Setelah bisa Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat, pada artikel berikutnya akan saya share nilai sin untuk sudut-sudut lain seperti sin 6 derajat, 21 derajat, 24 derajat, 27 derajat, 33 derajat, 36 derajat, 39 derajat, dan 42 derajat. Jika diperhatikan semua sudut-sudutnya, yang kita hitung adalah sudut-sudut dengan kelipatan 3 derajat.
Rumus dasar Trigonometri yang digunakan
*). Sudut ganda :
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} $
$ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} $
*). Rumus trigonometri pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} $
$ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} $
*). Rumus trigonometri pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Nilai sin 3 derajat dan sin 9 derajat
$ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
$ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2-\frac{1}{2} \sqrt{10+2\sqrt{5}} } $
$ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2-\frac{1}{2} \sqrt{10+2\sqrt{5}} } $
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
Dari rumus sudut ganda kita peroleh nilai :
$ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} $
Cara Menentukan Nilai sin 3 derajat dan 9 derajat :
*). Nilai sin 9 derajat, dengan sudut ganda :
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2. 9^\circ }{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 18^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1 - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{8} } \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{2}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $
Sementara dari bentuk rumus $ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \, $ , maka kita peroleh nilai $ \cos 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $
*). Menentukan nilai $ \sin 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 3^\circ & = \sin (18^\circ - 15^\circ) \\ \sin (18^\circ - 15^\circ) & = \sin 18^\circ \cos 15^\circ - \cos 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \sin 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
*). Menentukan nilai $ \cos 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 3^\circ & = \cos (18^\circ - 15^\circ) \\ \cos (18^\circ - 15^\circ) & = \cos 18^\circ \cos 15^\circ + \sin 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4}. \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \cos 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
Demikian cara Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat sekaligus nilai cos 3 dan 9 derajat. Semoga pembahasan pada materi ini bermanfaat untuk kita semua terutama bagi yang membutuhkan, terutama untuk pengembangan dalam materi trigonometri.
