Rumus Identitas Trigonometri dan invers trigonometri
*). Identitas Trigonometri :
Sebenarnya teknik substitusi trigonometri ini tujuannya adalah untuk mengarahkan soal menjadi bentuk persamaan identitas trigonometri yaitu :
$ \sin ^2 t + \cos ^2 t = 1 $.
$ 1 + \tan ^2 t = \sec ^2 t $.
$ 1 + \cot ^2 t = \csc ^2 t $.
*). Invers fungsi trigonometri :
Berikut bentuk inversnya :
Jika $ \sin t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \sin f(x) $
Jika $ \cos t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \cos f(x) $
Jika $ \tan t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \tan f(x) $
Jika $ \cot t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \cot f(x) $
Jika $ \sec t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \sec f(x) $
Jika $ \csc t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \csc f(x) $
Sebenarnya teknik substitusi trigonometri ini tujuannya adalah untuk mengarahkan soal menjadi bentuk persamaan identitas trigonometri yaitu :
$ \sin ^2 t + \cos ^2 t = 1 $.
$ 1 + \tan ^2 t = \sec ^2 t $.
$ 1 + \cot ^2 t = \csc ^2 t $.
*). Invers fungsi trigonometri :
Berikut bentuk inversnya :
Jika $ \sin t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \sin f(x) $
Jika $ \cos t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \cos f(x) $
Jika $ \tan t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \tan f(x) $
Jika $ \cot t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \cot f(x) $
Jika $ \sec t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \sec f(x) $
Jika $ \csc t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \csc f(x) $
1). Tentukan invers dari :
a). $ \sin t = \frac{1}{2} $
b). $ \cos t = 3x $
c). $ \tan t = \frac{x - 2}{5} $
Penyelesaian :
a). $ \sin t = \frac{1}{2} \rightarrow t = arc \sin \frac{1}{2} \rightarrow t = 30^\circ $
b). $ \cos t = 3x \rightarrow t = arc \cos (3x) $
c). $ \tan t = \frac{x - 2}{5} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x - 2}{5} \right) $
Bentuk-bentuk Substitusi Trigonometri
Berikut bentuk-bentuk substitusi yang akan kita gunakan yaitu :
*). Bentuk $ \sqrt{a^2 - b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sin t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \cos t $.
*). Bentuk $ \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \tan t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \cot t $.
*). Bentuk $ \sqrt{b^2x^2 - a^2 } , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sec t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \csc t $.
*). Bentuk $ \sqrt{a^2 - b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sin t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \cos t $.
*). Bentuk $ \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \tan t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \cot t $.
*). Bentuk $ \sqrt{b^2x^2 - a^2 } , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sec t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \csc t $.
2). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx $ ?
Penyelesaian :
*). Soal ini akan sulit kita selesaikan dengan substitusi aljabar maupun teknik parsial, sehingga kita selesaikan dengan teknik substitusi trigonometri.
*). Bentuk $ \sqrt{1-x^2} , \, $ substitusi $ x = \sin t \, $ atau $ \, x = \cos t $.
*). Pertama, kita substitusi dengan $ x = \sin t $.
$ x = \sin t \rightarrow t = arc \sin x $
$ x = \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \cos t \rightarrow dx = \cos t dt $.
$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-(\sin t) ^2 } = \sqrt{\cos ^2 t } = \cos t $.
Gunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 - x^2 } $
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx & = \int \frac{(\sin t)^2}{ \cos t } \cos t dt \\ & = \int (\sin t)^2 dt \\ & = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{1}{2} x \sqrt{ 1 - x^2 } + c \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $ .
*). Kedua, kita substitusi dengan $ x = \cos t $.
$ x = \cos t \rightarrow t = arc \cos x $
$ x = \cos t \rightarrow \frac{dx}{dt} = -\sin t \rightarrow dx = -\sin t dt $.
$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-(\cos t) ^2 } = \sqrt{\sin ^2 t } = \sin t $.
