Bagaimana cara mengerjakan soal Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $? Ternyata pengerjaan pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ menggunakan konsep "rotasi pada transformasi geometri". Ini artinya, pengerjaannya sama saja dengan Rotasi. Sehingga dalam Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ kita membutuhkan matriksnya dan titik pusat serta besar sudutnya ($\theta$). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini, pencerminan titik A($x,y$) terhadap garis $ y = mx + c $ dengan sudut $ \theta $ dan pusat rotasi $ (0,c) $ menghasilkan bayangan titik $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$ :
Untuk memudahkan mempelajari materi Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ ini, sebaiknya teman-teman menguasai beberapa teori tentang trigonometri seperti "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku", "nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa", dan "sudut rangkap pada trigonometri". Selain itu teman-teman juga harus menguasai materi "operasi hitung pada matriks" dan "determinan dan sifat invers".
Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $
Perhatikan gambar pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ di atas. Titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis
$ y = mx + c $ pengerjaannya sama dengan rotasi yaitu :
pusatnya : $(a,b) = (0,c) $
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = m \, $ dan $ m $ adalah gradien garis $ y = mx + c $
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $ .
*). Cara pengerjaannya menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right)$
pusatnya : $(a,b) = (0,c) $
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = m \, $ dan $ m $ adalah gradien garis $ y = mx + c $
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $ .
*). Cara pengerjaannya menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right)$
*). Jika nilai $ c = 0 $ atau pencerminan terhadap garis $ y = m x $, maka cara mencari bayangannya yaitu :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Untuk pembuktian matriks transformasinya, silahkan baca pada artikel : "Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$"
Contoh soal pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ :
1). Tentukan bayangan titik A(1,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = x + 2 $?
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya $ \theta $ :
$ y = x + 2 $ , kita peroleh $ m = 1 $ dan $ c = 2 $.
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 1 \rightarrow \theta = 45^\circ $.
*). Menentukan bayangan titik A(1,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2 .45^\circ & \sin 2. 45^\circ \\ \sin 2. 45^\circ & - \cos 2. 45^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & - \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 + 0 \\ 1 + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (3,3). \, \heartsuit $.
2). Tentukan bayangan titik P(-1,2) jika dicerminkan terhadap garis $ y = \sqrt{3}x - 3 $?
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya $ \theta $ :
$ y = \sqrt{3}x - 3 $ , kita peroleh $ m = \sqrt{3} $ dan $ c = -3 $.
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = \sqrt{3} \rightarrow \theta = 60^\circ $.
*). Menentukan bayangan titik P(-1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2 .60^\circ & \sin 2. 60^\circ \\ \sin 2. 60^\circ & - \cos 2. 60^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 - (-3) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 120^\circ & \sin 120^\circ \\ \sin 120^\circ & - \cos 120^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}) \\ \frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime \left( \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}),\frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) - 3 \right). \, \heartsuit $.
3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $?
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya $ \theta $ :
$ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $.
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \rightarrow \frac{depan}{samping} = \frac{2}{1} $.
Karena $ \tan \theta = 2 $ tidak menghasilkan sudut istimewa, kita buatkan segitiga siku-sikunya :
gambar 2.
Sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $.
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align} \cos 2\theta & = 2\cos ^2 \theta - 1 \\ & = 2 ( \frac{1}{\sqrt{5}})^2 - 1 \\ & = 2 ( \frac{1}{5}) - 1 \\ & = \frac{2}{5} - 1 \\ & = - \frac{3}{5} \\ \sin 2 \theta & = 2\sin \theta \cos \theta \\ & = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{4}{5} \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik B(5,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.
4). Tentukan bayangan persamaan $ 2x + 3y = 1 $ jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x - 1 $?
Penyelesaian :
*). bentuk $ y = 2x - 1 \rightarrow m = 2 \, $ dan $ c = -1 $.
