Untuk pengerjaan bentuk Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang ini ternyata menggunakan konsep "rotasi pada transformasi geometri". Ini artinya kita membutuhkan titik pusat rotasi dan besarnya sudut putar $ \theta $, serta matriks transformasinya. Komposisi pencerminan dua garis sembarang yaitu garis $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ ditunjukkan oleh ilustrasi gambar seperti berikut dimana titik $A(x,y)$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $.
Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ yaitu operasi hitung pada matriks, rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, sudut rangkap pada trigonometri, nilai trigonometri sudut-sudut istimewa, invers dan determinan matriks, dan juga materi menentukan gradien suatu garis lurus. Berikut penjelasan cara penghitungannya.
Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
Perhatikan gambar di atas, titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x+c $, kemudian dilanjutkan lagi
pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $, dimana pengerjaannya
menggunakan konsep rotasi yaitu :
Pusatnya $(a,b)$ diperoleh dari perpotongan kedua garis,
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $
dimana $ m_1 $ adalah gradien garis pertama dan $ m_2$ adalah gradien garis kedua.
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $
*). Pengerjaan menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Pusatnya $(a,b)$ diperoleh dari perpotongan kedua garis,
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $
dimana $ m_1 $ adalah gradien garis pertama dan $ m_2$ adalah gradien garis kedua.
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $
*). Pengerjaan menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Untuk pembuktian matriks rotasinya, silahkan teman-teman baca artikel :
Pembuktian matriks pencerminan dua garis sembarang.
Contoh soal Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang :
1). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ y = 3x - 3 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = -\frac{1}{3}x + 7 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ y = 3x - 3 \rightarrow m_1 = 3 $.
Garis kedua : $ y = -\frac{1}{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{3} $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1 $.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
Karena hasil kali gradien kedua garis adalah $ - 1 $ , maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 90^\circ $ (siku-siku / tegak lurus). Sehingga besarnya $ \theta = 90^\circ $ .
Silahkan baca : "Hubungan Dua Garis Lurus".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(90^\circ) & -\sin 2(90^\circ) \\ \sin 2(90^\circ) & \cos 2(90^\circ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x - 3 & = -\frac{1}{3}x + 7 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 9x - 9 & = -x + 21 \\ 9x + x & = 9 + 21 \\ 10x & = 30 \\ x & = \frac{30}{10} = 3 \end{align} $
Persamaan 1 : $ y = 3x - 3 \rightarrow y = 3.3 - 3 = 9 - 3 = 6 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (3,6) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (3,6) $.
Jadi, titik pusatnya $ (3,6) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $
2). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 4 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ x + y = -1 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{1} = - 1 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -1 = -2 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2.(-1)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = | -3| = 3 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 3 $ yang bukan dari hasil sudut istimewa, maka kita gunakan rumus sudut rangkap saja untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $.
Diketahui $ \tan \theta = 3 = \frac{3}{1} = \frac{de}{sa} $
sehingga $ de = 3 $ dan $ sa = 1 $.
Dengan pythagoras untuk menentukan sisi miring segitiga siku-sikunya (mi) :
$ mi = \sqrt{de^2 + sa^2 } = \sqrt{3^2 + 1^2 } = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.
Sehingga nilai : $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{3}{\sqrt{10}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
Silahkan baca : "Perbandingan trigonometri segitiga siku-siku".
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ :
$ \cos 2\theta = 2\cos ^2 \theta - 1 = 2 (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 - 1 = \frac{2}{10} - 1 = \frac{1}{5} - 1 = - \frac{4}{5} $
$ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
silahkan baca : "Sudut rangkap (ganda) pada trignometri".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 4 & \\ x + y = -1 & + \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ x + y = -1 \rightarrow 1 + y = -1 \rightarrow y = -2 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (1,-2) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (1,-2) $.
Jadi, titik pusatnya $ (1,-2) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right). \, \heartsuit $
3). Tentukan bayangan titik A(3,5) jika dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $!
Penyelesaian :
*). Untuk titik pusat dan matriks gabungannya sama dengan contoh soal nomor (2) di atas, sehingga tinggal kita pakai pada soal nomor (3) ini.
Titik pusat : $ (a,b) = (1,-2) $
Matriks : $ MT \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik A(3,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 - 1 \\ 5- (-2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{8}{5} + -\frac{21}{5} \\ \frac{6}{5} + - \frac{28}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} \\ - \frac{22}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} + 1 \\ - \frac{22}{5} - 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{24}{5} \\ - \frac{32}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
Silahkan baca : "Operasi hitung pada matriks".
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime \left( - \frac{24}{5} , - \frac{32}{5} \right) . \, \heartsuit $.
4). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 - 2 $ jika dicerminkan terhadap garis $ 2x - y = 3 $ kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ 3x + y = 7 $!
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ 3x + y = 7 \rightarrow m_2 = -\frac{3}{1} = - 3 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -3 = -6 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + 2.(-3)} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = | -1| = 1 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 1 $, maka sudut $ \theta $ yang memenuhi adalah $ \theta = 45^\circ $
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(45^\circ ) & -\sin 2(45^\circ ) \\ \sin 2(45^\circ ) & \cos 2(45^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 3 & \\ 3x + y = 7 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ 3x + y = 7 \rightarrow 3 . 2 + y = 7 \rightarrow 6 + y = 7 \rightarrow y = 1 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (2,1) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (2,1) $.
sehingga, titik pusatnya $ (2,1) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 2 \\ y-1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y + 1 \\ x - 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime - 2 = -y + 1 \rightarrow y = -x^\prime + 3 $
$ y^\prime - 1 = x - 2 \rightarrow x = y^\prime + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = y^\prime + 1 $ dan $ y = -x^\prime + 3 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 2 \\ -x^\prime + 3 & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 - 3 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 5 \\ x^\prime & = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 \end{align} $
Sehingga bayangannya : $ x^\prime = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 $ atau $ x = -(y+1)^2 + 5 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = -(y+1)^2 + 5 . \, \heartsuit $.
Demikian pembahasan materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Dilatasi.
