Perhatikan ilustrasi berikut ini :
Sinta meminjam uang di koperasi untuk membeli mobil sebesar Rp75.000.000,00 dengan bunga majemuk 3% selama 3 tahun. Sinta mendapatkan rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di akhir tahun ketiga sebagai berikut.
Dari tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga terus berubah setiap periodenya yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ($i = 3\%$) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya. Perhitungannya :
Modal sebelumnya = 75.000.000
bunga periode I = $ 3\% \times 75.000.000 = 2.250.000 \, $
Modal periode I = 75.000.000 + 2.250.000 = 77.250.000
bunga periode II = $ 3\% \times 77.250.000 = 2.317.500 \, $ ,
begitu seterusnya.
Contoh soal :
1). Dani menyimpan uang di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank memberikan bunga 10%/tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan dianggap tidak ada biaya administrasi bank. Tentukan besarnya bunga pada akhir tahun pertama, akhir tahun kedua, dan akhir tahun ketiga ?
Penyelesaian :
*). Diketahui :
Suku bunga majemuk : $ i = 10\% = \frac{10}{100}= 0,1 $
Modal awal : M = 1.000.000
*). Bunga akhir tahun pertama/periode pertama ($B_1$) :
$ B_1 = i \times M = 0,1 \times 1.000.000 = 100.000 $.
*). Besar modal akhir tahun pertama ($M_1$) :
$ M_1 = M + B_1 = 1.000.000 + 100.000 = 1.100.000 $.
*). Bunga akhir tahun kedua/periode kedua ($B_2$) :
$ B_2 = i \times M_1 = 0,1 \times 1.100.000 = 110.000 $.
*). Besar modal akhir tahun kedua ($M_2$) :
$ M_2 = M_1 + B_2 = 1.100.000 + 110.000 = 1.210.000 $.
*). Bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ($B_3$) :
$ B_3 = i \times M_2 = 0,1 \times 1.210.000 = 121.000 $.
*). Besar modal akhir tahun ketiga ($M_3$) :
$ M_3 = M_2 + B_3 = 1.210.000 + 121.000 = 1.331.000 $.
Jadi, besarnya bunga dari periode pertama sampai ketiga berturut-turut Rp100.000, Rp110.000, dan Rp121.000.
Rumus besarnya bunga pada akhir periode ke-$n$ ($B_n$)
Besarnya bunga setiap periode tertentu langsung bisa kita hitung dengan rumus berikut ini :
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $
Keterangan :
$ B_n = \, $ bunga periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
$ i = \, $ suku bunga per periode
$ M = \, $ modal awal yang ditabung atau yang dipinjam
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $
Keterangan :
$ B_n = \, $ bunga periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
$ i = \, $ suku bunga per periode
$ M = \, $ modal awal yang ditabung atau yang dipinjam
Contoh :
2). Kita akan coba menghitung kembali besarnya bunga pada contoh soal nomor (1) di atas dengan rumus bunga.
Pada soal nomor (1) diketahui $ i = 10\% = 0,1 \, $ dan modal awal M = 1.000.000.
*). Menentukan besarnya bunga periode pertama, kedua dan ketiga dengan rumus
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $
Besar bunga akhir tahun pertama/periode pertama ($n=1$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_1 & = i \times (1+i)^{1-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{0} \times M \\ & = i \times 1 \times M \\ & = i \times M \\ & = 0,1 \times 1.000.000 \\ & = 100.000 \end{align} $
Besar bunga akhir tahun kedua/periode kedua ($n=2$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_2 & = i \times (1+i)^{2-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{1} \times M \\ & = i \times (1 + i) \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1) \times 1.000.000 \\ & = 110.000 \end{align} $
Besar bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ($n=3$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_3 & = i \times (1+i)^{3-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{2} \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1)^2 \times 1.000.000 \\ & = 121.000 \end{align} $
Kita peroleh hasil yang sama dengan perhitungan pada contoh soal nomor (1) di atas.