*). Adapun nilai $ \sin 2\theta $ dan $ \cos 2\theta $ sama dengan contoh soal nomor (3) di atas, yaitu :
$ \cos 2\theta = - \frac{3}{5} \, $ dan $ \sin \frac{4}{5} $.
*). Menentukan invers matriksnya :
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $.
Determinan matriks M :
$ det(M) = |M| = -\frac{3}{5} . \frac{3}{5} - \frac{4}{5} . \frac{4}{5} = -\frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - 1 $
Invers matriksnya :
$ \begin{align} M^{-1} & = \frac{1}{|M|} . adj(M) \\ & = \frac{1}{-1} . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\ & = -1 . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
Sifat Invers : $ AX = C \rightarrow X = A^{-1}.C $.
*). Menentukan Hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) & = M. \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) & = M^{-1}. \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y - (-1) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - (-1) \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} (y^\prime + 1) \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}(y^\prime + 1) \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x = -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} $
$ y + 1 = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime - \frac{2}{5} $
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x + 3y & = 1 \\ 2\left( -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \right) + 3\left(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime - \frac{2}{5} \right) & = 1 \\ -\frac{6}{5}x^\prime + \frac{8}{5} y^\prime + \frac{8}{5} + \frac{12}{5}x^\prime + \frac{9}{5}y^\prime - \frac{6}{5} & = 1 \\ \frac{6}{5}x^\prime + \frac{17}{5} y^\prime + \frac{2}{5} & = 1 \\ 6x^\prime + 17 y^\prime + 2 & = 5 \\ 6x^\prime + 17 y^\prime & = 3 \end{align} $
sehingga bayangannya :
$ 6x^\prime + 17 y^\prime = 3 \, $ atau $ 6x + 17 y = 3 $
Jadi, persamaan bay;angannya adalah $ 6x + 17 y = 3 . \, \heartsuit $
Catatan Pertama :
*). Jika teman-teman sulit menggunakan bentuk trigonometrinya, maka untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ kita bisa langsung menggunakan bentuk berikut :
jika diketahui gradiennya $ m $ , maka $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $.
*). Silahkan teman-teman coba kembali mengerjakan soal-soal di atas dengan langsung menggunakan bentuk pada catatan ini.
Misalkan kita kerjakan kembali contoh soal nomor 3 di atas :
Pengerjaan ulang contoh (3).
Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $?
Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui :
$ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $.
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align} \cos 2\theta & = \frac{1-m^2}{1+m^2} = \frac{1-2^2}{1+2^2} = \frac{-3}{5} \\ \sin 2 \theta & = \frac{2m}{1 + m^2} = \frac{2.2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} \end{align} $
*). Langkah berikutnya sama dengan pengerjaan di atas.
*). Menentukan bayangan titik B(5,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.
Catatan Kedua :
*). Dari rumus umum transformasi geometri dan bentuk catatan pertama (substitusikan bentuk $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $ ke rumus umum transformasi geometrinya), maka dapat kita peroleh hasil akhir bayangannya yaitu :
$ \begin{align} x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\ y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x - \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c \end{align} $
*). Coba kita aplikasikan lagi ke contoh nomor (3) di atas :
Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $?
Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui :
$ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $.
dan titik awal B yaitu $ (x,y)= (5,5) $.
*). Menentukan bayangan titik B(5,5) :
$ \begin{align} x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\ & = \frac{1-2^2}{1+2^2} \times 5 + \frac{2.2}{1 + 2^2}\times (5-5) \\ & = \frac{-3}{5} \times 5 + \frac{4}{5}\times 0 \\ & = -3 + 0 = -3 \\ y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x - \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c \\ & = \frac{2.2}{1+2^2} \times 5 - \frac{1-2^2}{1 + 2^2}\times (5-5) + 5 \\ & = 4 + 0 + 5 = 9 \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.
Demikian pembahasan materi Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan transformasi geometri.
