Sebenarnya untuk tipe soal yang menggunakan "teknik membagi pecahan" itu jarang dibahas di tingkat SMA, tapi terkadang dikeluarkan pada soal seleksi masuk perguruan tinggi terutama untuk seleksi mandirinya. Mudah-mudahan dengan adanya artikel ini akan bisa membantu kita untuk mengerjakan soal-soal yang memang tingkatnya sudah lebih sulit.
Rumus Dasar yang digunakan
Teknik membagi pecahan ini biasanya mengarah kebentuk integral yang pangkatnya $ \, -1 \, $, sehingga kita harus ingat
beberapa rumus dasar yang penting :
i). $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $
ii). $ \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} . \ln (ax+b)+ c $
Sifat-sifat $ \ln \, $ (dibaca "len") sama dengan sifat-sifat logaritma :
$ \ln a + \ln b = \ln (a.b) $
$ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} $
i). $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $
ii). $ \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} . \ln (ax+b)+ c $
Sifat-sifat $ \ln \, $ (dibaca "len") sama dengan sifat-sifat logaritma :
$ \ln a + \ln b = \ln (a.b) $
$ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} $
Cara Membagi Pecahan (Partial Fractions)
Berikut cara membagi pecahan yang biasa di soal-soal :
Misalkan ada bentuk $(a_1x + b_1), \, (a_2x + b_2), \, $ dan $ (a_3x^2+ b_3x + c_3) \, $ yang masing-masing sudah tidak bisa difaktorkan lagi, maka cara membagi pecahannya yaitu :
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^2} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^3} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} + \frac{D}{(a_2x + b_2)^3} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3) } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2 } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} + \frac{Dx + E}{(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2} $
dan seterusnya.
Kita akan menentukan nilai A, B, C, D, dan E dengan menyamakan nilai ruas kiri dan ruas kanan.
Misalkan ada bentuk $(a_1x + b_1), \, (a_2x + b_2), \, $ dan $ (a_3x^2+ b_3x + c_3) \, $ yang masing-masing sudah tidak bisa difaktorkan lagi, maka cara membagi pecahannya yaitu :
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^2} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^3} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} + \frac{D}{(a_2x + b_2)^3} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3) } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2 } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} + \frac{Dx + E}{(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2} $
dan seterusnya.
Kita akan menentukan nilai A, B, C, D, dan E dengan menyamakan nilai ruas kiri dan ruas kanan.
1). Bagilah bentuk pecahan berikut menjadi bentuk yang lebih sederhana:
a). $ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} $
b). $ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} $
Penyelesaian :
a). $ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} $
*). Kita faktorkan dulu bentuk penyebutnya :
$ x^2 - 3x = x(x-3) $.
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bagian :
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{2x + 1}{x(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ & = \frac{A(x-3) + Bx}{x(x-3)} \\ & = \frac{Ax - 3A + Bx}{x(x-3)} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{(A+B)x - 3A }{x(x-3)} \\ 2x + 1 & = (A+B)x - 3A \end{align} $
*). Menentukan nilai A dan B dari $ 2x + 1 = (A+B)x - 3A $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ -3A = 1 \rightarrow A = -\frac{1}{3} $
$ A + B = 2 \rightarrow -\frac{1}{3} + B = 2 \rightarrow B = \frac{7}{2} $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{-\frac{1}{3}}{x} + \frac{\frac{7}{2}}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $
b). $ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} $
*). Kita faktorkan dulu bentuk penyebutnya :
$ x^2 - 2x - 8 = (x+2)(x-4) $.
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bagian :
$ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{ x - 3}{(x+2)(x-4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ & = \frac{A(x-4) + B(x+2)}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{Ax - 4A + Bx + 2B}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ x - 3 & = (A+B)x - 4A + 2B \end{align} $
*). Menentukan nilai A dan B dari $ x - 3 = (A+B)x - 4A + 2B $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ A + B = 1 \, $ ....pers(i)
$ - 4A + 2B = -3 \, $ ....pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} A + B = 1 & \times 2 & 2A + 2B = 2 & \\ - 4A + 2B = -3 & \times 1 & - 4A + 2B = -3 & - \\ \hline & & 6A = 5 & \\ & & A = \frac{5}{6} & \end{array} $
Pers(i) : $ A + B = 1 \rightarrow \frac{5}{6} + B = 1 \rightarrow B = \frac{1}{6} $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{\frac{5}{6} }{x+2} + \frac{\frac{1}{6} }{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $
2). Tentukan hasil integral dari bentuk :
a). $ \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx $
b). $ \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx $
Penyelesaian :
*). Soal bagian (a) dan (b) hanya bisa kita integralkan dengan teknik membagi pecahan, untuk bentuk sederhananya sudah kita peroleh pada soal nomor (1) sebelumnya, sehingga dibagian ini kita tinggal mengintegralkan saja.
a). $ \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) dx $
*). Menentukan integralnya , dan kita gunakan sifat-sifat "len" juga :
$ \begin{align} \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{-2}{x} dx + \int \frac{21}{x-3} dx \right) \\ & = \frac{1}{6} \left( -2 \ln x + 21 \ln (x-3) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln x^{-2} + \ln (x-3)^{21} \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln \frac{1}{x^2} + \ln (x-3)^{21} \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (\frac{1}{x^2} (x-3)^{21} ) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{(x-3)^{21}}{x^2} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{2x + 1}{x^2 - 3x} dx & = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{(x-3)^{21}}{x^2} \right) + c \end{align} $
b). $ \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx $
*). Menentukan integralnya , dan kita gunakan sifat-sifat "len" juga :
$ \begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{5}{x+2} dx + \int \frac{1 }{x-4} dx \right) \\ & = \frac{1}{6} \left( 5 \ln (x+2) + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (x+2)^5 + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $
3). Tentukan hasil dari integral $ \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx $
Penyelesaian :
*). Soal ini tidak bisa kita kerjakan dengan teknik substitusi langsung, sehingga kita akan menggunakan teknik membagi pecahan.