Rumus Modal akhir pada periode ke-$n$ ($M_n$)
Besarnya modal akhir periode ke-$n$ dapat langsung kita hitung dengan rumus berikut ini :
$ \begin{align} M_n = M(1+i)^n \end{align} $
Keterangan :
$ M_n = \, $ modal akhir stelah periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
Catatan :
*). $i \, $ dan $ n \, $ harus dalam satuan/periode yang sama.
*). Jika satuan $ i \, $ dan $ n \, $ tidak sama, maka satuan $ n \, $ yang diubah menjadi bentuk satuan $i $ .
$ \begin{align} M_n = M(1+i)^n \end{align} $
Keterangan :
$ M_n = \, $ modal akhir stelah periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
Catatan :
*). $i \, $ dan $ n \, $ harus dalam satuan/periode yang sama.
*). Jika satuan $ i \, $ dan $ n \, $ tidak sama, maka satuan $ n \, $ yang diubah menjadi bentuk satuan $i $ .
Contoh soal :
3). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun!
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ , dan $ n = 6 $
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 5.000.000 \times (1+0,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times (1 ,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \\ & = 8.857.805 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 6 tahun adalah Rp8.857.805,00.
*). Menentukan jumlah semua bunga yang diperoleh selama 6 tahun :
Total bunga = 8.857.805 - 5.000.000 = 3.857.805
Jadi, jumlah semua bunga selama 6 tahun adalah Rp3.857.805,00.
4). Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama 5 tahun. Tentukan modal akhir!
Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 2.000.000 , $ i = 5\% = 0,05 \, $/semester (6 bulan).
Satuan $i \, $ dan $ n \, $ harus sama dengan tanpa merubah satuan dari $ i \, $ , sehingga kita ubah $ n \, $ menjadi satu periode = 1 semester = 6 bulan. Sementara 1 tahun = 2 semester, sehingga kita peroleh :
$ n = \, $ 5 tahun = 5 $ \times \, $ 2 semester = 10 semester.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 2.000.000 \times (1+0,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times (1 ,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times 1,628894627 \\ & = 3.257.789,25 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 5 tahun adalah Rp3.257.789,25.
5). Radit menyimpang uangnya di bank sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan. Tentukan besar tabungan akhirnya setelah tabungannya berjalan selama 3 tahun 9 bulan.?
Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 1.500.000 dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /triwulan (3 bulan).
Kita samakan satuan $ i $ dan $ n $ yaitu sama-sama dalam triwulan.
1 triwulan = 3 bulan,
dan 3 tahun 9 bulan = $ 3 \times 12 + 9 = 45 \, $ bulan.
Sehingga $ n = \frac{45}{3} = 15 \, $ triwulan.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 1.500.000 \times (1+0,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times (1 ,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times 1,800943506 \\ & = 2.701.415,26 \end{align} $
Jadi, besar tabungan akhir Radit setelah dibungakan selama 3 tahun 9 bulan adalah Rp2.701.415,26.
6). Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4%/semester, setelah berapa tahun modal akhir menjadi = Rp4.440.732,87?
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.000.000, $ M_n = 4.440.732,87 \, $ dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /semester.
*). Sifat logaritma yang digunakan : $ \log a^n = n \times \log a $.
*). Menentukan lama menabung ($n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.440.732,87 & = 3.000.000(1+0,04)^n \\ (1+0,04)^n & = \frac{4.440.732,87}{3.000.000} \\ (1,04)^n & = 1.48024429 \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ \log (1,04)^n & = \log (1.48024429) \\ n \times \log (1,04) & = \log (1.48024429) \\ n & = \frac{\log (1.48024429)}{\log (1,04)} \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ n & = 10 \end{align} $
Karena $ i $ dan $ n $ satuannya sama, maka $ n = \, $ 10 semester = 5 tahun.
