Dalam menghitung Nilai Sin Cos 42 dan 48 derajat, kita membutuhkan rumus trigonmetri penjumlahan sudut yang melibatkan nilai sin dan cos sudut 30 derajat dan 18 derajat untuk menghitung terlebih dahulu nilai sudut 48 derajat. Setelah itu baru kita menghitung nilai trigonmetri sudut 42 derajat dengan sudut komplemen.
Rumus Dasar Trigonmetri
$ \clubsuit \, $ Rumus Jumlah sudut trigonometri
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$\spadesuit \, $ Sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
*). Nilai trigonmetri sudut 30 dan 18 derajat :
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \, \, \, $ dan $ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \, \, \, $ dan $ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$\spadesuit \, $ Sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
*). Nilai trigonmetri sudut 30 dan 18 derajat :
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \, \, \, $ dan $ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \, \, \, $ dan $ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
Nilai Sin 42 dan 48 derajat
$ \sin 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $
$ \sin 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $
$ \sin 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $
*). Nilai sin 48 derajat
$ \begin{align} \sin (A + B) & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin 48^\circ & = \sin (30^\circ + 18^\circ) = \sin 30^\circ \cos 18^\circ + \cos 30^\circ \sin 18^\circ \\ & = \frac{1}{2}. \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} + \frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \\ & = \frac{1}{8} [ \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} (-1 + \sqrt{5}) ] \\ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $
*). Nilai cos 48 derajat
$ \begin{align} \cos (A + B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 48^\circ & = \cos (30^\circ + 18^\circ) = \cos 30^\circ \cos 18^\circ - \sin 30^\circ \sin 18^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3}. \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} - \frac{1}{2} . \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \\ & = \frac{1}{8} [ \sqrt{3} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - (-1 + \sqrt{5}) ] \\ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $
Menentukan nilai sin dan cos 42 derajat :
Kita gunakan konsep sudut komplemen, yaitu :
*). Nilai sin 42 derajat
$ \begin{align} \sin A & = \cos (90^\circ - A ) \\ \sin 42^\circ & = \cos (90^\circ - 42^\circ) \\ \sin 42^\circ & = \cos 48^\circ \\ \sin 42^\circ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $
*). Nilai cos 42 derajat
$ \begin{align} \cos A & = \sin (90^\circ - A ) \\ \cos 42^\circ & = \sin (90^\circ - 42^\circ) \\ \cos 42^\circ & = \sin 48^\circ \\ \cos 42^\circ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $
Bagaimana dengan pembahasan Nilai Sin Cos 42 dan 48 derajat ? Semoga materi ini bisa bermanfaat untuk kita semua. Nilai trigonometri sudut 42 derajat dan 48 derajat selanjutnya akan kita gunakan untuk menghitung nilai trigonometri sudut 21 derajat dan 24 derajat.
