Sebagai gambaran bentuk dari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar, perhatikan grafik dibawah ini dari fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $. Persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ dan persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $. Untuk titik-titik jauh tak terhingga (ujung-ujung grafik lengkung) semakin mendekati asimtotnya.
Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "grafik persamaan garis lurus", "limit fungsi aljabar", dan "limit tak hingga". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.
Asimtot Tegak Fungsi Aljabar
Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita
cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) . Untuk fungsi aljabar, kondisi ini
(memiliki asimtot tegak) jika fungsinya berbentuk pecahan.
Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi aljabar bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi aljabar bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Asimtot Mendatar Fungsi Aljabar
Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$.
Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki
asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.
i). Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.
ii). Karena penghitungannya menggunakan limit $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ x $ mendekati $ -\infty $ maka ada tiga kemungkinan hasilnya untuk fungsi berbentuk pecahan yaitu :
a). pangkat pembilang dan penyebut tertingginya sama, maka ada asimtot mendatarnya,
b). pangkat pembilang lebih kecil dari pangkat penyebutnya, maka ada asimtot mendatarnya yaitu $ y = 0 $,
c). pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebutnya, maka ada tidak ada asimtot mendatarnya, akan tetapi kemungkinan besar memiliki asimtot miring.
Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar :
1). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $ jika ada!
Penyelesaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x - 2 $ yang memiliki akar $ x = 2 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x+1}{x-2} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.
Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot mendatarnya, kita harus benar-benar menguasai materi limt tak hingga yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian limit tak hingga".
2). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 5 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 5 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 5 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ +\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ -\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 0 $.
3). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 + 2x = x(x+2) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 0 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 0 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 3 $.
4). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ (x-1) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $
Sehingga fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $ tidak memiliki asimtot mendatar.
5). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} $!
Penyelsaian :
*). Coba kita sederhanakan dulu fungsinya :
$ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} = \frac{(x+1)(x-3)}{x+1} = x - 3 $.
Ternyata fungsinya berbentuk $ f(x) = x - 3 $ yang artinya bukan berbentuk pecahan, sehingga tidak memiliki persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar.
6). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = -1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.
7). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $ tidak memiliki asimtot tegak $ x = a $ karena tidak ada yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } \, \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Kita ubah dulu menjadi bentuk pecahan dengan merasionalkan :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} \times \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} }{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \\ f(x) & = \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \end{align} $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{-4}{2.2} = -1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{4}{2.2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.
Soal-soal untuk menentukan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ternyata dikeluarkan pada SBMPTN 2017 (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) untuk matematika IPA atau saintek. Berikut saya kami sajikan 4 Soal SBMPTN 2017 berkaitan materi asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi aljabar, silahkan teman-teman mencobanya. Jika kesulitan, maka teman-teman bisa ikuti link pembahasan disetiap soalnya.
Nomor 12, SBMTPN 2017 Kode 165
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan
$ a > 0 $ dan $ b < 0 $. Jika grafik fngsi $ f $ mempunyai satu
asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $ y = -3 $ ,
maka $ a + 2b $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 166
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai
dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $
Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 167
Di antara pilihan berikut, kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $ memotong
asimtot datarnya di titik $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 168
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ ,
$ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri".
