Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4
Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 kita begi menjadi dua bagian dengan rumus keliling yang berbeda pula yaitu :
$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian pertama
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya. Namun, jari-jari kedua lingkaran sama, secara otomatis sudut kedua
busur juga sama (sudut CAD dan sudut CBD), sehingga kita cukup menghitung panjang salah satu busur dan keliling daerah irisannya adalah dua kalinya.
*). Panjang busur CD berdasarkan sudut CAD :
panjang busur = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = 2 $ \times $ panjang busur salah satu.
Keliling irisan = $ 2 \times \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $
Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r $
$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian kedua
karena titik pusat kedua lingkaran sama, maka daerah arsirannya membentuk satu lingkaran (kedua lingkaran saling berimpit menjadi satu), sehingga keliling
irisannya sama dengan keliling satu lingkaran.
Keliling irisan = $ 2\pi r $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 1, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian pertama
*). Panjang busur CD berdasarkan sudut CAD :
panjang busur = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = 2 $ \times $ panjang busur salah satu.
Keliling irisan = $ 2 \times \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $
Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r $
$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian kedua
Keliling irisan = $ 2\pi r $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 1, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} $
$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(1,1)
$ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(0,1)
Titik pusat kedua lingkaran berbeda dan jari-jari sama, sehingga ini adalah bentuk 4 bagian pertama.
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 $
$ L_2 : \, x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2y = 3 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 & \\ x^2 + y^2 - 2y = 3 & - \\ \hline -2x = -1 & \\ x = 0,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 0,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 0,5 \rightarrow x^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (0,5)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 0,25 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3,75 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3,75} \\ y = 1 + \sqrt{3,75} \vee y & = 1 - \sqrt{3,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($0,5;1 + \sqrt{3,75}$ ) dan D($0,5;1 - \sqrt{3,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(0,5-0,5 )^2 + [(1 + \sqrt{3,75}) - (1 - \sqrt{3,75}) ]^2 } = 2\sqrt{3,75} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.(2)^2 - (2\sqrt{3,75})^2}{2.(2)^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 - 15}{8} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-7}{14} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r \\ & = \frac{120^\circ}{90^\circ} .(3,14) . 2 \\ & = \frac{4}{3} .(6,28) \\ & = 8,373 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 8,373 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $
2). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 $ dan $ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 $ ?
Penyelesaian :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 \rightarrow r = \sqrt{9} = 3 \, $, pusat(3,-1)
$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 \rightarrow A = -6 , \, B = 2, \ , C = 1 $,
Pusat : $(a,b)=(-\frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (3,-1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9} = 3 $
Karena titik pusat dan jari-jari kedua lingkaran sama, maka daerah irisannya adalah bentuk 4 bagian kedua.
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = 2 \pi . r \\ & = 2 .(3,14) . 3 \\ & = 18,84 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 18,84 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $
Demikian pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Rangkuman Keliling Irisan Dua Lingkaran.
