Materi Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga lebih sulit dari pada jarak titik dan garis. Prinsip kerja secara umumnya adalah kita proyeksikan titik ke bidang yang akan kita cari jaraknya, kemudian kita hitung jaraknya dengan bantuan garis pada bidang tersebut. Artinya setelah itu kita harus mengingat kembali konsep jarak titik ke garis yang sudah dibahas sebelumnya pada artikel konsep jarak pada dimensi tiga. Penting bagi kita juga untuk menguasai materi Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang agar memperlancar dalam pengerjaan soal nantinya dan pemahaman materinya.
Jarak Titik ke Bidang pada Dimensi Tiga
Misalkan X adalah suatu bidang datar dan titik P merupakan
sebuah titik yang berada di luar bidang X. Jarak titik P terhadap bidang X merupakan panjang garis tegak lurus
dari titik P ke bidang X. Panjang garis tegak lurus inilah merupakan jarak terpendeknya dari titik P ke bidang X. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini,
Jarak dari titik P ke bidang X diwakili oleh panjang garis PA, dimana garis PA tegak lurus dengan bidang X dan titik A terletak pada garis k.
Langkah-langkah mengubah jarak titik P ke bidang X menjadi jarak titik P ke garis k :
1). Lukis bidang W yang melalui titik P dan tegak lurus bidang X.
2). Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara bidang W dan X.
3). jarak titik P ke bidang X adalah jarak titik P ke garis k.
Catatan :
Meskipun yang mau kita cari adalah jarak titik ke bidang, tetapi kita tidak langsung bisa mencari jaraknya karena akan sulit. Untuk memudahkan, kita harus membuat garis bantuan yang ada pada bidang, selanjutnya kita akan menghitung jarak titik ke garis tersebut yang merupakan perwakilan dari jarak titik ke bidang yang dicari dan hasilnya sama.
Langkah-langkah mengubah jarak titik P ke bidang X menjadi jarak titik P ke garis k :
1). Lukis bidang W yang melalui titik P dan tegak lurus bidang X.
2). Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara bidang W dan X.
3). jarak titik P ke bidang X adalah jarak titik P ke garis k.
Catatan :
Meskipun yang mau kita cari adalah jarak titik ke bidang, tetapi kita tidak langsung bisa mencari jaraknya karena akan sulit. Untuk memudahkan, kita harus membuat garis bantuan yang ada pada bidang, selanjutnya kita akan menghitung jarak titik ke garis tersebut yang merupakan perwakilan dari jarak titik ke bidang yang dicari dan hasilnya sama.
1). Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk 6 cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?
*). Kita buat bidang yang melalui titik N dan tegak lurus dengan bidang KMR yaitu bidang NTR seperti gambar berikut ini.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga NTR :
NR = 6 cm,
$ NT = \frac{1}{2} NL = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
$ RT = \sqrt{NT^2 + NR^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{18 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $
*). Menentukan panjang NS dengan luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas NTR } & = \text{Luas NTR } \\ \frac{1}{2}. RT . NS & = \frac{1}{2}. NT . NR \\ RT . NS & = NT . NR \\ 3\sqrt{6} . NS & = 3\sqrt{2} . 6 \\ NS & = \frac{3\sqrt{2} . 6}{3\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} . 6}{\sqrt{6} } \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak titik N ke bidang KMR adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.
2). Tentukan jarak titik A ke bidang CDHG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm?
Penyelesaian :
*). Jarak A ke garis DH = panjang garis AD karena AD tegak lurus dengan DH, sehingga jarak titik A ke garis DH adalah 6 cm.
Jadi, jarak titik A ke bidang CDHG adalah 6 cm.
3). Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $ \sqrt{5} \, $ cm. Titik P terletak pada garis AD dengan AP = 2 cm, dan titik Q terletak pada garis EH dengan EQ = 2 cm seperti gambar berikut ini.
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang PQFB. Bidang tersebut adalah bidang PAB yang berpetongan di garis BP dengan bidang PQFB. Sehingga jarak titik A ke bidang PQFB sama saja dengan jarak titik A ke garis BP yaitu panjang garis AN. Perhatikan gambarnya berikut ini,
$ PB = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
*). Menentukan panjang AN dengan luas segitiga PAB :
$ \begin{align} \text{Luas PAB } & = \text{Luas PAB } \\ \frac{1}{2}. PB. AN & = \frac{1}{2}. PA.PB \\ PB. AN & = PA.PB \\ 3. AN & = 2.\sqrt{5} \\ AN & = \frac{2}{3}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik A ke bidang PQFB adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{5} \, $ cm.
4). Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Tentukan arak titik R ke bidang EPQH ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga TNR,
NR = 8 cm, TR = 4,
$ TN = \sqrt{TR^2 + NR^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Menentukan panjang RM dengan luas segitiga TNR,
$ \begin{align} \text{Luas TNR } & = \text{Luas TNR } \\ \frac{1}{2}. TN. RM & = \frac{1}{2}. NR.TR \\ TN. RM & = NR.TR \\ 4\sqrt{5}. RM & = 8 . 4 \\ \sqrt{5}. RM & = 8 \\ RM & = \frac{8}{5} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik R ke bidang EPQH adalah $ \frac{8}{5} \sqrt{5} \, $ cm.
5). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk CG. Tentukan jarak titik E ke bidang BPD?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EPM,
$ EM = \sqrt{EA^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} $
$ EP = \sqrt{EG^2 + GP^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{128 + 16} = \sqrt{144} = 12 $
$ MP = \sqrt{MC^2 + CP^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $
Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EMP, kita terapkan aturan cosinus pada sudut M.
$ EP^2 = ME^2 + MP^2 - 2 . ME. MP \cos M \rightarrow \cos M = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} $.
Menentukan nilai cos M :
$ \begin{align} \cos M & = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} \\ & = \frac{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2- 12^2}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{96 + 48- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{144- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{0}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ \cos M & = 0 \rightarrow M = 90^\circ \end{align} $
Karena sudut M $ \, = 90^\circ \, $ , maka segitga EMP siku-siku di M sehingga panjang EN sama dengan panjang EM yaitu $ \, 4\sqrt{6} $ .
Jadi, jarak titik E ke bidang MPD adalah $ 4\sqrt{6} \, $ cm.
Menghitung Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga memanglah tidak mudah dibandingkan dengan menghitung jarak antara dua titik atau menghitung jarak titik ke garis. Kita harus menentukan terlebih dahulu garis yang mewakili bidang sehingga kita bisa mencari jarak antara titik ke garis yang mewakili jarak titik ke bidang. Tentu kemampuan menggambar dan mengimajinasikan bidang-bidang dan garis yang terbentuk itulah yang cukup sulit bagi kita. Kuncinya sabar dan terus berlatih dan jangan malu untuk bertanya kepada suapapun yang lebih bisa daripada kita.OK!
