Aturan Integral Parsial
Adapun aturan Integral Parsial yaitu : $ \int udv = uv - \int vdu $.
Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi $ (u) \, $ dan bagian lain (fungsi yang mengandung $ dx $) adalah $ dv$ . Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial.
Strategi Pemilihan fungsi $ u \, $ dan bentuk $ dv \, $ :
Untuk memudahkan dalam menggunakan integral parsial ini, kita pilih fungsi $ u \, $ yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk $ dv \, $ yang mudah kita integralkan.
Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi $ (u) \, $ dan bagian lain (fungsi yang mengandung $ dx $) adalah $ dv$ . Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial.
Strategi Pemilihan fungsi $ u \, $ dan bentuk $ dv \, $ :
Untuk memudahkan dalam menggunakan integral parsial ini, kita pilih fungsi $ u \, $ yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk $ dv \, $ yang mudah kita integralkan.
1). Tentukan hasil dari integral $ \int x\sqrt{x+2} dx $.
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu $ x \, $ dan $ \sqrt{x+2} $.
kita pilih $ u = x \, $ , karena jika kita turunkan akan menuju nol hasilnya.
beda dengan fungsi $ \sqrt{x+2} \, $ , jika diturnkan tidak akan menuju nol.
Sehingga sisanya adalah $ dv = \sqrt{x+2} dx $ .
*). Melengkapi rumus integral parsialnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sqrt{x+2} dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
Berdasarkan rumus : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $ ,
$ \begin{align} dv = \sqrt{x+2} dx \rightarrow \int dv & = \int \sqrt{x+2} dx \\ v & = \int \sqrt{x+2} dx \\ & = \int (x+2)^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} (x+2)^{\frac{1}{2} + 1} \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } (x+2)^{\frac{3}{2} } \\ & = \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } - \int \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} \int (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} (x+2)^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{5}{2} } (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{2}{5} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x\sqrt{x+2} dx = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c $
2). Hasil dari integral $ \int x^2 \cos 2x dx \, $ adalah ?
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu $ x^2 \, $ dan $ \cos 2x $,
Kita pilih $ u = x^2 \, $ karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
$ u = x^2 \rightarrow \frac{du}{dx} = 2x \rightarrow du = 2xdx $.
$ dv = \cos 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
$ \begin{align} dv = \cos 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \cos 2x dx \\ v & = \frac{1}{2} \sin 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x^2. \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x . 2x dx \\ \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Bentuk $ \int x \sin 2x dx \, $ kita parsialkan lagi.
*). Ada dua fungsi yaitu $ x \, $ dan $ \sin 2x $,
Kita pilih $ u = x \, $ karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sin 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
$ \begin{align} dv = \sin 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \sin 2x dx \\ v & = -\frac{1}{2} \cos 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya : $ \int x \sin 2x dx \, $
$ \begin{align} \int x \sin 2x dx & = uv - \int vdu \\ & = x . (-\frac{1}{2} \cos 2x - \int (-\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \int (\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
Artinya hasil : $ \int x \sin 2x dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x $
*). Kita substitusikan ke pers (i) :
$ \begin{align} \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - (-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x ) \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x - \frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x^2 \cos 2x dx = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c $.
Untuk soal nomor (2) ini agak lebih panjang pengerjaannya karena kita melakukan integral parsial sebanyak dua kali. Ada cara lain yang lebih mudah untuk menyelesaikan integral parsial berkali-kali yaitu teknik integral parsial yang dikembangkan oleh Tanjalin sehingga kita sebut sebagai teknik Tanjalin dengan cara salah satu fungsi diturunkan sampai nol , kemudian fungsi lain diintegralkan dan selanjutkan dikalikan antara turunan dan integralnya.
Aturan Integral Parsial Tanjalin
Misalkan ada bentuk integral $ \int f(x) . g(x) dx \, $ , maka pengerjaan dengan teknik Tanjalin yaitu :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, f(x) \, \, \, & | \, \, \, g(x) \\ (-) \, \, f^\prime (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g(x) dx = g_1 (x) \\ (+) \, \, f^{\prime \prime } (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g_1(x) dx = g_2 (x) \\ (-) \, \, f^{\prime \prime \prime } \, \, \, (x) & | \, \, \, \int g_2(x) dx = g_3 (x) \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \int g_3(x) dx = g_4 (x) \end{align} $
Keterangan :
*). Fungsi yang diturunkan adalah fungsi yang menuju nol jika terus diturunkan.
