Untuk memudahkan mempelajari materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 ini, ada beberapa materi yang harus kita kuasai terlebih dahulu yaitu diantaranya : "persamaan lingkaran", "menentukan besarnya sudut menggunakan aturan kosinus", "luas juring dan luas tembereng", "luas segitiga dengan aturan sinus", dan "jarak antara dua titik". Berikut cara menghitung luas irisan dua lingkaran bentuk 3 dan penurunan rumusnya.
Menentukan Rumus Luas irisan dua lingkaran bentuk 3
Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 3 berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna biru, abu-abu dan kuning digabungkan. Untuk memudahkan perhitungan,
kita bagi daerahnya menjadi bagian bagian yaitu daerah I (warna biru) berbentuk juring lingkakaran dari lingkaran kecil, daerah II (warna abu-abu) berbentuk
segitiga lingkaran kecil, dan daerah III (warna kuning) berbentuk tembereng dari lingkaran besar. Kita misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $ r $
dan jari-jari lingkaran besar adalah $ R $ serta besar $ \angle CBD = x \, $ (lingkaran kecil) dan besar $ \angle CAD = y $ (lingkaran besar).
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 3
*). Luas daerah I (berupa juring lingkaran dari lingkaran kecil) :
Karena besar $ \angle CBD = x \, $ , maka sudut juringnya (warna biru) adalah $ 360^\circ - x $
L1 $ = \frac{360^\circ - x}{360^\circ} \times \pi r^2 $
*). Luas daerah II (berupa segitiga CBD pada lingkaran kecil) :
L2 $ = \frac{1}{2}.BC.BD.\sin \angle CBD = \frac{1}{2}r^2 \sin x $
*). Luas daerah III (berupa tembereng dari segitiga besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2$
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 = Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
L3 $ = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2 - \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 $ = R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2 + L3.
Luas irisan = $ \frac{360^\circ - x}{360^\circ} \times \pi r^2 + \frac{1}{2}r^2 \sin x + R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
Luas irisan = $ r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada lingkaran besar, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 3
*). Luas daerah I (berupa juring lingkaran dari lingkaran kecil) :
Karena besar $ \angle CBD = x \, $ , maka sudut juringnya (warna biru) adalah $ 360^\circ - x $
L1 $ = \frac{360^\circ - x}{360^\circ} \times \pi r^2 $
*). Luas daerah II (berupa segitiga CBD pada lingkaran kecil) :
L2 $ = \frac{1}{2}.BC.BD.\sin \angle CBD = \frac{1}{2}r^2 \sin x $
*). Luas daerah III (berupa tembereng dari segitiga besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2$
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 = Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
L3 $ = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2 - \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 $ = R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2 + L3.
Luas irisan = $ \frac{360^\circ - x}{360^\circ} \times \pi r^2 + \frac{1}{2}r^2 \sin x + R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
Luas irisan = $ r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada lingkaran besar, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
Langkah-langkah menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 3 :
i). Menentukan gambar irisan dan jari-jari masing-masing lingkaran,
ii). Menentukan titik potong kedua lingkaran dan jaraknya (panjang CD),
iii). Menentukan besar sudut CAD juring lingkaran besar dan sudut CBD juring lingkaran kecil,
iv). Menghitung luas arsiran dengan rumusnya.
Contoh Soal luas irisan dua lingkaran bentuk 3 :
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
$ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 $
$ L_2 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 & - \\ \hline -2x + 6 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 3 \, $ ke persamaan lingkaran 1.
$\begin{align} x = 3 \rightarrow (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (3 - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 1 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3} \\ y = 1 + \sqrt{3} \vee y & = 1 - \sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($3,1 + \sqrt{3}$ ) dan D($3,1 - \sqrt{3}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(3-3 )^2 + [(1 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) ]^2 } = 2\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} \\ \cos y & = \frac{2(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(\sqrt{7})^2} \\ \cos y & = \frac{14 - 12}{14} \\ \cos y & = \frac{2}{14} \\ \cos y & = \frac{1}{7} \\ y & = arc \, \cos \frac{1}{7} \\ y & = 81,787^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut CBD (segitiga kecil) :
$ \begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos x & = \frac{2(2)^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(2)^2} \\ \cos x & = \frac{8 - 12}{8} \\ \cos x & = \frac{-4}{8} \\ \cos x & = -\frac{1}{2} \\ x & = arc \, \cos -\frac{1}{2} \\ x & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas } & = r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) \\ & = 2^2 \left( \frac{360^\circ - 120^\circ}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin 120^\circ \right)+ (\sqrt{7})^2 \left( \frac{81,787^\circ}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin 81,787^\circ \right) \\ & = 4 \left( \frac{240^\circ}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} . 0,866 \right)+ 7 \left( 0,244 . \pi - \frac{1}{2}. 0,989 \right) \\ & = 4 \left( 0,667 . \pi + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,244 . \pi - 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 0,667 . (3,14) + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,244 . (3,14) - 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 2,094 + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,766 - 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 2,527 \right)+ 7 \left( 0,271 \right) \\ & = 10,108 + 1,897 \\ & = 12,005 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 12,005 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $
Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4.
