Menentukan Kecepatan Menggunakan Turunan
Jika $ s = f(t) \, $ menyatakan persamaan gerak dari suatu benda sepanjang garis lurus, dengan $ s \, $ adalah perpindahan
atau jarak langsung benda dari titik awal pada waktu $ t $ . Fungsi $ f \, $ yang menggambarkan gerakan disebut fungsi posisi benda. Pada selang waktu dari
$ t = c \, $ sampai dengan $ t = c + h \, $ , perubahan posisi adalah $ f(c+h) - f(c) \, $ seperti gambar berikut,
Kecepatan rata-rata pada selang waktu ini adalah
kecepatan rata-rata $ = \frac{\text{perpindahan}}{\text{waktu}} = \frac{f(c+h) - f(c) }{h} $
Misalkan kita akan menghitung untuk selang waktu yang sangat kecil ($h \, $ mendekati 0), maka kita memperoleh yang namanya kecepatan sesaat untuk $ t = c $ ,
Kecepatan sesaat $ = v(c) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(c+ h ) - f(c)}{h} $
yang tidak lain bentuk ini adalah turunan pertama pada fungsi $ s= f(t) \, $ yaitu $ f^\prime (c) \, $ jika nilai limitnya ada.
Dapat disimpulkan bahwa kecepatan suatu fungsi $ s(t) = f(t) \, $ pada waktu $ t \, $ tertentu adalah : $ v(t) = s^\prime (t) \, $ atau $ v(t) = f^\prime (t) $
Secara fisis, kecepatan sesaat gerak benda pada waktu $ t \, $ tertentu adalah $ f^\prime (t) \, $. Sedangkan laju perubahan sesaat benda didefinisikan sebagai nilai mutlak besarnya kecepatan sesaat, ditulis laju $ = |v(t)| = |f^\prime (x) | = |s^\prime (t)| $ . Kecepatan sesaat bisa bernilai positif atau negatif tergantung benda bergerak dalam arah positif atau arah negatif. Jika kecepatan sesaat nilainya nol, maka benda dalam keadaan diam.
Kecepatan rata-rata pada selang waktu ini adalah
kecepatan rata-rata $ = \frac{\text{perpindahan}}{\text{waktu}} = \frac{f(c+h) - f(c) }{h} $
Misalkan kita akan menghitung untuk selang waktu yang sangat kecil ($h \, $ mendekati 0), maka kita memperoleh yang namanya kecepatan sesaat untuk $ t = c $ ,
Kecepatan sesaat $ = v(c) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(c+ h ) - f(c)}{h} $
yang tidak lain bentuk ini adalah turunan pertama pada fungsi $ s= f(t) \, $ yaitu $ f^\prime (c) \, $ jika nilai limitnya ada.
Dapat disimpulkan bahwa kecepatan suatu fungsi $ s(t) = f(t) \, $ pada waktu $ t \, $ tertentu adalah : $ v(t) = s^\prime (t) \, $ atau $ v(t) = f^\prime (t) $
Secara fisis, kecepatan sesaat gerak benda pada waktu $ t \, $ tertentu adalah $ f^\prime (t) \, $. Sedangkan laju perubahan sesaat benda didefinisikan sebagai nilai mutlak besarnya kecepatan sesaat, ditulis laju $ = |v(t)| = |f^\prime (x) | = |s^\prime (t)| $ . Kecepatan sesaat bisa bernilai positif atau negatif tergantung benda bergerak dalam arah positif atau arah negatif. Jika kecepatan sesaat nilainya nol, maka benda dalam keadaan diam.
Menentukan Percepatan Menggunakan Turunan
Laju perubahan sesaat dari kecepatan disebut percepatan sesaat. Misalkan benda bergerak mengikuti fungsi gerak
$ s = f(t), \, $ dengan kecepatan sesaat pada $ t \, $ tertentu adalah $ v \, $ dan percepatannya adalah $ a \, $ . Percepatan ($a$) adalah turunan
pertama dari $ v \, $ terhadap $ t \, $ atau percepatan adalah turunan kedua dari $ s \, $ terhadap $ t $ .
Percepatannya : $ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2} = v^\prime = s^{\prime \prime } $ .
Dari definisi percepatan ini bisa kita simpulkan bahwa jika $ a > 0 \, $ maka $ v \, $ bertambah , jika $ a < 0 \, $ maka $ v \, $ berkurang , dan jika $ a = 0 \, $ maka $ v \, $ tak berubah.
Percepatannya : $ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2} = v^\prime = s^{\prime \prime } $ .
Dari definisi percepatan ini bisa kita simpulkan bahwa jika $ a > 0 \, $ maka $ v \, $ bertambah , jika $ a < 0 \, $ maka $ v \, $ berkurang , dan jika $ a = 0 \, $ maka $ v \, $ tak berubah.
Hubungan kelajuan, kecepatan, dan percepatan
Laju benda pada $ t \, $ detik adalah $ |v| $, sehingga hubungan laju, kecepatan, dan percepatannya yaitu :
i). jika $ v \geq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju bertambah,
ii). jika $ v \geq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju berkurang,
iii). jika $ v \leq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju berkurang,
iv). jika $ v \leq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju bertambah.
i). jika $ v \geq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju bertambah,
ii). jika $ v \geq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju berkurang,
iii). jika $ v \leq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju berkurang,
iv). jika $ v \leq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju bertambah.
1). Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan :
$ s (t) = t^3 - 3t^2 + 5 \, $ , dengan jarak satuan meter dan $ t \, $ detik.
Tentukan :
a). Kecepatan dan percepatan dalam $ t $ ,
b). Kecepatan dan percepatan saat $ t = 3 \, $ detik ,
c). Kapankah benda tersebut berhenti atau diam.
Penyelesaian :
a). Menentukan kecepatan dan percepatan,
Fungsi : $ s (t) = t^3 - 3t^2 + 5 $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2 - 6t $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 $
b). Kecepatan dan percepatan saat $ t = 3 $ :
Kecepatan : $ v(t) = 3t^2 - 6t \rightarrow v(3) = 3.3^2 - 6.3 = 9 \, $
Sehingga kecepatannya adalah 9 m/detik.
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 \rightarrow a(3) = 6.3 - 6 = 12 $
Sehingga percepatannya adalah 12 m/detik$^2$.
c). Benda akan berhenti ketika kecepatannya nol,
$ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 - 6t = 0 \rightarrow 3t(t-2) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 2 $
Jadi, benda berhenti atau diam pada saat $ t = 2 \, $ detik.
2). Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80 m/detik. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan gerak adalah $ s(t) = -16t^2 + 80t \, $ . Misalkan $ t $ menyatakan waktu sejak bola dilemparkan dinyatakan dalam detik, dan $ s $ jarak bola dari titik awal dinyatakan dalam meter pada saat $ t $ detik. Tentukan :
a). kecepatan dan percepatan sesaat bola setelah 2 detik,
b). waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi,
c). waktu dan kecepatan yang diperlukan bola untuk menyentuh tanah kembali.
Penyelesaian :
*). Menentukan kecepatan dan percepatan dari fungsi : $ s(t) = -16t^2 + 80t $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = -32t + 80 $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = -32 $
a). kecepatan dan percepatan sesaat $ t = 2 $
Kecepatan : $ v(2) = -32.2 + 80 = 16 $
Percepatan : $ a(2) = -32 $
artinya setelah 2 detik bola naik dengan kecepatan sesaat 16 meter/detik dan percepatan -32 meter/detik$^2$.
b). Bola mencapai titik tertinggi ketika benda berhenti yaitu saat kecepatannya nol.
$ v(t) = 0 \rightarrow -32t + 80 = 0 \rightarrow t = \frac{80}{32} = 2,5 $
artinya bola mencapai titik tertinggi ketika $ t = 2,5 \, $ detik atau waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi adalah 2,5 detik.
c). Bola akan kembali ke tanah pada saat $ s(t) = 0 $
$ s(t) = 0 \rightarrow -16t^2 + 80t = 0 \rightarrow 16t(-t + 5) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 5 $
artinya bola mencapai tanah lagi setalah waktunya 5 detik.
Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah juga bisa dihitung dengan 2 kali dari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi, yaitu $ 2 \times 2,5 = 5 \, $ detik.
Berikut tabel waktu, jarak dan kecepatan bola dan gambar lintasan yang dilalui oleh bola :
3). Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 4 \, $ dengan $ s $ diukur dalam sentimeter dan $ t $ dalam detik. Tentukanlah :
a). Kecepatan dan percepatan dalam $ t $ ,
b). interval waktu saat benda bergerak ke kanan dan ke kiri serta tentukan perubahan kelajuannya,
c). kapan benda berbalik.
Penyelesaian :
a). Menentukan kecepatan dan percepatan dari fungsi : $ s(t) = -16t^2 + 80t $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2 - 12t + 9 $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 12 $
b). Benda diam ketika kecepatannya nol,
$ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 - 12t + 9 = 0 \rightarrow 3(t - 1)(t - 3) = 0 \rightarrow t = 1 \vee t = 3 $ .
artinya benda diam saat $ t = 1 \, $ dan $ t = 3 $ .
*). Benda bergerak ke kanan jika kecepatan ($v$) positif, dan benda bergerak ke kiri jika kecepatan ($v$) negatif.
*). Perubahan laju bergantung dari percepatan dan kecepatannya, laju akan tetap ketika percepatannya nol,
$ a(t) = 0 \rightarrow 6t - 12 = 0 \rightarrow t = 2 $ ,
artinya laju tetap pada saat $ t = 2 $ .
Untuk memudahkan menentukan arah benda dan perubahan lajunya, kita buat tabel berikut ini :
Benda bergerak ke kanan pada interval : $ 0 < t < 1 \, $ atau $ t > 3 $
Benda bergerak ke kiri pada interval : $ 1 < t < 3 $
c). Dari tabel juga bisa kita amati perubahan arah benda yaitu saat $ t = 1 \, $ benda berbalik arah dari kanan ke kiri dan saat $ t = 3 \, $ benda berbalik arah dari kiri ke kanan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi gambar berikut yang menggambarkan arah gerak benda.
