Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral

         Blog Koma - Dari pengertian integral, kita peroleh hubungan turunan dan integral. Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral dimana kita akan mementukan persamaan kurva dari turunan persamaan kurva tersebut. Materi prasyarat yang harus dikuasai terlebih dahulu adalah "Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar", karena di sini kita akan membahasa bentuk fungsi aljabar saja. Sebenarnya Semua jenis fungsi bisa kita cari persamaannya jika diketahui turunannya.

Konsep Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral

       Pada pengertian integral kita peroleh $\int f(x) dx = F(x) + c \,$ dengan turunan dari $(F(x) + c) \,$ adalah $f(x)$, atau dapat kita tulis $F^\prime (x) = f(x)$. Jika kita ganti $f(x) = F^\prime (x) \,$ maka kita peroleh
$\int f(x) dx = F(x) + c \leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c$.

       Dari bentuk $\int F^\prime (x) dx = F(x) + c \,$ , artinya untuk menghilangkan turunannya cukup kita integralkan saja. Penulisan bentuk $\int F^\prime (x) dx = F(x) + c \,$ yaitu $F(x) = \int F^\prime (x) dx - c \,$ atau $\, F(x) = \int F^\prime (x) dx \,$ karena integral tak tentu pasti hasilnya $\, + c$ . Sehingga bentuk lainnya yaitu : $f(x) = \int f^\prime (x) dx , \,$ atau $\, y = \int y^\prime dx , \,$ atau $\, S(t) = \int S^\prime (t) dt , \,$ dan lainnya.

Catatan :
*). Untuk menghilangkan turunan , cukup diintegralkan fungsi turunannya.
*). Jika diketahui turunan kedua, maka kita integralkan dua kali untuk memperoleh fungsi kurva aslinya. Begitu seterusnya, kita integralkan sebanyak turunan yang diketahui.
*). Hasil integral dari turunannya disebut sebagai keluarga kurva karena masih dalam bentuk $+ c \,$ hasilnya, artinya nilai $c \,$ bisa diganti dengan berbagai bilangan sehingga akan membentuk banyak persamaan kurva.
*). Untuk menentukan salah satu nilai $c \,$ , maka kita substitusikan salah satu titik yang dilalui oleh kurvanya.

Contoh soal menentukan persamaan kurva :
1). Suatu kurva melalui titik (2, 1). Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhi hubungan $\frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right)$ , tentukan persamaan kurva tersebut.

Penyelesaian :
*). Diketahui turunannya : $y^\prime = \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right)$.
*). Integralkan bentuk turunannya :
$\begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ & = \int 2\left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2\int \left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{-1}x^{-1} \right) + c \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} \right) + c \\ y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \end{align}$
*). Substitusikan titik (2,1) untuk menentukan nilai $c$ :
$\begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \\ 1 & = 2^2 + \frac{2}{2} + c \\ 1 & = 4 + 1 + c \\ c & = -4 \end{align}$
Sehingga persamaan kurvanya adalah $y = x^2 + \frac{2}{x} - 4$.

2). Jika kurva $F(x) \,$ melalui titik (1,3) dengan $F^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 1 \,$. Tentukan nilai $F(-1)$.

Penyelesaian :
*). Untuk menentukan nilai $F(-1) \,$ , kita harus menentukan persamaan kurva $F(x) \,$ terlebih dahulu.
*). Mengintegralkan :
$\begin{align} F(x) & = \int F^\prime (x) dx \\ F(x) & = \int (3x^2 + 4x - 1) dx \\ F(x) & = x^3 + 2x - x + c \end{align}$
*). Substitusikan titik (1,3) untuk menentukan nilai $c$ :
$\begin{align} (x,y) = (1,3) \rightarrow F(x) & = x^3 + 2x - x + c \\ 3 & = 1^3 + 2.1 - 1 + c \\ 3 & = 1 + 2 - 1 + c \\ 3 & = 2 + c \\ c & = 1 \end{align}$
Sehingga persamaan kurvanya : $F(x) = x^3 + 2x - x + 1$.
*). Menentukan nilai $F(-1)$ :
$F(x) = x^3 + 2x - x + 1 \rightarrow F(-1) = (-1)^3 + 2(-1) - (-1) + 1 = -1$.
Jadi, nilai $F(-1) = -1$.

3). Diketahui biaya marginal (MC) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan adalah merupakan fungsi biaya terhadap banyak produksi barang dengan $MC = \frac{dC}{dQ} = 2Q + 3 \,$. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per bulan.?
Keterangan :
Q = banyak produksi (Quantity),
C = Biaya produksi total (Total Cost),
dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).

Penyelesaian :
*). Diketahui : $MC = \frac{dC}{dQ} = C^\prime (Q) = 2Q + 3$
*). Menentukan biaya total $C(Q)$ :
$\begin{align} C(Q) & = \int C^\prime (Q) dQ \\ C(Q) & = \int (2Q + 3) dQ \\ C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \end{align}$
*). Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, artinya $C(1) = 3$.
$\begin{align} C(1) = 3 \rightarrow C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \\ C(1) & = 1^2 + 3.1 + k \\ 3 & = 1 + 3 + k \\ k & = 1 \end{align}$
Jadi, fungsi biaya total per bulannya adalah $C(Q) = Q^2 + 3Q + 1$

4). Tentukan fungsi $y = f(x) \,$ dari persamaan diferensial $\frac{x^2dy}{dx} = y^2\sqrt{x} \,$ dengan $y = 1 \,$ di $x = 1$.