*). Integral berhenti ketika turunan fungsi sebelah kirinya sudah nol.
*). Tanda sebelah kiri turunan harus ada dengan bertanda selang-seling dimulai dari positif $(+)$.
*). Cara mengalikan : Dari turunan ke integral "turun satu baris"
Baris pertama pada turunan $(f(x)) \, $ dikalikan dengan baris kedua pada integral $(g_1(x))$,
Baris kedua pada turunan $(f^\prime (x)) \, $ dikalikan dengan baris ketiga pada integral $(g_2(x))$,
Baris ketiga pada turunan $(f^{\prime \prime } (x)) \, $ dikalikan dengan baris keempat pada integral $(g_3(x))$,
begitu seterusnya, dan nol $(0)$ tidak perlu dikalikan.
Sehingga hasil integralnya :
$ \begin{align} \int f(x) . g(x) dx & = +f(x) \times g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times g_2 (x) + \\ & (+f^{\prime \prime } (x)) \times g_3 (x) +(- f^{\prime \prime \prime }) \times g_4(x) + c \\ \int f(x) . g(x) dx & = f(x) g_1(x) - f^\prime (x) g_2 (x) + \\ & f^{\prime \prime } (x) g_3 (x) - f^{\prime \prime \prime } g_4(x) + c \end{align} $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, f(x) \, \, \, & | \, \, \, g(x) \\ (-) \, \, f^\prime (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g(x) dx = g_1 (x) \\ (+) \, \, f^{\prime \prime } (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g_1(x) dx = g_2 (x) \\ (-) \, \, f^{\prime \prime \prime } \, \, \, (x) & | \, \, \, \int g_2(x) dx = g_3 (x) \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \int g_3(x) dx = g_4 (x) \end{align} $
Keterangan :
*). Fungsi yang diturunkan adalah fungsi yang menuju nol jika terus diturunkan.
*). Integral berhenti ketika turunan fungsi sebelah kirinya sudah nol.
*). Tanda sebelah kiri turunan harus ada dengan bertanda selang-seling dimulai dari positif $(+)$.
*). Cara mengalikan : Dari turunan ke integral "turun satu baris"
Baris pertama pada turunan $(f(x)) \, $ dikalikan dengan baris kedua pada integral $(g_1(x))$,
Baris kedua pada turunan $(f^\prime (x)) \, $ dikalikan dengan baris ketiga pada integral $(g_2(x))$,
Baris ketiga pada turunan $(f^{\prime \prime } (x)) \, $ dikalikan dengan baris keempat pada integral $(g_3(x))$,
begitu seterusnya, dan nol $(0)$ tidak perlu dikalikan.
Sehingga hasil integralnya :
$ \begin{align} \int f(x) . g(x) dx & = +f(x) \times g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times g_2 (x) + \\ & (+f^{\prime \prime } (x)) \times g_3 (x) +(- f^{\prime \prime \prime }) \times g_4(x) + c \\ \int f(x) . g(x) dx & = f(x) g_1(x) - f^\prime (x) g_2 (x) + \\ & f^{\prime \prime } (x) g_3 (x) - f^{\prime \prime \prime } g_4(x) + c \end{align} $
3). Kita akan selesaikan soal nomor (1) dan nomor (2) di atas dengan cara Tanjalin :
*). soal nomor (1) : $ \int x\sqrt{x+2} dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \sqrt{x+2} = (x+2)^\frac{1}{2} \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x\sqrt{x+2} dx & = (+x) \times \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} + (-1) \times \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^\frac{3}{2} - \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \end{align} $
*). Soal nomor (2) : $ \int x^2 \cos 2x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x^2 \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2}. (-\frac{1}{2} \cos 2x ) = - \frac{1}{4} \cos 2x \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{4} . \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{8} \sin 2x \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x^2 \cos 2x dx & = (+x^2) \times \frac{1}{2} \sin 2x + (-2x) \times - \frac{1}{4} \cos 2x + (+2) \times -\frac{1}{8} \sin 2x + c \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x -\frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x + c \end{align} $
Hasilnya ternyata sama dengan jawaban sebelumnya di atas hanya dengan teknik integral parsial biasa.