Jadi, modal tersebut dibungakan selama 5 tahun.
7). Rita meminjam uang di koperasi sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk tiap bulan. Setelah 2 tahun modal menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya!
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 2.500.000, $ M_n = 4.021.093,12 \, $ dan
$ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan ( satuan $i $ dan $ n $ sama-sama dalam bulan).
*). Sifat eksponen yang digunakan : $ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
*). Menentukan suku bunga ($i$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.021.093,12 & = 2.500.000 \times (1+i)^{24} \\ (1+i)^{24} & = \frac{4.021.093,12}{2.500.000} \\ (1+i)^{24} & = 1,608437249 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat eksponen)} \\ (1+i) & = \sqrt[24]{1,608437249 } \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ (1+i) & = 1.02 \\ i & = 1.02 - 1 \\ i & = 0,02 \\ i & = 0,02 \times 100\% \\ i & = 2 \% \end{align} $
Jadi, suku bunganya adalah sebesar 2%/bulan.
Modal Akhir ($M_n$) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan ($n$)
Jangka waktu ($n$) proses berbunganya suatu modal tidak hanya merupakan bilangan bulat. Jika jangka waktu bukan
merupakan bilangan bulat, maka cara menentukan nilai $ (1 + i)^n \, $ dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:
i). Dengan menghitung langsung bentuk $ (1 + i)^n \, $ menggunakan kalkulator,
ii). Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga yang bulat. Jika disederhanakan dalam rumus adalah sebagai berikut:
$ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) \end{align} $
Dengan $ p \, $ masa bunga pecahan
Catatan :
Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas.
i). Dengan menghitung langsung bentuk $ (1 + i)^n \, $ menggunakan kalkulator,
ii). Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga yang bulat. Jika disederhanakan dalam rumus adalah sebagai berikut:
$ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) \end{align} $
Dengan $ p \, $ masa bunga pecahan
Catatan :
Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas.
Cotoh soal :
8). Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 5,75 bulan!
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 4.500.000, $ i = 3\% = 0,03 \, $ /bulan, dan $ n = 5,75 \, $ bulan.
Cara I, langsung menggunakan rumus : $ M_n = M(1+i)^n $
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 4.500.000 \times (1+0,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times (1 ,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times 1,18526113 \\ & = 5.333.675,08 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.333.675,08.
Cara II, menggunakan rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $ :
lama menabung 5,75 bulan, artinya $ n = 5 \, $ (bagian bulat) dan $ p = 0,75 \, $ (bagian pecahan).
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 4.500.000 (1 + 0,03)^5 (1 + 0,75 \times 0,03) \\ & = 4.500.000 (1 ,03)^5 \times (1 + 0,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,159274074 \times (1,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,185357741 \\ & = 5.334.109,84 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.334.109,84.
Catatan :
Terjadi perbedaan hasil antara cara I dan cara II yaitu sebesar Rp434,76 dimana perbedaannya hanya kecil saja. Artinya kita boleh menggunakan salah satu dari cara yang ada, dan disarankan menggunakan cara kedua yaitu menggunakan rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $.
9). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 10%/tahun. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 6 tahun 3 bulan.
Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ /tahun.
Karena satuan $ i $ dalam tahun, maka 6 tahun 3 bulan kita ubah menjadi dalam tahun.
6 tahun 3 bulan = $ 6 + \frac{3}{12} = 6 + 0,25 = 6,25 \, $ tahun.
artinya $ n = 6 \, $ dan $ p = 0,25 $.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 5.000.000 (1 + 0,1)^6 (1 + 0,25 \times 0,1) \\ & = 5.000.000 (1 ,1)^6 \times (1 + 0,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \times (1,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,815850025 \\ & = 9.079.250,125 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 6,25 tahun adalah Rp9.079.250,125.
Demikian pembahasan materi Bunga Majemuk dan Contohnya . Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan bunga, pertumbuhan dan peluruhan yaitu nilai tunai.
