \frac{2}{x}}{5x^2 - 2x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x - 3) \cot \frac{2}{x}}{x(5x - 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x - 3) }{5x - 2} . \frac{1}{x} . \cot \frac{2}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x - 3) }{5x - 2} . \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x} . \cot \frac{2}{x} \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \cot 2y \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \frac{1}{\tan 2y} \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\tan 2y} \\ & = \frac{2}{5}. \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \end{align} $
6). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\cos \frac{4}{x}+ \cos \frac{2}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{4}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{2}{x}}{\sin ^2 \frac{1}{x} - \cos \frac{2}{x} + 1}= ...?$
Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, maka $ \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{y} $
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Mengubah bentuk soalnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\cos \frac{4}{x}+ \cos \frac{2}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{4}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{2}{x}}{\sin ^2 \frac{1}{x} - \cos \frac{2}{x} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} - \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} - \cos2y}{\sin ^2 y - \cos 2y + 1} \end{align} $
*). Mengubah bentuk pembilang dan penyebutnya :
-). Pembilangnya, Rumus $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}(A+B).\sin \frac{1}{2}(A-B) $
$ \begin{align} & \cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} - \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} - \cos2y \\ & = \cos 4y - \cos 4y. \sin 3\sqrt{y} - \cos 2y + \cos 2y . \sin 3\sqrt{y} \\ & = \cos 4y ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) - \cos 2y ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = (\cos 4y - \cos 2y) ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = (-2 \sin \frac{1}{2}(4y+2y). \sin \frac{1}{2}(4y-2y)) ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = -2 \sin 3y. \sin y. ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \end{align} $
-). Penyebutnya, Rumus $ 1 - \cos px = 2 \sin \frac{1}{2} px . \sin \frac{1}{2} px $
$ \begin{align} \sin ^2 y - \cos 2y + 1 & = \sin ^2 y + (1 - \cos 2y) \\ & = \sin ^2 y + 2\sin y . \sin y \\ & = 3\sin y . \sin y \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} - \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} - \cos2y}{\sin ^2 y - \cos 2y + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2 \sin 3y. \sin y. ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) }{3\sin y . \sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2 \sin 3y. ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) }{3\sin y } \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y}{\sin y} . \frac{-2}{3}( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y}{\sin y} . \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2}{3}( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}( 1 - \sin 0 ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}( 1 - 0 ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}.( 1 ) = -2 \end{align} $
Berikut kami sajikan 4 soal limit tak hingga fungsi trigonometri yang keluar pada soal SBMPTN 2017 matematika IPA dari 4 kode berbeda:
Nomor 11 , Soal SBMPTN 2017 Kode 165
$ \displaystyle \lim_{y \to \infty } y . \sin \frac{3}{y}.
\cos \frac{5}{y} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 11, Soal SBMPTN 2017 Kode 166
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }
\frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $
Nomor 11, Soal SBMPTN 2017 Kode 167
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }
\, x\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{5} $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{5} $
Nomor 11, Soal SBMPTN 2017 Kode 168
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }
\, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Demikian pembahasan materi Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri dan contohnya. Silahkan baca juga materi Limit lainnya.