4). Tentukan hasil dari integral $ \int 2x^3 \cos x dx $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin langsung :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x^3 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 6x^2 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 12x \, \, \, & | \, \, \, -\cos x \\ (-) \, \, 12 \, \, \, & | \, \, \, - \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x dx & = (+2x^3) \times \sin x + (-6x^2) \times (-\cos x) + (+12x) \times (- \sin x) \\ & \, \, \, \, \, + (-12) \times \cos x + c \\ & = 2x^3 \sin x + 6x^2 \cos x - 12x \sin x -12 \cos x + c \, \, \, \, \text{(kelompokkan)} \\ & = ( 2x^3 - 12x) \sin x + (6x^2 -12) \cos x + c \end{align} $
5). Tentukan hasil integral dari bentuk :
a). $ \int 4x \sin x \cos x dx $
b). $ \int 2x \cos ^2 x dx $
c). $ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx $
Penyelesaian :
*). Pada masing-masing soal pada nomor (5) ini ada tiga fungsi sehingga tidak bisa langsung kita parsialkan, artinya fungsi trigonometrinya harus kita pecah atau kita gabungkan terlebih dahulu.
a). Ingat rumus : $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $,
Sehingga fungsinya : $ 4x \sin x \cos x = 2x . 2\sin x \cos x = 2x \sin 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 4x \sin x \cos x dx = \int 2x \sin 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \sin 2x \\ (-) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} \cos 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x = - \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 4x \sin x \cos x dx & = (+2x ) \times (-\frac{1}{2} \cos 2x) + (-2) \times (- \frac{1}{4} \sin 2x ) + c \\ & = -x \cos 2x) + \frac{1}{2} \sin 2x + c \end{align} $
b). Ingat rumus : $ \cos ^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x $,
Sehingga fungsinya : $ 2x \cos ^2 x = 2x (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x) = x + x \cos 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 2x \cos ^2 x dx = \int x + x \cos 2x dx = \int x dx + \int x \cos 2x dx $
Yang kita parsialkan hanya bentuk $ \int x \cos 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} . -\frac{1}{2} \cos 2x = - \frac{1}{4} \cos 2x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x \cos 2x dx & = (+x ) \times (\frac{1}{2} \sin 2x) + (-1) \times (- \frac{1}{4} \cos 2x ) + c \\ & = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $
*). Sehingga hasil akhirnya :
$ \begin{align} \int 2x \cos ^2 x dx & = \int x dx + \int x \cos 2x dx \\ & = \frac{1}{2}x^2 + (\frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x) + c \\ & = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $
c). Ingat rumus : $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) $,
Sehingga fungsinya :
$ 6x \cos (3x) \cos (2x) = 3x . 2\cos (3x) \cos (2x) = 3x (\cos 5x + \cos x ) = 3x \cos 5x + 3x \cos x $.
Soalnya menjadi :
$ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx = \int 3x \cos 5x + 3x \cos x dx = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx $
Kita parsialkan keduanya,
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Bentuk pertama : $ \int 3x \cos 5x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos 5x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} \sin 5x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} . -\frac{1}{5} \cos 5x = - \frac{1}{25} \cos 5x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x \cos 5x dx & = (+3x ) \times (\frac{1}{5} \sin 5x) + (-3) \times (- \frac{1}{25} \cos 5x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + c \end{align} $
Bentuk kedua : $ \int 3x \cos x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, - \cos x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x \cos x dx & = (+3x ) \times ( \sin x) + (-3) \times (- \cos x ) + c \\ & = 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $
*). Sehingga hasil akhirnya :
$ \begin{align} \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx & = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx \\ & = (\frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x ) + (3 x \sin x + 3 \cos x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $
6). Tentukan integral dari $ \int 2x^3 \cos x^2 dx $
Penyelesaian :
*). Untuk soal ini, kita tidak bisa langsung menggunakan teknik parsial karena kita akan kesulitan untuk menentukan hasil integral dari fungsi $ \cos x^2 \, $ .
*). Kita gunakan teknik substitusi aljabar terlebih dahulu agar sudut dari $ \cos x^2 \, $ menjadi pangkat satu dengan memisalkan $ u = x^2 $.
*). Teknik substitusi aljabar :
$ u = x^2 \rightarrow u^\prime = 2x $
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x^2 dx & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{2x} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int x^2 \cos u du \, \, \, \, \, \text{(ganti } x^2 = u) \\ & = \int u \cos u du \end{align} $
*). Bentuk $ \int u \cos u du \, $ inilah yang kita parsialkan.
Teknik tanjalin :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, u \, \, \, & | \, \, \, \cos u \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \sin u \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\cos u \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int u \cos u du & = (+u) \times \sin u + (-1) \times (-\cos u) + c \\ & = u \sin u + \cos u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk }u) \\ & = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int 2x^3 \cos x^2 dx = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c $.
