Pada artikel Komposisi Transformasi dengan Matriks ini pertama-tama akan kita sajikan matriks transformasi masing-masing, setelah itu baru kita akan bahas syarat-syarat apa saja yang diperlukan agar dua jenis transformasi bisa kita kalikan langsung tanpa harus mengerjakan satu-satu. Tentu untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Transformasi dengan Matriks, teman-teman harus menguasai jenis-jenis transformasi yang ada seperti dilatasi, translasi, rotasi, dan refleksi atau pencerminan.
Matriks Transformasi
Berikut kami daftarkan matriks transformasi masing-masing untuk memudahkan dalam pengerjaan soal-soal yang
berkaitan dengan Komposisi Transformasi dengan Matriks:
i). Dilatasi dengan faktor skala $ k $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $
ii). Translasi :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
iii). Rotasi dengan besar sudut $ \theta $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
iv). Refleksi atau pencerminan terhadap :
Sumbu X, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Sumbu Y, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
garis $ y = -x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Pusat koordinat, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = mx + c$, Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $
i). Dilatasi dengan faktor skala $ k $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $
ii). Translasi :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
iii). Rotasi dengan besar sudut $ \theta $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
iv). Refleksi atau pencerminan terhadap :
Sumbu X, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Sumbu Y, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
garis $ y = -x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Pusat koordinat, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = mx + c$, Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $
Syarat Matriks Transformasi bisa langsung dikalikan
Berikut adalah syarat agar dua atau lebih matriks transformasi bisa dikalikan agar kita mengerjakannya tidak satu-satu,
syarat-syaratnya yaitu :
1). Matriks transformasinya harus berordo $ 2 \times 2 $,
2). Jika memiliki pusat (titik acuan seperti dilatasi dan transformasi), maka titik pusatnya harus sama,
3). Jika pada transformasi tidak disebutkan titik pusatnya seperti refleksi, maka titik pusatnya dianggap (0,0) dan matriks transformasinya bisa langsung dikalikan dengan matriks transformasi yang titik pusatnya (0,0) juga atau yang tidak disebutkan titik pusatnya.
Catatan :
Ketiga syarat di atas harus terpenuhi untuk bisa langsung mengalikan dua jenis matriks transformasi atau lebih.
1). Matriks transformasinya harus berordo $ 2 \times 2 $,
2). Jika memiliki pusat (titik acuan seperti dilatasi dan transformasi), maka titik pusatnya harus sama,
3). Jika pada transformasi tidak disebutkan titik pusatnya seperti refleksi, maka titik pusatnya dianggap (0,0) dan matriks transformasinya bisa langsung dikalikan dengan matriks transformasi yang titik pusatnya (0,0) juga atau yang tidak disebutkan titik pusatnya.
Catatan :
Ketiga syarat di atas harus terpenuhi untuk bisa langsung mengalikan dua jenis matriks transformasi atau lebih.
Penulisan Komposisi Transformasi dengan Matriks
Misalkan suatu benda atau bangun dilakukan komposisi transformasi. Pertama ditransformasi $T_1$ yang bersesuaian dengan
matriks $ M_1$, dilanjutkan lagi dengan transformasi $ T_2$ yang bersesuaian dengan matriks $M_2$, dan dilanjutkan lagi dengan transformasi $T_3$ yang
bersesuaian dengan matriks $M_3$. Penulisan komposisinya yaitu :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 . M_2 . M_1 $
(penulisannya dibalik sesuai urutan pengerjaannya).
$\spadesuit $ Menentukan bayangannya :
bayangan $ = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \, $ awal
*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 . M_2 . M_1 $
(penulisannya dibalik sesuai urutan pengerjaannya).
$\spadesuit $ Menentukan bayangannya :
bayangan $ = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \, $ awal
*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Contoh Soal Komposisi Transformasi dengan Matriks :
1). Tentukan bayangan titik A(1,3) jika didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat (-1,4), setelah itu dilanjutkan lagi dengan rotasi sejauh $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik acuan (-1,4)?
Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dan titik pusat masing-masing :
$T_1$ : Dilatasi faktor skala 2, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$T_2$ : Rotasi sebesar $ 90^\circ $ , $ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
silahkan baca juga artikel :
Dilatasi pada transformasi geometri dan rotasi pada transformasi geometri.
