Langkah - Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan
Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan :
i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y).
Titik potong sumbu X, substitusi y=0 .
Titik potong sumbu Y, substitusi x=0 .
ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).
iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negatif.
i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y).
Titik potong sumbu X, substitusi y=0 .
Titik potong sumbu Y, substitusi x=0 .
ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).
iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negatif.
1). Gambarlah grafik kurva y=3x2−x3.
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi y=0
y=0→y=3x2−x30=3x2−x33x2−x3=0x2(3−x)=0x=0∨x=3
Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0).
*). Tipot sumbu Y, substitusi x=0
y=3x2−x3=3.02−03=0
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).
ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : y=3x2−x3
f′(x)=6x−3x2 dan f′′(x)=6−6x .
*). Syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=06x−3x2=03x(2−x)=0x=0∨x=2
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk x=0 , nilai stasionernya f(0)=3.02−03=0
titik stasionernya (0,0) .
Untuk x=2 , nilai stasionernya f(2)=3.22−23=4
titik stasionernya (2,4).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=6−6x
Untuk x=0→f′′(0)=6−6.0=6 (positif) , jenisnya minimum.
Untuk x=2→f′′(2)=6−6.2=−6 (negatif) , jenisnya maksimum.
Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.
iii). Berdasarkan fungsi y=3x2−x3, kita substitusi beberapa nilai x yaitu :
Untuk x semakin besar, nilai y semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk x semakin kecil, nilai y semakin besar positif (ke atas).
2). Gambarlah grafik kurva y=x4−4x3 .
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi y=0
y=0→y=x4−4x30=x4−4x3x4−4x3=0x3(x−4)=0x=0∨x=4
Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (4,0).
*). Tipot sumbu Y, substitusi x=0
y=x4−4x3=04−4.03=0
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).
ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : y=x4−4x3
f′(x)=4x3−12x2 dan f′′(x)=12x2−24x .
*). Syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=04x3−12x2=04x2(x−3)=0x=0∨x=3
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk x=0 , nilai stasionernya f(0)=04−4.03=0
titik stasionernya (0,0) .
Untuk x=3 , nilai stasionernya f(2)=34−4.33=−27
titik stasionernya (3,-27).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=12x2−24x
Untuk x=0→f′′(0)=12.02−24.0=0 (nol) , jenisnya titik belok.
Untuk x=3→f′′(3)=12.32−24.3=36 (positif) , jenisnya minimum.
Artinya titik (0,0) adalah titik belok dan titik (3,27) adalah titik balik minimum.
iii). Berdasarkan fungsi y=x4−4x3, kita substitusi beberapa nilai x yaitu :
Untuk x semakin besar, nilai y semakin besar positif (ke atas) dan untuk x semakin kecil, nilai y semakin besar positif (ke atas).
3). Gambarlah grafik kurva y=sinx untuk 0≤x≤360∘ .
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi y=0
y=0→y=sinx0=sinxsinx=0x=0,x=180∘=π∨x=360∘=2π
Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0),(180∘,0),(360∘,0) .
*). Tipot sumbu Y, substitusi x=0
y=sinx=sin0=0
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).
ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : y=sinx
f′(x)=cosx dan f′′(x)=−sinx .
*). Syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=0cosx=0x=90∘=12π∨x=270∘=32π
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk x=90∘ , nilai stasionernya f(90∘)=sin90∘=1
titik stasionernya (90∘,1) .
Untuk x=270∘ , nilai stasionernya f(270∘)=sin270∘=−1
titik stasionernya (270∘,−1).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=−sinx
Untuk x=90∘→f′′(90∘)=−sin90∘=−1 (negatif) , jenisnya maksimum.
Untuk x=270∘→f′′(270∘)=−sin270∘=1 (positif) , jenisnya minimum.
Artinya titik (90∘,1) adalah titik balik maksimum dan titik (270∘,−1) adalah titik balik minimum.
Berikut gambar grafik fungsi y=sinx pada interval 0≤x≤360∘ .