Gunakan rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \sin t = \sqrt{1 - \cos ^2 t } = \sqrt{ 1 - x^2 } $
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx & = \int \frac{(\cos t)^2}{ \sin t } . - \sin t dt \\ & = -\int (\cos t)^2 dt \\ & = - \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = - ( \frac{1}{2}t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = -\frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t + c \\ & = -\frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = -\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = -\frac{1}{2} arc \cos x - \frac{1}{2} . \sqrt{ 1 - x^2 } . x + c \\ & = -\frac{1}{2} arc \cos x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = - \frac{1}{2} arc \cos x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $ .
Kedua permisalan di atas memberikan hasil yang berbeda, tapi kedua hasil integralnya sama-sama benar. Jika soalnya ada pilihannya (opsinya), maka hanya salah satu saja yang pasti ada, tidak mungkin keduanya. Dan jika soalnya berupa essay, maka hasilnya tergantung substitusi trigonometri yang kita pilih, dan keduanya benar.
3). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx $ ?
Penyelesaian :
*). Bentuknya adalah $ \sqrt{4-9x^2} = \sqrt{2^2-3^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{2}{3} \sin t $.
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \sin t = \frac{3x}{2} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) $
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \cos t \rightarrow dx = \frac{2}{3} \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{14-9x^2} & = \sqrt{4-9(\frac{2}{3}\sin t) ^2 } = \sqrt{4-9.\frac{4}{9}\sin^2 t } = \sqrt{4-4\sin^2 t } \\ & = \sqrt{4(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{4\cos ^ 2 t } = 2 \cos t \end{align} $.
Gunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{3x}{2})^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } $
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx & = \int \frac{(\frac{2}{3} \sin t)^2}{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \int \frac{\frac{4}{9} \sin ^2 t }{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \sin ^2 t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27}( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t ) + c \\ & = \frac{4}{27} (\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t ) + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{1}{2} \frac{3x}{2} \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } ) + c \\ & = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $ .
4). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx $ ?
Penyelesaian :
*). Bentuknya adalah $ 4 + x^2 , \, $ substitusi $ x = 2 \tan t $.
$ x = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) $
$ x = 2 \tan t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.
$ \begin{align} 4 + x^2 & = 4 + (2 \tan t)^2 = 4 + 4 \tan ^2 t = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{1}{4 + x^2} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $ .
5). Tentukan hasil integral $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
*). Mengubah fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} 8 + 2x - x^2 & = 9 - 1 + 2x - x^2 \\ & = 9 - (1 - 2x + x^2) \\ & = 9 - (x-1)^2 \end{align} $
*). Bentuknya adalah $ 9 - (x-1)^2 , \, $ substitusi $ x - 1 = 3 \sin t $.
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow \sin t = \frac{x-1}{3} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) $
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow x = 3\sin t + 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3\cos t \rightarrow dx = 3 \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{8 + 2x - x^2 }& = c = \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } = \sqrt{9 - 9\sin^2 t } \\ & = \sqrt{9(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{9\cos ^ 2 t } = 3 \cos t \end{align} $.
Gunakan rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{x-1}{3} )^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } $
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx & = \int \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } dx \\ & = \int 3 \cos t . 3 \cos t dt \\ & = 9 \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = 9 ( \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} . 2\sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{2} \sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{9}{2} . \frac{x-1}{3} . \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c $ .
6). Tentukan hasil integral $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx $ ?
Penyelesaian :
*). Mengubah fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} x^2 + 2x + 5 & = (x^2 + 2x + 1 ) + 4 \\ & = (x+1)^2 + 4 \end{align} $
*). Bentuknya adalah $ (x+1)^2 + 4 , \, $ substitusi $ x + 1 = 2 \tan t $.
$ x + 1 = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x+1}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) $
$ x + 1= 2 \tan t \rightarrow x = 2\tan t - 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.
$ \begin{align} (x+1)^2 + 4 & = (2\tan t)^2 + 4 = 4\tan ^2 t + 4 = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.
Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+ 1}{2} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) + c $ .
