Untuk memudahkan mempelajari materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya, kita harus menguasai terlebih dahulu materi sifat-sifat eksponen. Dalam pembahasan kali ini, pertama kita bahas fungsi eksponen, lalu akan kita lanjutkan pada penerapan fungsi eksponen. Langsung saja kita simak pemaparan materinya berikut ini.
Fungsi Eksponen
Berikut adalah bentuk-bentuk fungsi eksponen :
$\clubsuit \, $ fungsi eksponen sederhana :
$ \begin{align} f(x) = a^x \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ x \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).
$\clubsuit \, $ fungsi eksponen kompleks :
$ \begin{align} f(x) = b \times a^{g(x)} \, + c \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ g(x) \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).
$\clubsuit \, $ fungsi eksponen sederhana :
$ \begin{align} f(x) = a^x \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ x \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).
$\clubsuit \, $ fungsi eksponen kompleks :
$ \begin{align} f(x) = b \times a^{g(x)} \, + c \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ g(x) \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).
Contoh Soal :
1). Berikut adalah beberapa contoh dari fungsi eksponen yaitu :
a). $ f(x) = 2^x $
b). $ g(x) = 3^{5x} $
c). $ h(x) = \left( \frac{1}{5} \right) ^x $
d). $ f(x) = 3 \times 5^x $
e). $ f(x) = 2 \times 3^x + 5 $
f). $ f(x) = 3^{x^2+2x-8} $
g). $ f(x) = 2 \times 5^{x^3 - x +1} -1 $
2). Diketahui fungsi eksponen $ f(x) = 3^{x+1} - 2 $ . Tentukan nilai dari $ f(1) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ f(1) \, $ dengan substitusi $ x = 1 $ :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 3^{x+1} - 2 \\ f(1) & = 3^{1+1} - 2 \\ & = 3^{2} - 2 \\ & = 9 - 2 \\ & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(1) = 7. \, \heartsuit $.
3). Diketahui suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 2^{x-1} - 1 $ . Jika $ f(a) = 31 \, $ , maka nilai dari $ a^2 - 30 = .... $
Penyelesaian :
*). Dari fungsi $ f(x) = 2^{x-1} - 1 \, $ maka
$ f(a) = 2^{a-1} - 1 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari bentuk $ f(a) = 31 $ :
$ \begin{align} f(a) & = 31 \\ 2^{a-1} - 1 & = 31 \\ 2^{a-1} & = 32 \\ 2^{a-1} & = 2^5 \, \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ a - 1 & = 5 \\ a & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ a^2 - 30 = 6^2 - 30 = 36 - 30 = 6 $.
Jadi, nilai $ a^2 - 30 = 6. \, \heartsuit $.
4). Suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 3^{2x} $ . Nyatakan bentuk $ f(3a+b-c) \, $ dalam bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $.
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ a^{m+n} = a^m . a^n \, $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $.
*). Dari bentuk fungsi awal $ f(x) = 3^{2x} $ , kita peroleh :
$ f(a) = 3^{2a} , \, f(b) = 3^{2b} , \, $ dan $ f(c) = 3^{2c} $.
*). Agar bentuk $ f(a^2+b-c) \, $ menjadi bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $ , maka kita harus mengarahkan hasilnya kebentuk di atas.
*). Memodifikasi dan menyelesaikan soal :
$ \begin{align} f(x) & = 3^{2x} \\ f(3a+b-c) & = 3^{2(3a+b-c)} \\ & = 3^{6a+2b-2c} \\ & = \frac{3^{6a} \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( 3^{2a} \right)^3 \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \begin{align} f(3a+b-c) = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} . \, \heartsuit $.
Penerapan Fungsi Eksponen
Salah satu penerapan fungsi eksponen adalah tentang model pertumbuhan dan peluruhan yang bisa teman-teman baca
materi lengkapnya pada artikel "pertumbuhan dalam matematika" dan "peluruhan dalam matematika". Namun untuk soal-soal tertentu, biasanya bentuk fungsi
eksponensialnya sudah diberikan terlebih dahulu. Adapun bentuk fungsi eksponen atau fungsi eksponensial untuk pertumbuhan dan peluruhan adalah
$ \begin{align} A_t = A_0 \times (r)^t \end{align} $.
Keterangan :
$ A_t = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada waktu ke-$t$
$ A_0 = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada awal periode
$ r = \, $ rasio (tingkat perubahan) .
$ \begin{align} A_t = A_0 \times (r)^t \end{align} $.
Keterangan :
$ A_t = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada waktu ke-$t$
$ A_0 = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada awal periode
$ r = \, $ rasio (tingkat perubahan) .
Contoh soal :
5). Dalam ilmu biologi ada yang namanya pertumbuhan jenis amoeba tertentu. Misalkan pertumbuhannya mengikuti fungsi eksponensial $ A_t = A_0 \times (2)^t \, $ dengan $ A_0 \, $ adalah banyaknya amoeba pada awal pengamatan dan $ t \, $ adalah waktu pada pengamatan terjadi (satuannya menit). Jika diketahui pada awal pengamatan pukul 09.00 ada 100 amoeba , tentukan banyak amoeba setelah dilakukan pengamatan lagi pada pukul 09.10?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ A_0 = 100 \, $ amoeba.
dari pukul 09.00 ke pukul 09.10, nilai $ t = 10 \, $ menit.
*). Menentukan banyak amoeba pada $ t = 10 $
$ \begin{align} A_t & = A_0 \times (2)^t \\ A_{10} & = 100 \times (2)^{10} \\ & = 100 \times 1024 \\ & = 102.400 \end{align} $
Jadi, akan ada 102.400 amoeba pada pengamatan pukul 09:10 $. \, \heartsuit $.
Demikian pembahasan materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan grafik fungsi eksponen dan logaritma.