*). Karena kedua matriksnya berordo $ 2 \times 2 $ dan titik pusatnya sama, maka pengerjaannya langsung bisa kita kalikan kedua matriksnya tanpa harus melakukan transformasi satu-satu.
*). Menentukan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - (-1) \\ 3 - 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right) \end{align} $
silahkan baca : operasi hitung pada matriks.
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,8) . \, \heartsuit $.
Cara II untuk contoh soal nomor (1) :
*). Coba kita kerjakan dengan cara transformasi satu-satu, apakah hasilnya sama dengan dara di atas.
*). Pertama titik A(1,3) didilatasi faktor skala 2, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - (-1) \\ 3 - 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh bayangan pertama : $ A^\prime (3,2) $.
*). Kedua titik $ A^\prime (3,2) $ dirotasi sebesar $ 90^\circ $ , $ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 - (-1) \\ 2 - 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan akhir yaitu $ A^{\prime \prime } (1,8) $ yang tentu hasilnya sama dengan cara di atas sebelumnya.
2). Persamaan garis $ 3x - 2y = 1 $ dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian dilanjutkan dengan rotasi sejauh $ 180^\circ $ searah jarum jam, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi dengan faktor skala $ - 3$. Tentukan bayangan dari persamaan garis tersebut!
Penyelesaian :
*). Matriks pencerminan terhadap sumbu X, rotasi, dan dilatasi pasti berordo $ 2 \times 2 $. Pada soal juga tidak disebutkan titik pusat transformasinya, sehingga titik pusatnya dianggap sama yaitu $(0,0)$. Ini artinya ketiga matriks transformasinya bisa dikalikan secara langsung tanpa harus mengerjakan satu-satu.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
$ T_1 $ : Pencerminan terhadap sumbu X, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ T_2 $ : rotasi sejauh $ 180^\circ $ searah jarum jam,
$ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos (-180^\circ ) & - \sin (-180^\circ ) \\ \sin (-180^\circ ) & \cos (-180^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ T_3 $ : dilatasi dengan faktor skala $ - 3 $, $ M_3 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) $
silahkan baca : refleksi atau pencerminan pada transformasi.
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3x \\ -3y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}x^\prime $
$ y^\prime = -3y \rightarrow y = - \frac{1}{3}y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{3}x^\prime $ dan $ y = - \frac{1}{3}y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 3x - 2y & = 1 \\ 3( \frac{1}{3}x^\prime ) - 2( - \frac{1}{3}y^\prime ) & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^\prime + 2y^\prime & = 3 \end{align} $
sehingga persamaan bayangannya : $ 3x^\prime + 2y^\prime = 3 $ atau $ 3x + 2y = 3 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 3x + 2y = 3 . \, \heartsuit $.
3). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 + 3 $ jika ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = - x $?
Penyelesaian :
*). Matriks translasi berordo $ 2 \times 2 $, sehingga tidak memenuhi syarat untuk dikalikan langsung kedua matriks transformasinya. Ini artinya kita harus mengerjakannya satu demi satu.
*). Pertama di translasi :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
silahkan baca : Translasi pada transformasi geometri.
*). Kedua dicerminakan terhadap garis $ y = -x $ :
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y - 2 \\ -x + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^{\prime \prime } = -y - 2 \rightarrow y = - x^{\prime \prime } - 2 $
$ y^{\prime \prime } = -x + 1 \rightarrow x = - y^{\prime \prime } + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ y = - x^{\prime \prime } - 2 $ dan $ x = - y^{\prime \prime } + 1 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 + 3 \\ - x^{\prime \prime } - 2 & = (- y^{\prime \prime } + 1)^2 + 3 \\ - x^{\prime \prime } - 2 & = { y^{\prime \prime }}^2 - 2y^{\prime \prime } + 1 + 3 \\ - x^{\prime \prime } & = { y^{\prime \prime }}^2 - 2y^{\prime \prime } + 6 \\ x^{\prime \prime } & = - { y^{\prime \prime }}^2 + 2y^{\prime \prime } - 6 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ x^{\prime \prime } = - { y^{\prime \prime }}^2 + 2y^{\prime \prime } - 6 $ atau $ x = -y^2 + 2y - 6 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = -y^2 + 2y - 6 . \, \heartsuit $.
Demikian pembahasan materi Komposisi Transformasi dengan Matriks dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan komposisi translasi.
