Rumus dasar trigonometri yang digunakan untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat yaitu rumus trigonometri sudut ganda dan identitas trigonometri. Untuk menghitung nilai sin 6 derajat , kita butuh pengetahun tentang perkalian bentuk akar, karena kita menghitung nilai sin 6 derajat berdasarkan nilai sin 3 derajat dan cos 3 derajat. Untuk lebih lengkapnya, mari kita lihat pembahasannya berikut ini.
Rumus Dasar Trigonmetri yang dibutuhkan
$ \spadesuit \, $ Rumus trigonometri sudut ganda
$ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $
$ \clubsuit \, $ Identitas trigonmetri
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin ^2 A} $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2 A} $
$ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $
$ \clubsuit \, $ Identitas trigonmetri
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin ^2 A} $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2 A} $
$ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
$ \cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
Nilai sin 6 derajat dan sin 12 derajat
$ \sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] $
$ \sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } $
$ \sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } $
Menentukan Nilai Eksak sin 6 dan 12 derajat :
*). Menentukan nilai sin 6 derajat,
$ \begin{align} & \sin 6^\circ = \sin 2 \times 3^\circ \\ & = 2 \sin 3^\circ \cos 3^\circ \\ & = 2 \times \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{32}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] $
*). Menentukan nilai cos 6 derajat,
$ \begin{align} \sin 6^\circ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \sin ^2 6^\circ & = [\frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] ]^2 \\ & = \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \cos 6^\circ & = \sqrt{1 - \sin ^2 6^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 6^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } $
*). Menentukan nilai cos 12 derajat,
$ \begin{align} & \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 \\ & \cos 12^\circ = \cos 2 \times 6^\circ = 2\cos ^2 6^\circ - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 12^\circ = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) $
*). Menentukan nilai sin 12 derajat,
$ \begin{align} \cos 12^\circ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 12^\circ & = [ \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) ]^2 \\ & = \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A} \\ \sin 12^\circ & = \sqrt{1 - \cos ^2 12^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } $
Sebenarnya untuk mengaplikasikan rumus dasar trigonometri tidaklah sulit untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat. Hanya saja menurut saya, perhitungan bentuk akarnya yang menyulitkan dan tentu menjenuhkan untuk kita selesaikan. Karena melibatkan banyak bentuk akar, mohon koreksi dari teman-teman yang lagi membaca artikel ini, mungkin saja ada kesalahan dalam penghitungannya. Semoga materi ini bermanfaat .