Penyelesaian :
*). Integralkan persamaan diferensialnya :
$\begin{align} \frac{x^2dy}{dx} & = y^2\sqrt{x} \\ \frac{ dy}{y^2} & = \frac{\sqrt{x}}{x^2} dx \\ y^{-2}dy & = x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \int y^{-2}dy & = \int x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \frac{1}{-2+1}y^{-2+1} & = \frac{1}{-\frac{3}{2} + 1} x^{-\frac{3}{2} + 1} + c \\ -y^{-1} & = \frac{1}{-\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2} } + c \\ -y^{-1} & = (-2) \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }} + c \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \end{align}$
*). Substitusi nilai $y = 1 \,$ di $x = 1$.
$\begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \\ \frac{1}{1} & = \frac{2}{\sqrt{1}} + c \\ 1 & = 2 + c \\ c & = -1 \end{align}$
Sehingga : $\frac{1}{y} = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$.
*). Menentukan bentuk $y = f(x)$
$\begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ \frac{1}{y} & = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ y & = \frac{\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} \end{align}$
Jadi, fungsi $y = f(x) \,$ adalah $y = \frac{\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}}$ .

5). Suatu kurva $y = f(x) \,$ melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya adalah -5 di titik tersebut. Jika $f^{\prime \prime } (x) = 6x + 4 \,$ , tentukan persamaan kurvanya?

Penyelesaian :
*). Menentukan bentuk $f^\prime (x) \,$ dengan mengintegralkan $f^{\prime \prime } (x)$
$\begin{align} f^\prime (x) & = \int f^{\prime \prime } (x) dx \\ f^\prime (x) & = \int ( 6x + 4 ) (x) dx \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \end{align}$
*). Gradiennya adalah $- 5 \,$ di saat $x = 1$, artinya $f^\prime (1) = -5$
Karena gradien $m = f^\prime (x)$.
Silahkan baca : "Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan".
*). Menentukan nilai $c_1 \,$ dengan $f^\prime (1) = -5$
$\begin{align} f^\prime (1) = - 5 \rightarrow f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \\ f^\prime (1) & = 3.1^2 + 4.1 + c_1 \\ -5 & = 3 + 4 + c_1 \\ c_1 & = -12 \end{align}$
Sehingga : $f^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 12$.
*). Menentukan bentuk $f(x) \,$ dari $f^\prime (x)$ :
$\begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x - 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \end{align}$
*). Kurva melalui titik (1,2), artinya $f(1) = 2$ :
$\begin{align} f(1) = 2 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 12.1 + c_2 \\ 2 & = 1 + 2 - 12 + c_2 \\ c_2 & = 11 \end{align}$
sehingga $f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11$ .
Jadi, persamaan kurvanya adalah $f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11$ .

Penerapan Integral di Bidang Fisika

       Pada bidang fisika ada yang namanya fungsi lintasan $(s(t)) \,$ fungsi kecepatan $(v(t)) \,$ dan fungsi percepatan $(a(t))$. Dari materi "Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan", kita peroleh :
*). Kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu
$v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = s^\prime (t) \,$ sehingga :
$s(t) = \int s^\prime (t) dt = \int v(t) dt$.
*). Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu
$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = v^\prime (t) = s^{\prime \prime } (t) \,$ sehingga :
$v(t) = \int v^\prime (t) dt = \int a(t) dt$.

Contoh soal :
6). Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi $a(t) = -2t^2 + 3t +1$ . Tentukan fungsi lintasan partikel tersebut jika deketahui $v_0 = 2 \,$ dan $s_0 = 1$.

Penyelesaian :
*). Diketahui : $a(t) = -3t^2 + 4t +1$
*). Menentukan kecepatan $(v(t))$ :
$\begin{align} v(t) & = \int a(t) dt \\ v(t) & = \int ( -3t^2 + 4t +1 ) dt \\ v(t) & = \frac{-3}{2+1}t^3 + \frac{4}{1+1}t^2 + t + c_1 \\ v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \end{align}$
*). Bentuk $v_0 = 2 \,$ artinya kecepatan awalnya adalah 2 saat $t = 0 \,$ atau dapat ditulis $v(0) = 2$.
*). substitusi $v(0) = 2$ :
$\begin{align} v(0) = 2 \rightarrow v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \\ v(0) & = -0^3 + 2.0^2 + 0 + c_1 \\ 2 & = -0 + 0 + 0 + c_1 \\ c_1 & = 2 \end{align}$
sehingga $v(t) = -t^3 + 2t^2 + t + 2$
*). Menentukan fungsi lintasan $(s(t))$ :
$\begin{align} s(t) & = \int v(t) dt \\ s(t) & = \int -t^3 + 2t^2 + t + 2 dt \\ s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \end{align}$
*). Bentuk $s_0 = 1 \,$ artinya lintasan awalnya adalah 1 saat $t = 0 \,$ atau dapat ditulis $s(0) = 1$.
*). substitusi $s(0) = 1$ :
$\begin{align} s(0) = 1 \rightarrow s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \\ s(0) & = -\frac{1}{4}.0^4 + \frac{2}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 + 2.0 + c_2 \\ 1 & = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2 \\ c_2 & = 1 \end{align}$
sehingga $s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1$
Jadi, fungsi panjang lintasannya adalah $s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1$.