*). Memfaktorkan bentuk penyebutnya :
$ x^3 - x^2 + 4x - 4 = (x^3 + 4x) - (x^2 + 4) = x(x^2 + 4) - (x^2 + 4) = (x-1)(x^2+4) $
Jika merasa kesulitan untuk memfaktorkan, silahkan baca materinya pada "Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak".
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bagian :
$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ & = \frac{A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)} \\ & = \frac{Ax^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} & = \frac{(A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ x^2 + x + 3 & = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C \end{align} $
*). Menentukan nilai A, B dan C dari $ x^2 + x + 3 = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ A + B = 1 \rightarrow B = 1 - A \, $ ....pers(i)
$ C - B = 1 \, $ ....pers(ii)
$ 4A - C = 3 \rightarrow C = 4A - 3 \, $ ....pers(iii)
*). Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii)
$ \begin{align} C - B & = 1 \\ (4A - 3 ) - (1 - A) & = 1 \\ 5A - 4 & = 1 \\ A & = 1 \end{align} $
Pers(i) : $ B = 1 - A = 1 - 1 = 0 $
Pers(iii) : $ C = 4A - 3 = 4.1 - 3 = 1 $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{0x+1}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} \end{align} $
*). Untuk hasil integral $ \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \, $, kita menggunakan teknik substitusi trigonometri yang sudah dibahas sebelumnya pada materi "substitsui trigonometri" soal nomor (4), dengan hasil
$ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $
*). Menentukan integralnya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx & = \int \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $
4). Tentukan hasil dari integral $ \int \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } dx $
Penyelesaian :
*). Soal ini tidak bisa kita kerjakan dengan teknik substitusi langsung, sehingga kita akan menggunakan teknik membagi pecahan.
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bagian :
$ \begin{align} \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{A}{x+1} + \frac{B }{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \\ & = \frac{A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \\ & = \frac{A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 1) + C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \\ & = \frac{ Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - B + Cx+C}{(x+1)(x-1)^2} \\ \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{ (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) }{(x+1)(x-1)^2} \\ 3x^2 - x & = (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) \end{align} $
*). Menentukan nilai A, B dan C dari $ 3x^2 - x = (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ A + B = 3 \rightarrow B = 3 - A \, $ ....pers(i)
$ C - 2A = -1 \rightarrow C = 2A - 1 \, $ ....pers(ii)
$ A - B + C = 0 \, $ ....pers(iii)
*). Substitusi pers(i) dan (ii) ke pers(iii)
$ \begin{align} A - B + C & = 0 \\ A - (3 - A) + (2A - 1) & = 0 \\ 4A - 4 & = 0 \\ A & = 1 \end{align} $
Pers(i) : $ B = 3 - A = 3 - 1 = 2 $
Pers(ii) : $ C = 2A - 1 = 2.1 - 1 = 1 $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{A}{x+1} + \frac{B }{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \\ \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{1}{x+1} + \frac{2 }{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \end{align} $
*). Menentukan integralnya :
$ \begin{align} \int \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } dx & = \int \frac{1}{x+1} + \frac{2 }{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} dx \\ & = \int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{2 }{x-1} dx + \int \frac{1}{(x-1)^2} dx \\ & = \ln (x+1) + 2 \ln (x-1) + \int (x-1)^{-2} dx \\ & = \ln (x+1) + \ln (x-1)^2 + \frac{1}{-2+1} (x-1)^{-2+1} + c \\ & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] + \frac{1}{-1} (x-1)^{-1} + c \\ & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] - \frac{1}{(x-1)} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{3x^2 - x }{(x+1)(x-1)^2 } dx & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] - \frac{1}{(x-1)} + c \end{align} $
Bagaimana menurut teman-teman tentang materi teknik integral membagi pecahan ini, pasti sangat seru dan menantangkan? !!! ^_^ !!!.
Dari hasil pengerjaan untuk beberapa contoh soal di atas, teknik membagi pecahan ini kita lakukan dengan langkah-langkah : pertama memfaktorkan terlebih dahulu bentuk penyebutnya, kedua kita ubah bentuk pecahan pada soal menjadi beberapa bagian sesuai dengan aturan "membagi pecahan", ketiga kita menentukan nilai variabel (A,B,C,...dan lainnya) dengan menyamakan nilai koefisien kedua ruas, keempat baru kita integralkan sesuai kebutuhan (terkadang langsung menggukan rumus dasar, terkadang juga kita harus menggunakan teknik integral lainnya lagi, inilah yang membuat tipe soal seperti ini menjadi sulit dan menantang bagi kita).
Teknik khusus integral membagi pecahan ini sebenarnya lebih cocok untuk materi di kuliahan, akan tetapi untuk kurikulum baru ini (Kurikulum 2013) teknik ini dimunculkan pada matematika peminatan dan tentu menurut saya pribadi ini sangat menyulitkan bagi siswa. Tapi kami yakin, dengan belajar lebih tekun dan semangat serta diimbangi dengan buku pegangan yang baik (atau sumber lain), pasti teman-teman akan bisa menguasainya dengan baik dan benar.
